专题9 导数之极值点偏移（讲义）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题9导数之极值点偏移【极值点偏移基本定义】众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.【极值点偏移几种常考类型】1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.【极值点偏移的解题方法】1、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.2、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、极值点偏移处理方法：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、答题模板若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com]（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com]例1．（2021·四川达州·二模）已知定义在上的函数．（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，，，为的极小值，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由单调性可知在上恒成立，分离变量可得；利用导数可求得的最大值，由此可得的范围；（2）利用导数，结合零点存在定理可确定，在上单调递减，在上单调递增；构造函数，利用导数可求得单调性，得到，从而得到，根据自变量的范围，结合在上的单调性可证得结论.【详解】（1）由得：．为上的增函数，在上恒成立，即，令，则，在上单调递减，，即，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，，在上单调递增，又，，，使得，且当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.设，，，，设，，．，，又，，在上单调递增，，，在上单调递增，，，，，又在上单调递减，，即.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.例2．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知函数，．（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；（2）若有两个极值点分别是，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）利用函数在定义域内是减函数等价于在上恒成立，参变分离后，即可求的最小值；（2）令，利用导数可求得的单调性；令，可求得，得到单调递增，可得，置换为，由在上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.【详解】（1）定义域为，，在定义域内是减函数，在上恒成立，即，，令，则，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，解得：，的最小值为.（2）由（1）知：若有两个极值点，则；令，则，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则；令，则，在上单调递增，，，即，又，，，，又，在上单调递增，，即.【点睛】方法点睛：本题考查导数中的极值点偏移问题，处理类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.例3．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据有极值可确定，利用导数可求得；由能成立的思想可知，得到，令，利用导数可知单调递增，结合零点可确定的范围；（2）利用导数可求得单调性，由此确定；令，，利用导数可求得，即，代入后，置换成，结合单调性可确定自变量的大小关系，由此证得不等式.【详解】（1）定义域为，，当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；存在，使得成立，则，即，又，，即，令，则，在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，由且知：；令，，则，在上单调递增，，即；，又，；，，又且在上单调递减，，即.【点睛】方法点睛：本题第二问考查了导数中的极值点偏移问题的变形，处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.例4．（2017·山东淄博·一模）设.(1)令，求的单调区间；(2)当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：.【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）先求得的表达式，对求导，讨论与0的大小关系，即可求出函数的单调区间；（2）由（1）知，，根据单调性可知函数在处取得极小值也是最小值.构造函数，利用导数求得，即有，根据单调性有，即有.【详解】（1）由,可得,则.当时,时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；所以，当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知，.当时,是增函数，所以当时，，故单调递减；当时，，故单调递增.所以在处取得极小值，且，所以..令，则，于是在上单调递减，故，由此得即.因为，在单调递增，所以，即.【点睛】本题主要考查导数的应用.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．例5．（2017·四川凉山·一模）设，函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【分析】（1）求函数的导数，当时，点斜式写出切线方程即可；（2）当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）设的两个相异零点为，，设，则，，两式作差可得，即，由可得即，，设上式转化为，构造函数，证（1）即可．【详解】解：（1）函数的定义域为，，当时，，则切线方程为，即．（2）①若时，则，是区间上的增函数，∵，，∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是．（3）证明：设的两个相异零点为，，设，∵，，∴，，∴，，∵，故，故，即，即，设上式转化为（），设，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．例6．（16-17高三下·安徽合肥·阶段练习）已知（为常数）.(1)求的极值；(2)设，记，已知为函数的两个零点，求证：.【答案】(1)的极大值为，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）求导，判断单调性得极值即可；（2）用导数判断出的单调区间，构造函数,转化为与图象两交点的横坐标为，,，构造函数和比较大小，再在上利用函数单调性得.【详解】（1）,由得，且时，，时，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，函数的极大值为，无极小值；（2）由，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，由条件知，即,构造函数,知与图象两交点的横坐标为，,，由得，时