高中数学：函数奇偶性的应用练习及答案

7/7高中数学：函数奇偶性的应用练习及答案函数奇偶性的应用1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（）A.－1B.1C.0D.22.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A.2B.C.4D.63.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（）A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（）A.0B.C.1D.－15.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（）A.B.C.0D.－6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（）A.1B.2C.D.－7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（）A.1B.3C.D.8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（）A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝09.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.110.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（）A.－3B.－1C.1D.311.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是（）A.0B.C.1D.12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（）A.－13B.13C.－19D.1913.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（）A.[m，－m]B.（－∞，m]C.[－m，＋∞）D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（）A.最小值是9B.最小值是－9C.最大值是－9D.最大值是915.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（）A.最小值－4B.最大值－4C.最小值－1D.最大值－316.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）＝－x（1－x）B.f（x）＝x（1＋x）C.f（x）＝－x（1＋x）D.f（x）＝x（x－1）17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.18.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________.21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；（2）求f（37.5）；（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].（1）求m，n的值；（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.（1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式.答案1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（）A.－1B.1C.0D.2【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.故选A.2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A.2B.C.4D.6【答案】A【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a<x＋1<a＋1，则函数f（x＋1）的定义域为（2－2a，a），又因为f（x＋1）为偶函数，所以2－2a＝－a，a＝2，故选A.3.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（）A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定【答案】B【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（）A.0B.C.1D.－1【答案】B【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，∴a－1＝－2a，b＝0，解得a＝，b＝0，∴a＋b＝，故选B.5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（）A.B.C.0D.－【答案】A【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（）A.1B.2C.D.－【答案】A【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），则＝＝－，则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，所以2－2a＝－（2－2a），所以a＝1.7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（）A.1B.3C.D.【答案】B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（）A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝0【答案】D【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②由①②，得g（1）＝3.10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（）A.－3B.－1C.1D.3【答案】C【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是（）A.0B.C.1D.【答案】A【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（）A.－13B.13C.－19D.19【答案】A【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（）A.[m，－m]B.（－∞，m]C.[－m，＋∞）D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）【答案】D【解析】当x≥0时，f（x）≤m；当x≤0时，－x≥0，所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）≤m，即f（x）≥－m.14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（）A.最小值是9B.最小值是－9C.最大值是－9D.最大值是9【答案】D【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（）A.最小值－4B.最大值－4C.最小值－1D.最大值－3【答案】A【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.又∵φ（x），g（x）都是奇函数，∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）＝－x（1－x）B.f（x）＝x（1＋x）C.f（x）＝－x（1＋x）D.f（x）＝x（x－1）【答案】B【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.【答案】f（－2）<f（1）<f（0）【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）<f（1）<f（0），即f（－2）<f（1）<f（0）.18.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.【答案】－1【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－，∴2a＝－2，解得a＝－1.19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.【答案】－1【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________.【答案】－2【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.所以f（10）＋f（4）＝－2.21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.【答案】－2【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，∴f（7）＝－f（1）＝－2.22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.【答案】－2【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.【答案】4【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.【答案】f（x）＝－x2＋4（－2,0）∪（2，＋∞）【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因为x<0，所以－2<x<0；当x>0时，f（x）<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得f（x）<x的解集是（－2,0）∪（2，＋∞）.25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；（2）求f（37.5）；（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（x＋2）＝f（－x），∴f（x）关于直线x＝1对称.由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）.由图可知＝－1，＝3.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].（1）求m，n的值；（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，∴函数的定义域关于原点对称，又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].∴m－1＋2m＝0，解得m＝，又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3