2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视，正在播放跳水比赛 B．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 C．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6 D．一个多边形的内角和为600°4．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（x2y）2＝x4y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y25．（3分）正八边形的一个内角是（）A．45° B．120° C．135° D．150°6．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数和众数分别是（）成绩（环）678910次数25364A．8，9 B．9，8 C．8.5，9 D．8.5，77．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°8．（3分）若，则满足条件的a可能是（）A．8 B．9 C．15 D．189．（3分）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，AB＝24，那么OA＝（）A．12 B． C．13 D．1610．（3分）某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（）A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝．12．（3分）方程的解为．13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为．14．（3分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，交AD于点F；分别以B，大于长为半径作弧，连接AG并延长，交BC于点E．若AE＝6，则AB的长为．15．（3分）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生名．16．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，且∠ODE＝30°，BE＝1．三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中．19．（6分）某次台风来袭时，一棵大树（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上（如图所示），量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°（1）求大树的根部A到折断后的树干CD的距离；（2）求这棵大树AB原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）20．（8分）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校一共有个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是；（2）请将条形统计图补充完整；（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法21．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上（1）求证：△ABD≌ACE；（2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数．22．（9分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，A款七折优惠，B款每件让利10元，请你帮学校确定购买方案．23．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为F，AF分别相交于点G，H，AG＝AH．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若△AGH是边长为2的等边三角形，求AB的长．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，DA＝DC．（1）求∠C的度数；（2）如图2，P是线段BC上的动点，过点P作AD的平行线，F（PF≥PE），连接BE，BF①当tan∠FBA＝1时，求BE的长；②当BP为何值时．25．（10分）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”．（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，求a的值；（3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求L的取值范围．

2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：A．2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，该几何体的俯视图是一个三角形．故选：B．3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视，正在播放跳水比赛 B．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 C．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6 D．一个多边形的内角和为600°【解答】解：A、打开电视，为随机事件；B、一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球无其他差别，至少有一个是红球，符合题意；C、抛掷两枚质地均匀的骰子，是随机事件；D、一个多边形的内角和为600°，不符合题意；故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（x2y）2＝x4y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【解答】解：A、x2+x2＝3x2，故此选项不符合题意；B、x6÷x6＝x4，故此选项不符合题意；C、（x2y）3＝x4y2，故此选项符合题意；D、（x﹣y）8＝x2﹣2xy+y7，故此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）正八边形的一个内角是（）A．45° B．120° C．135° D．150°【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故选：C．6．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数和众数分别是（）成绩（环）678910次数25364A．8，9 B．9，8 C．8.5，9 D．8.5，7【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是8和9＝2.5，在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是3，．故选：C．7．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°【解答】解：∵直线a∥b∴∠1与其同位角相等，∠2与其同位角相等（两直线平行又∠8的同位角与∠3与∠2的同位角之和为180°，∠4＝60°，∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故选：A．8．（3分）若，则满足条件的a可能是（）A．8 B．9 C．15 D．18【解答】解：∵3＝，7＝，，∴＜＜．∴9＜a＜16．∴满足条件的数是15．故选：C．9．（3分）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，AB＝24，那么OA＝（）A．12 B． C．13 D．16【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD＝AB＝12，设OA＝x，则OC＝x，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，∴x3＝122+（x﹣8）5，解得：x＝13，∴OA＝13．故选：C．10．（3分）某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（）A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利【解答】解：A．因为甲、乙、丙，所以共比赛6场，若丙队得8分，其余7场有10分，故A正确；B．若四支球队的积分是四个连续的奇数，5，7，8，总和为24，不可能；C．若四支球队的积分是四个连续的偶数，4，6，5，总和为20，不可能；D．若四支球队的积分是四个连续的整数，2，3，7，故D正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝xy（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+6）（x﹣1），故答案为：xy（x+1）（x﹣2）12．（3分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：，方程可化为，方程两边都乘以x﹣2得，3＝﹣2﹣（x﹣2），解得x＝﹣2，检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠8，所以原分式方程的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣6）．【解答】解：点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为：（﹣5．故答案为：（﹣4，﹣6）．14．（3分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，交AD于点F；分别以B，大于长为半径作弧，连接AG并延长，交BC于点E．若AE＝6，则AB的长为．【解答】解：如图所示：连接EF，BF，由题中作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，..AF＝BE，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，AO＝OE＝，BO＝OF＝，在Rt△AOB中，∵AB2＝OB7+AO2，∴AB＝＝＝．故答案为：．15．（3分）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生1280名．【解答】解：选择羽毛球的百分比为：100%﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，3200×40%＝1280（名），故答案为：1280．16．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，且∠ODE＝30°，BE＝10.36．【解答】解：如图，连接OC．∵CD⊥AB，∴∠DEO＝90°，∵∠ODE＝30°，BE＝1，∴sin∠ODE＝，即＝，解得r＝2，又∵OC＝OD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠ODE＝60°，∴S扇形BOC＝πr4＝r2，∵OB＝r，CE＝DE＝OD•cos∠ODE＝r，∴S△BOC＝OB•CE＝r8，∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝r2﹣r2＝（﹣）r8＝（﹣）×4≈0.36．故答案为：2.36．三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．【解答】解：＝3﹣3×+（＝3﹣+﹣1﹣7＝0．18．（6分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷（﹣）＝÷＝•＝﹣，当x＝﹣1时＝﹣．19．（6分）某次台风来袭时，一棵大树（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上（如图所示），量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°（1）求大树的根部A到折断后的树干CD的距离；（2）求这棵大树AB原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，∵∠ADC＝60°，在Rt△AED中，∵cos60°＝＝＝，∴DE＝2，∵sin60°＝＝＝，∴AE＝2米，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝AD＝，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝2米，∴CD＝DE+CE＝（2+2）米；（2）∵sin45°＝＝，∴AC＝2米，∴AB＝2+5．答：这棵大树AB原来的高度是10米．20．（8分）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校一共有20个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是90°；（2）请将条形统计图补充完整；（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）该校一共有的班级个数为：6÷30%＝20（个），在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：360°×，故答案为：20，90°；（2）参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：20﹣5﹣2﹣5﹣2＝2（个），将条形统计图补充完整如下：（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为＝．21．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上（1）求证：△ABD≌ACE；（2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数．【解答】（1）证明：∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠B＝∠AED＝45°，∵∠CED＝25°，∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝45°+25°＝70°，由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝70°，∴∠BAD＝180°﹣（∠ADB+∠B）＝180°﹣（70°+45°）＝65°．22．（9分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，A款七折优惠，B款每件让利10元，请你帮学校确定购买方案．【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，由题意得：，解得：，答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件，由题意得：，解得：200≤m≤200，∴m＝200，∴600﹣m＝600﹣200＝400，答：购进A款文化衫200件，B款文化衫400件．23．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为F，AF分别相交于点G，H，AG＝AH．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若△AGH是边长为2的等边三角形，求AB的长．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠BAG＝90°﹣∠ABE，∠DAH＝90°﹣∠ADF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF，∴∠BAG＝∠DAH，∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠AGB＝∠AHD，∴△ABG≌△ADH（ASA），∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：如图，连接AC交BD于点O，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AB＝BC，∴∠BOC＝90°，∵△AGH是边长为2的等边三角形，AC⊥BD，∴AG＝GH＝2，∠GAH＝60°GH＝1∠GAH＝30°，∴OA＝＝＝，∴AC＝7OA＝2，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠GAO＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，DA＝DC．（1）求∠C的度数；（2）如图2，P是线段BC上的动点，过点P作AD的平行线，F（PF≥PE），连接BE，BF①当tan∠FBA＝1时，求BE的长；②当BP为何值时．【解答】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COD＝2∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠C+∠COD＝90°，即∠C+2∠A＝90°，又∵DA＝DC，∴∠A＝∠C，∴∠C＝30°；（2）①连接AF，OF∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵tan∠FBA＝6，∴∠FBA＝45°，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF＝5，OF⊥AB，∵PF∥AD，∴∠FPO＝∠DAC＝∠C＝30°，∴PF＝7OF＝10，OP＝，∴BP＝OP﹣OB＝4﹣5，∵∠FAB+∠FEB＝180°，∠PEB+∠FEB＝180°，∴∠FAB＝∠PEB，又∵∠EPB＝∠APF，∴△AFP∽△EBP，∴＝，∴BE＝（﹣）；②过点B作BG⊥FP于G，连接OE，如图：∴∠BGE＝∠BGP＝90°，∴∠BGE＝∠AFB，∵∠BEP＝∠FAP，∴△PEB∽△PAF，∴＝，∴BP•AP＝PE•PF，设BG＝x，∵∠FPA＝∠DAC＝30°，∴BP＝2x，PG＝x，∴AP＝10+8x，OP＝5+2x，∴ON＝OP＝，PN＝，在Rt△NOE中，EN8＝OE2﹣ON2＝25﹣（+x）2，∵ON⊥EF，∴FN＝EN，EF＝5EN，在Rt△EBG中，BE2＝BG2+EG4，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+FG7，∵FG＝PN+FN﹣PG，EG＝PN﹣PG﹣FN，∴FG•EG＝（PN﹣PG）2﹣FN2＝﹣[25﹣（8]＝x2+5x，FG+EG＝3（PN﹣PG）＝5，∴BE5•BF2＝（BG2+EG7）（BG2+FG2）＝BG2+（EG2+FG2）BG8+（EG•FG）2＝BG4+[（EG+FG）4﹣2EG•FG]BG2+（EG•FG）8＝x4+[75﹣2x6﹣10x]x2+（x2+6x）2＝100x2，∴BE•BF＝10x，∵＝，∴BE•BF＝EF5＝4EN2，即10x＝3[25﹣