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文档简介
甘肃省兰州市城关区兰州第一中学2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图象的一条对称轴为,将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象,则函数的解析式为()A. B.C. D.2.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.3.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.24.集合,,则()A. B. C. D.5.是虚数单位,则()A.1 B.2 C. D.6.的展开式中的常数项为()A.-60 B.240 C.-80 D.1807.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.128.已知随机变量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差对所有都成立,则()A. B. C. D.9.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()A. B.C. D.11.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.12.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中项的系数是__________14.已知两圆相交于两点,,若两圆圆心都在直线上,则的值是________________.15.设函数,当时,记最大值为,则的最小值为______.16.设满足约束条件且的最小值为7,则=_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知()过点,且当时,函数取得最大值1.(1)将函数的图象向右平移个单位得到函数,求函数的表达式;(2)在(1)的条件下,函数,求在上的值域.18.(12分)已知等差数列{an}的各项均为正数,Sn为等差数列{an}的前n项和,.(1)求数列{an}的通项an;(2)设bn=an⋅3n,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式,结合为函数的一条对称轴可求得,代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换,即可求得函数的解析式.【详解】函数,由辅助角公式化简可得,因为为函数图象的一条对称轴,代入可得,即,化简可解得,即,所以将函数的图象向右平行移动个单位长度可得,则,故选:C.【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用,三角函数对称轴的应用,三角函数图像平移变换的应用,属于中档题.2、B【解析】
由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.3、A【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影,属于基础题.4、A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.5、C【解析】
由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模,属于基础题.6、D【解析】
求的展开式中的常数项,可转化为求展开式中的常数项和项,再求和即可得出答案.【详解】由题意,中常数项为,中项为,所以的展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式,考查学生计算能力,属于基础题.7、B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B8、D【解析】
根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法,结合了概率、二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.9、A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的图象向左平移个单位可得到的图象.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:10、C【解析】
设,,则,,相减得到,解得答案.【详解】设,,设直线斜率为,则,,相减得到:,的中点为,即,故,直线的方程为:.故选:.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.11、A【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.12、D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-20【解析】
根据二项式定理的通项公式,再分情况考虑即可求解.【详解】解:展开式中项的系数:二项式由通项公式当时,项的系数是,当时,项的系数是,故的系数为;故答案为:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意分情况考虑,属于基础题.14、【解析】
根据题意,相交两圆的连心线垂直平分相交弦,可得与直线垂直,且的中点在这条直线上,列出方程解得即可得到结论.【详解】由,,设的中点为,根据题意,可得,且,解得,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查相交弦的性质,解题的关键在于利用相交弦的性质,即两圆的连心线垂直平分相交弦,属于基础题.15、【解析】
易知,设,,利用绝对值不等式的性质即可得解.【详解】,设,,令,当时,,所以单调递减令,当时,,所以单调递增所以当时,,,则则,即故答案为:.【点睛】本题考查函数最值的求法,考查绝对值不等式的性质,考查转化思想及逻辑推理能力,属于难题.16、3【解析】
根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)由题意可得函数f(x)的解析式为,则.(2)整理函数h(x)的解析式可得:,结合函数的定义域可得函数的值域为.试题解析:(1)由函数取得最大值1,可得,函数过得,,∵,∴,.(2),,,值域为.18、(1).(2)【解析】
(1)先设等差数列{an}的公差为d(d>0),然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程,解出d的值,即可得到数列{an}的通项an;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式,然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),则a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an⋅3n•3n=(2n+1)•3n﹣1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)•3n﹣1,∴3Tn=3×31+5×32+…+(2n﹣1)•3n﹣1+(2n+1)•3n,两式相减,可得:﹣2Tn=3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣(2n+1)•3n=3+2×(31+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)•3n=3+2(2n+1)•3n=﹣2n•3n,∴Tn=n•3n.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算,以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想,方程思想,错位相减法的运用,以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.19、(1)见解析;(2).【解析】
(1)利用中位线的性质得出,然后利用线面平行的判定定理可证明出平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)因为、分别为、的中点,所以.又因为平面,平面,所以平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,则,,所以.设直线与平面所成角为,所以.因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由(2)可知,获奖的概率为,的可能取值为0,1,2,,,,分布列如下:012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的阅读理解能力和计算能力,属于中档题.21、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到,故得.详解:(1)由题意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由题意得,∴,∵,∴,∴.
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