高等数学第十二章《微分方程》

第十二章微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为：.标准形式为：.【定义12.3】微分方程的解若将函数代入微分方程使其变成恒等式即或者则称为该方程的解.根据是显函数还是隐函数,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】定解条件用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.（二）主要定理与公式1可分离变量的方程一般形式或.解法：先分离变量,再两边积分,可得通解.2.齐次方程一般形式解法(变量替换):令,，于是，原方程分离变量两边积分积分后再用回代，便得通解.3.一阶线性微分方程一般形式解法：常数变易法先解出对应的齐次方程的通解；作变换将换成，令代入方程，求出，即得通解为 .4.伯努利方程解法:变量替换法令,化为一阶线性微分方程.*****************************************************5.全微分方程当时，是全微分方程.即解法:(1)第二类曲线积分;(2)公式法;(3)凑微分法.通解为.当时，不是全微分方程.方程两边乘上积分因子（）后所得的方程是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有6.可降阶的高阶微分方程1)型解法:对方程两边连续积分次,便可得到其含有个任意常数的通解.2)型(无项)解法:令,,代入原方程,则有,设其解为,则,得通解.3)型（无项）解法:令,则,有——自变量为,函数为的微分方程.设其解为代回原变量,变量分离得通解.7.线性微分方程解的理论1)设是二阶齐次线性方程的解,则也是它的解.2)二阶齐次线性方程一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3)设为的解,为的解,则为的解.4)设为的一个特解,为对应的齐次方程的通解，则为的通解.8.二阶常系数线性微分方程1)二阶常系数齐次线性方程.特征方程的两个根方程的通解形式两个不等的实根两个相等的实根一对共轭复根2）阶常系数齐次线性方程特征方程的根微分方程通解中对应的项单实根单复根重实根一对重复根3)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解通解为.其中为对应齐次方程的通解,为该方程的一个特解.4)二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式1°型特征方程方程的特解形式不是特征方程的特征根是特征方程的单根是特征方程的重根2°型(其中)特征方程的特解形式不是特征方程的特征根是特征方程的特征根二、典型题解析填空题【例12.1】是阶微分方程.解微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】微分方程满足初始条件的特解为.解分离变量，得.两边积分，得.通解为.将初始条件代入，得所求特解为.【例12.3】若是全微分方程，则函数应满足.解函数应满足时，是全微分方程.【例12.4】微分方程的通解为.解设，所以所求微分方程的通解为.【例12.5】与积分方程等价的微分方程初值问题是.解方程两边求导得当时.所以等价的初值问题是.【例12.6】已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为.解是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为.【例12.7】微分方程的通解为.解原方程相应的齐次线性方程为.其特征方程为.特征根为.故齐次方程的通解为.因，不是特征根，从而设其特解为，把它代入原方程，得，由此原方程的通解为.选择题【例12.8】微分方程的通解为[]（A）（B）（C）（D）解分离变量得到：，积分得：，这里常数必须满足，于是可以将方程同解写为：.则应选C.【例12.9】设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程通解是[]（A）（B）（C）（D）解是齐次的方程的解，是齐次方程的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以是非齐次方程的通解.则应选B.【例12.10】若方程的一个特解为,则该方程满足初值条件的特解为[]（A）（B）（C）（D）.解一阶线性齐次方程的通解为,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】设在连续且不恒等于零，和是微分方程的两个不同特解，则下列结论中不成立的是[]（A）常数；（假设其中）；（B）构成方程的解.（C）常数；（D）在任何一点不等于零.解因为，在不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程的解，如果和是两个不同的解，那么也是这个方程的解，从而不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】微分方程的通解是[]（A）（B）（C）（D）.解直接看出是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】微分方程的一个特解是[]（A）（B）（C）（D）.解微分方程的特解等于下列两个微分方程,的特解之和.非齐次微分方程具有形如的特解；非齐次方程具有形如的特解，因此，非齐次微分方程具有形如的特解，于是应当选B.【例12.14】设是三阶齐次线性常系数微分方程的两个解，则的值分别为[]（A）（B）（C）（D）.解该微分方程的特征方程为.由于该微分方程有特解，说明是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解，说明是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程有一个单根和一个二重根，由此得到，从而选择B.（三）非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解.（1）.（2）.(3).解（1）将变量分离,,两边积分,得，解出.记则.（2）将右端分解因式，得，，分离变量，有.积分得即通解为.（3）直接可以看出,是方程的一个特解.当时,可以将方程写成,两端积分得到.两端取指数得.当时,;当时,.记,上两式又可写作.由于是方程的一个解,故上式中常数也可以为零,于是方程通解为.将代入通解得到,所求解为.【注】在(1)解题过程中，把任意常数改写为.适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程且过点的积分曲线.解不能直接分离变量，令,则.原方程化为,即.积分得回代得方程的通解再代入.故所求积分曲线为【例12.17】求方程的通解.解不能直接分离变量，令，则,且,代入原方程，得分离变量，得，即.积分，得，将回代，即得通解.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求的通解.解方程变形为,此方程为齐次方程,令,方程化为,整理且分离变量得.积分得.即,,通解为.【例12.19】求的解.解此方程为可化为齐次的微分方程.因为,故作变换,则原方程化为.当,分离变量,得该方程的通解为(为任意常数).将代入上式得原方程的通解为(为任意常数)另外,即是方程的特解.故原方程由特解为.【例12.20】求的解.解此方程为可化为齐次的微分方程，一般形式为.因为,作变换,则,代入原方程得,,解方程组得.令,原方程化为,令，则分离变量,得,原方程的通解为.4.一阶线性微分方程【例12.21】解下列方程（1）.（2）.（3）（4）.解（1）（解法一）公式法在方程中，方程的通解为.（解法二）常数变易法对应的齐次方程，得通解.令，并代入原方程得，,代入得原方程的通解为.（2）将方程化为标准形式,这里，所以方程的通解为.即原方程的通解为.（3）将看作自变量,将看作的未知函数,方程改写成，这是一阶线性方程.对应的齐次方程的通解是,然后用常数变异法得原方程的通解.（4）将看作自变量,将看作的未知函数,方程变形为这是一阶非齐次线性方程,它的通解是分部积分求出原方程的解为.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）；（2）.解（1）化为标准形式，此方程是伯努利方程.两边除以，得.令，则方程变为，这是一阶线性微分方程.解得还原得原方程的通解.（2）方程化为标准形式，此方程是伯努利方程.以乘两端，得.令，得，这是一阶线性微分方程，解得.将代回，得原方程的通解为.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程【例12.23】求下列方程的通解.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）解（1）方法一设,因为在全平面连续可微,且,知原方程为全微分方程.由公式，得所以此方程的通解是.方法二设,因为在全平面连续可微,且,知原方程为全微分方程.用不定积分求解.因为对上式两边对积分，得.又因为,故从而所以此方程的通解是.（2）设所以此方程为全微分方程.方法一（用公式计算）设此方程的通解为,在平面上取一确定点,则.因此方程的通解为.方法二（用分项组合法求解）将方程各项重新组合为,积分，得，故通解为.（3）在方程中，设，易知，此方程为全微分方程.现将方程写成，或.积分得通解或.（4）设,因为,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为(1),取为积分因子.方程(1)两端同乘以,原方程变为即,积分，得原方程的通解为.（5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式,乘以函数中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子,将原方程变成全微分方程,积分得到原方程通解7.可降阶的高阶微分方程（1）型【例12.24】求微分方程的通解.解两边积分，得两边再积分，得两边再积分，得通解（2）型【例12.25】解初值问题.解令,,代入方程,则原方程化为,这是可分离变量方程,解出,于是原方程的通解为,由初值条件得到,再由初值条件又得到,于是.所求特解为.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）型【例12.26】求微分方程的通解.解令则,代入原方程，得是一阶线性齐次微分方程.分离变量,积分得即,分离变量两端积分，得,化简得通解.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设为实数,求方程的通解.解此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为,可以分三种情况讨论:(1),此时特征方程有一对复根,因此方程的通解为(2),此时特征方程有两个相等的重根,于是方程的通解为.(3),此时特征方程有两个单实根,于是方程的通解为,.【例12.28】求方程的通解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数是型（其中）.与所给方程对应的齐次方程为,它的特征方程为.有两个实根,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为.因为是特征方程的一个单根,所以应设特解为.把它代入所给方程，得.比较两端的同次幂的系数,得,解此方程组，得.于是求得一个特解为.从而所求的通解为.【例12.29】求方程满足初始条件的特解.解这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数是型（其中）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为.它的特征方程有两个重根，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为.由于是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得,因此求得一个特解为从而原方程的通解为.代入初始条件，得.原方程所求的特解为.【例12.30】求微分方程的通解.解这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.（1）（2）所给方程对应的齐次方程它的特征方程,特征根为,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:.设方程的特解,因为不是特征根，所以该方程具有形如的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得所以方程（1）的特解为设方程的特解为,因为是特征根,所以该方程具有形如的特解,将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得所以方程（2）的特解为.从而原方程的通解为.【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程的通解.解这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数是型（其中）.所给方程对应的齐次方程为.它的特征方程为特征根为，所以对应齐次线性微分方程的通解为.因为是方程的特征根，所以其特解设为，代入方程，解得于是因此方程的通解为.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，若求曲线的方程.解（1）列方程设曲线的方程为，则曲线在点的切线方程为，切线与轴的交点的坐标为.故.由，有即（2）初值问题由题意，曲线过点，得初值问题（1）（3）解方程方程（1）为齐次微分方程，令，（1）可化为变量分离的方程，解得代回，得通解由初值条件，得故所求曲线的方程为【例12.33】某湖泊的水量为,每年排入湖泊内的含污染物的污水量为,流入湖泊内不含污染物的水量为,流出湖泊的水量为,已知1999年底湖中的含量为,超过国家规定指标。为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖中含的污水浓度不超过,问至多需要经过多少年,湖泊中污染物的含量降至以内?(注:设湖水中的浓度是均匀的).解设从2000年初起(令时)开始,第年湖中污染物的总量,浓度为,这在时间间隔内，排入湖中的量为，流出湖中污染物的量为.因此在时间间隔内湖中污染物的改变量等于,用分离变量法解此方程得代入初始条于是,令,得即至多经过年,湖泊中污染物的含量降至以内.【例12.34】质量为的物体在某介质中由静止下落，所受介质的阻力与速度成正比，比例系数求物体的速度并证明当比较大时，速度近似为常数.解由牛顿第二定律的初值问题为,分离变量可得积分，求得通解为代入初值条件，定出于是速度函数由于故当比较大时，速度接近于常数.（四）综合题与杂例【例12.35】设函数有连续导数,,并且使曲线积分在右半平面与路经无关,试求.解设,由积分与路经无关得,,即或者.这是一个一阶非齐次线性微分方程,通解为.利用初值条件,解出,于是所求特解为.【例12.36】求微分方程的解.解令，方程化为，分离变量并积分，得再积分，得，对上式积分，得.【例12.37】验证是二阶微分方程的两个特解，问由的线性组合能否构成该方程的通解.解不能!虽然两个解线性无关,但是由于这个方程不是线性方程,所以的线性组合不能构成该方程的通解.【例12.38】设是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.解由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出对应的齐次微分方程的两个解.于是特征方程两个根为由此确定.于是所求微分方程为,将非齐次微分方程的解代入方程(用代入亦可)，得.所以所求微分方程为.【例12.39】求方程的通解.解令,则于是原方程化为.此方程的通解为所以原方程通解为.【例12.40】设有二阶连续导数,并满足方程,求.解方程两端求导，得(1)对（1）求导，得(2)由(1)式得,代入(2)式，得.显然.又在(1)式中令,得到.于是原方程化为二阶微分方程的初值问题.方程的通解为.由，可以得到.两端求导得.再由可以得到.于是.【例12.41】设全微分方程,其中有二阶连续导数且，求及全微分方程的通解.解设.由题意可知,即(*)对应齐次方程的通解为,用待定系数法求得非齐次方程的一个特解,因此方程(*)的通解为.由初始条件可以得到于是原方程为.全微分方程为.其通解是.三、综合测试题综合测试题A卷一、填空题（每小题4分，共20分）方程的通解是方程的通解是以为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为已知方程的积分曲线在点处与直线相切，则该积分曲线的方程为方程的一个只含有的积分因子为二、选择题（每小题4分，共20分）1、若是方程的两个特解，要使也是解，则与应满足的关系是[]（A）（B）（C）（D）.2、下列方程中为全微分方程的是[]（A）；（B）；（C）；（D）.3、设为实常数，方程的通解是[]（A）（B）（C）（D）.4、方程的特解形式为[]（A）（B）（C）（D）5、已知，则函数的表达式为[]（A）（B）（C）（D）.三、解答题（共60分）1、（8分）求方程的通解.2、（6分）求方程的通解.3、（8分）求微分方程的通解.4、（10分）求解.5、（6分）求方程的通解.6、（10分）求方程的通解.7、（12分）求满足条件且具有二阶连续导数的函数，使方程是全微分方程.并求出全微分方程经过点的一条积分曲线.综合测试题A卷答案一、填空题1..2..3.4..5.二、选择题1、B2、C3、D4、B5、D三、解答题1、解：令，则，代入原方程得即，两边积分得，代回原方程，得通解.2、解：方程改写为，则通解为3、解：设有，则原方程为全微分方程，于是故原方程的通解为4、解：此方程不含，令，则，原方程化为此方程为伯努利方程，令，上述方程化为则，即，由初始条件得，于是，方程化为，或,由初始条件应取，即，积分得，再由初始条件得，所以原方程的特解为或.5、解：特征方程为，特征根为,方程的通解为.6、解：对应的齐次方程为，其特征方程为,特征根为，齐次方程的通解为.因是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为,代入原方程，比较系数得，于是得到一个特解,所求方程的通解为.7、解：由全微分方程的条件知：，即，对应的齐次方程的特征根为.齐次方程的通解为.因为不是特征根，则方程的特解形式为，代入方程解得，故，方程的通解为，代入初始条件，得，因此，所求函数为,将其代入原方程中，得全微分方程再求其满足的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为由条件得，故所求积分曲线为.综合测试题B卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、微分方程的通解是.2