高等数学课后习题及答案(共11单元)08无穷级数

习题9-11．写出下列级数的前五项：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）第一项为1，第二项为，第三项为，第四项为，第五项为。第一项为，第二项为，第三项为，第四项为，第五项为。第一项为-1，第二项为，第三项为，第四项为，第五项为。第一项为e，第二项为，第三项为，第四项为，第五项为。2．写出下列级数的一般项：（1）…（2）…（3）…（4）…解（1）3．根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛散性，如果收敛，并求其和.（1）；（2）；（3）.解：（1）级数的部分和为因为所以级数发散.（2）因为所以级数的部分和为而所以级数收敛.且级数的和为.（3）因为所以级数的部分和为而所以级数收敛.且级数的和为.4．判别下列级数的敛散性，若收敛，并求其和.（1）…（2）…（3）…（4）…（5）（6）（7）…（8）解：（1）级数的部分和可写为因为是的等比数列，收敛并且和为.同理是的等比数列，收敛并且和为.根据级数性质，也收敛，其和为=-=（2）级数的部分和可写为因为所以根据定义，该级数发散。（3）级数的部分和可写为因为是的等比数列，收敛并且和为.同理是的等比数列，收敛并且和为.根据级数性质，也收敛，其和为=+=1+1=2（4）是以为公比的等比数列，因为，所以，从而不存在，此级数发散.（5）所以由级数收敛的必要条件得原级数是发散的.（6）所以由级数收敛的必要条件得原级数是发散的.（7）级数的部分和可写为因为是的等比数列，收敛并且和为.同理是的等比数列，收敛并且和为.根据级数性质，也收敛，其和为=-=（8）因为所以级数的部分和为而所以级数收敛.且级数的和为.5．如果两个级数一个收敛，一个发散两个都发散则它们逐项相加后所得的级数是收敛还是发散？试说明理由.解：（1）如果两个级数，一个收敛，一个发散，则它们逐项相加后所得的级数是发散的.证明如下：设级数收敛，其部分和为，且=，发散，其部分和为，由定义知不存在。可以得到+仍然不存在。根据定义知+是发散的.（2）如果两个级数，两个都发散，则它们逐项相加后所得的级数可能是收敛的也可能是发散的.证明如下：设级数，发散，其部分和分别为，，由定义知，都不存在。可以得到+可能存在也可能不存在。根据定义知+可能是收敛的也可能是发散的.习题9-21．判别下列级数的敛散性.（1）；（2）；（3）；（4）（）.解：（1）因为，而是的等比数列级数，故级数是收敛的.（2）易知是正项级数，因为，而发散，故级数发散.因为，而级数是发散的，故级数发散.（4）当时，有，而是的等比数列级数，故级数是收敛的.当时，，而是发散的，故级数发散.2．判别下列级数的敛散性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解：（1），所以级数是收敛的.（2），所以级数是收敛的.（3），所以级数是发散的.（4）因为，而是的级数，故级数是发散的.（5），所以级数是发散的.习题9-3判别下列级数的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.（）.解：1.，，显然有，且，故级数收敛.级数的每项取绝对值得级数，它是的级数，是发散的，因此级数条件收敛.2.级数的每项取绝对值得级数，因为，而是的等比数列级数，是收敛的，因此级数收敛.故一定收敛，且绝对收敛.3.级数的每项取绝对值得级数是的级数，是收敛的，因此级数绝对收敛.它本身一定收敛.,,由级数收敛的必要条件得级数是发散的.，，显然有，且，故级数收敛.级数的每项取绝对值得级数，因为，故，因为调和级数是发散的，因此级数是发散的.故级数条件收敛级数的每项取绝对值得级数，因为它是收敛的，因此级数绝对收敛.，，显然有，且，故级数收敛.级数的每项取绝对值得级数，因为，且级数是发散的，因此级数是发散的.故级数条件收敛级数的每项取绝对值得级数，因为，且是的等比级数，是收敛的，因此级数绝对收敛.习题9-41．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：（1）；（2）；（2）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）级数的收敛半径为故幂级数的收敛区间为.（2）收敛半径为，当时，代入幂级数得，它是一个收敛的数项级数.当时，代入幂级数得，它是调和级数，是发散的.故幂级数的收敛区间为.（3）收敛半径为，当时，代入幂级数得，它是一个发散的数项级数.当时，代入幂级数得，它是发散的.故幂级数的收敛区间为.（4）可以计算，所以收敛半径为,当时，代入幂级数得，它是一个发散的数项级数.当时，代入幂级数得，它也是发散的数项级数.故幂级数的收敛区间为.（5）收敛半径为，当时，代入幂级数得，它是一个收敛的数项级数.当时，代入幂级数得，它是调和级数，是发散的.故幂级数的收敛区间为.（6）可以计算，所以收敛半径为,当时，代入幂级数得，它是一个发散的数项级数.当时，代入幂级数得，它也是发散的数项级数.故幂级数的收敛区间为.（7）所给幂级数缺奇次项，不能用上面的方法求收敛半径.由比值审敛法，得：根据比值审敛法，当，即时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数成为发散的数项级数.所以级数的收敛区间为.（8）收敛半径为，当时，代入幂级数得，它是一个收敛的数项级数.当时，代入幂级数得，它是发散的.故幂级数的收敛区间为.2．求下列幂级数的和函数：（1）；（2）；（3），并求的值；（4），并求的值.解：（1）根据比值审敛法，当，即时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数成为发散的数项级数.当时，级数成为发散的数项级数.所以级数的收敛区间为.设和函数为，即，，.所以（2）根据比值审敛法，当，即时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数成为发散的数项级数.当时，级数成为发散的数项级数.所以级数的收敛区间为.设和函数为，因为，所以，两边求导得：，（3）根据比值审敛法，当，即时，级数收敛；当时，即时级数发散；当时，级数成为发散的数项级数.当时，级数成为发散的数项级数.所以级数的收敛区间为.设和函数为，因为，所以，两边求导得：，即，将代入得：（4）根据比值审敛法，当，即时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数成为发散的数项级数.所以级数的收敛区间为.设和函数为，因为，所以，两边求导得：，即，将代入得：习题9-5将下列函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因为把上式中的换为，得：（2）因为，将中的换为，得：（3）因为，将中的换为，得：（4）因为把上式中的换为，得：所以，（5），可先求的展开式：现在来求得展开式.因为，所以将中的用代替，可得与的展开式相加便得：（6）令，则将（）中的换成得：因为，，所以，将下列函数展开成指定的幂级数，并指出收敛区间.（1）展开成的幂级数；（2）展开成的幂级数；（3）展开成的幂级数.解：（1）把的展开式中的换为得：整理得：（2）（3）因为将与展开式中的替换成后得：所以，，求下列各近似值：（1），精确到；（2），精确到；（3），取展开式的前三项；解：（1）因为，由的展开式得：，且取前六项为其近似值时，其误差满足条件，所以，（2）因为，由的展开式得：因为，所以，由交错级数的有关结论得取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项，所以，（3）将被积函数按幂级数展开，有（）两边积分得：若取前3项作为其近似值，则误差不大于第四项，所以习题9-6将下列周期为的函数展开成傅立叶级数，并做出及其展开式的图象.1.2.，解：1.①计算傅里叶系数：②写出傅里叶级数③讨论敛散性：满足收敛定理的条件且在上连续，所以由收敛定理可得即为傅里叶级数的和函数，其图形如图所示00①计算傅里叶系数：②写出傅里叶级数③讨论敛散性：满足收敛定理的条件且在上连续，所以由收敛定理可得即为傅里叶级数的和函数，其图形如图所示习题9-7将函数（）展开为正弦级数.将函数（）分别展开为正弦级数和余弦级数.解：（1）对函数进行奇延拓，如图将代入到正弦级数中并由收敛定理得（）先求正弦级数。为此对函数进行奇延拓，如图将代入到正弦级数中并由收敛定理得（）再求余弦级数，为此对进行偶延拓，如图将代入到余弦级数中并由收敛定理得：（）习题9-8将下列各图形所表示的周期函数展开为傅立叶级数.（1）（2）解：（1）是周期为2T的函数，它在上的表达式为（为常数），将展开为傅立叶级数.此时，代入公式得：（）将求得的系数，代入公式（1），并根据收敛定理得：(;)（2）是周期为T的函数，它在上的表达式为（为常数），因为为偶函数，所以展开式为余弦级数.此时，代入公式得：（）将求得的系数代入公式，并根据收敛定理得：将下列函数展开为正弦级数.（1）（）（2）解：（1）将进行奇延拓，此时,代入正弦级数中并由收敛定理得：（）（2）将进行奇延拓，此时,()代入正弦级数中并由收敛定理得：（）将下列函数展开为余弦级数.（1）（）（2）解