FY2024苏科版新九年级数学暑假大师课-第11讲 正多边形与圆（3种题型）（教师版）

第11讲正多边形与圆(3种题型)

4学习目标］

1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正

多边形；

3.会进行正多边形的有关计算.

1耄基础知识

----------------------Illlllllllllllllllllillllllllllllllllllll-----------------------

正多边形和圆

(1)正多边形与圆的关系

把一个圆分成n(〃是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边

形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.

(2)正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

C考点剖’

—iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiii一

题型一：求正多边形的中心角

一、单选题

1.(2022•江苏•九年级假期作业)中心角为45°的正n边形的边数n等于()

A.12B.10C.8D.6

【答案】C

【分析】根据正多边形的中心角=幽，计算即可.

n

【详解】由题意得，随=45°,

n

解得〃=8,

故选：c.

【点睛】本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边

形的中心角与内角混淆而造成错误计算.

2.（2023春•江苏苏州•九年级专题练习）如图，五边形ABCDE是。的内接正五边形，则正五边形中心角

NC8的度数是（）

【答案】D

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：也计算即可.

n

【详解】解：；五边形A8CDE是。的内接正五边形，

五边形ABCDE的中心角ZCOD的度数为=360-°=72°,

故选D.

360°

【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角.熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：—,是解题的关

n

键.

3.（2023春•江苏苏州•九年级专题练习）若一个圆内接正多边形的中心角是40。，则这个多边形是（）

A.正九边形B.正八边形C.正七边形D.正六边形

【答案】A

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可.

【详解】解：设这个多边形的边数是〃，

由题意得少"二相。

n

解得，n=9,

故选：A

【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.

4.（2022秋•九年级单元测试）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部

分的面积是（）

D.48后

【答案】C

【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可.

【详解】解：如图所示，

.♦•每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，

，AO=OB=AB=1,AZ）=J,OD=4AO2-AD1=—,

因此每个正六边形的面积为：6x-ABOD=6x-x\x^-=^-,

2222

图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：16x地=24g.

2

整个图形是一个矩形，长为12,宽为46,

矩形的面积为：12x4g=486,

因此图中阴影部分的面积是：4873-2473=24^,

故选C.

【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键.

二、填空题

5.（2022秋•九年级课时练习）五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为

度.

【答案】72

【分析】把五角星看成正五边形，求出正五边形的中心角即可解决问题;

【详解】解：•••把五角星看成正五边形，正五边形的中心角3=60千°=72。，

.♦•绕它的中心旋转72。角度后能够与自身重合，

故选：72.

【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题

型.

6.(2022秋・江苏•九年级期中)线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是一度.

【答案】18或162/162或18

【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答.

【详解】解：如下图，

圆内接正十边形的边AB所对的圆心角/1=360。+10=36。,

则/2=360。-36。=324。，

根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，

A8所对的圆周角的度数是36。、3=18。或324。、；=162。.

故答案为：18或162.

【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的

关系，并要注意分两种情况讨论.

三、解答题

7.(江苏泰州•九年级统考阶段练习)如图，在00的内接四边形ABCD中，AB=AD,ZC=120°,点E

在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.

(1)求NAED的度数；

(2)当NDOE=90。时，AE恰好为。。的内接正n边形的一边，求n的值.

E

OD

【答案】(1)ZAED=120°；(2)12.

【分析】(1)如图，连接BD,由已知条件证△ABD是等边三角形，得到NABD=60。，从而由圆内接四边

形的性质可得ZAED=120°；

(2)如图，连接OA,由NABD=60。，可得NAOD=120。，结合NDOE=90。，可得NAOE=30。，从而可得

360s

n=----=12:

30

【详解】解：(1)如图，连接BD,

:四边形ABCD是。O的内接四边形，

.,.ZBAD+ZC=180°,

,/ZC=120°,

.\ZBAD=60°,

VAB=AD,

.♦.△ABD是等边三角形，

ZABD=60°,

・・•四边形ABDE是。O的内接四边形，

.\ZAED+ZABD=180°,

AZAED=120°；

(2)连接OA,

・.,ZABD=60°,

・・・ZAOD=2ZABD=120°,

•/ZDOE=90°,

ZAOE=ZAOD-ZDOE=30°,

题型二：已知正多边形的中心角求边数

一、单选题

1.（2022秋•江苏•九年级专题练习）有一个正n边形的中心角是36。，则门为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】根据正多边形的中心角和为360。计算即可.

【详解】解：厅3寄60°=10,

故选：D.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360。是解题的关键.

2.（2022秋•九年级课时练习）如图，边AB是。O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是。。内

接正八边形的一边，若AC是。O内接正n边形的一边，则n的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根据中心角的度数=360。+边数，列式计算分别求出NAOB,NBOC的度数，可得NAOC=15。，然

后根据边数"=360。+中心角即可求得答案.

【详解】解：连接OC,

♦.•AB是。。内接正六边形的一边，

，408=360°+6=60°,

,:BC是00内接正八边形的一边，

/8OC=360°+8=45°,

/.ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-45°=15°

.,.n=360%15°=24.

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质;根据题意求出中

心角的度数是解题的关键.

3.（2023•江苏•九年级专题练习）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72。则该正多边形的

边数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据正多边形的中心角=3绥60-°计算即可.

n

【详解】解：设正多边形的边数为〃.

由题意当二=72。，

n

72=5,

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角36=0"°.

4.（2022秋・江苏南京•九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如图，点A、8、C、。为一个正

多边形的顶点，点。为正多边形的中心，若408=18。，则这个正多边形的边数为（）

D

A.5B.10C.12D.20

【答案】B

【分析】作正多边形的外接圆，连接AO,BO,根据圆周角定理得到NAO3=36。，根据中心角的定义即可

求解.

【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接A。，BO,

：.ZAOB=2ZADB=36°,

.•.这个正多动形的边数为罂=10.

36?

故选:B.

【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理.

二、填空题

5.（2022秋•江苏南通•九年级南通田家炳中学校考阶段练习）一个正多边形的中心角是30。，则这个多边形

是正一边形.

【答案】十二

【分析】根据正多边形的边数=周角+中心角，计算即可得.

【详解】解：•••一个正多边形的中心角是30°,

.•.这个多边形是：360°+30°=12,即正十二边形，

故答案为：十二.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系.

6.（2022秋•江苏•九年级专题练习）正n边形的中心角为72。，则”=.

【答案】5

【分析】根据正多边形的中心角之和为360。计算即可.

【详解】根据题意有一："=吗=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360。是解答本题的关键.

7.（2022秋•江苏泰州•九年级校联考阶段练习）一个正n边形绕它的中心至少旋转36。才能与原来的图形完

全重合，则n的值为.

【答案】10

【分析】直接利用旋转图形的性质结合正多边形中心角相等进而得到答案

【详解】•.•一个正"边形绕它的中心至少旋转36。才能与原来的图形完全重合

二鼠的值为：婴=1。

36

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题关键.

8.（2023秋•江苏扬州•九年级校考期末）一个正n边形的中心角为36。，则n为.

【答案】10

【分析】根据正多边形的中心角和为360。计算即可.

【详解】解：〃=36券0°=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360。是解答此题的关键.

9.（2023♦江苏南通・南通田家炳中学校考模拟预测）如图，ABC内接于：O,ZC=36°,弦AB是圆内接

正多边形的一边，则该正多边形的边数是.

【答案】5

【分析】如图所示，连接。4,OB,由圆周角定理得到NAO8=72。，则该多边形的中心角为72。，由此即可

得到答案.

【详解】解：如图所示，连接OAOB,

4=36。,

.・・ZAOB=2ZACB=72°f

.360—

72°

•••该正多边形是正五边形，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大.

三、解答题

10.(2022秋.九年级课时练习)【阅读理解】如图1,NBOC为等边43c的中心角，将/80C绕点O

逆时针旋转一个角度。(0°<£<120。)，/8。。的两边与三角形的边灰；4。分别交于点例,汽.设等边ABC

=

的面积为S,通过证明可得OBM=.OCN,则S四边形OMCN=SOMC+SOCNOMC+SOBM=S0BC=—S.

【类比探究】如图2,NBOC为正方形ABC£>的中心角，将NBOC绕点O逆时针旋转一个角度

a(0°<a<90°),NBOC的两边与正方形的边8C,CD分别交于点.若正方形A8C。的面积为S,请用

含S的式子表示四边形。WCN的面积(写出具体探究过程).

【拓展应用】如图3,NBOC为正六边形A8C0E厂的中心角，将NBOC绕点O逆时针旋转一个角度

a(00<a<60°),/BOC的两边与正六边形的边分别交于点”,N.若四边形OMCN面积为指，请

直接写出正六边形ABCQEF的面积.

【答案】【类比探究】四边形OMCN的面积=^S.【拓展应用】6指

4

【分析】类比探究：通过证明可得.08河经OCW,则

S四边形OMCN=SOMC+SOCN=OMC+S（）BM=0BC=正方形458•

+

拓展应用：通过证明可得小。3M经OCN,则S四边形OMCN=SOMC+S0cN=SOMCSOHM~SOBC=5S六边形ABCDEF•

【详解】解：类比探究：如图2,・・./B0C为正方形ABC。的中心角，

：.0B=0C,/OBM=/OCN=45。,

•/NB0C绕点、。逆时针旋转一个角度。（0。<。<90。）,N80C的两边与正方形的边5CC。分别交于点

M,N

：./BOM=/CON,

MB0M@4coN,

,•S四边形OMCN=SOMC+SOCN=SOMC+SOBM=S0BC=,正方形从的。•

拓展应用：如图3,・・・/BOC为正六边形A3CDE尸的中心角,

・•・OB=OC,ZOBM=ZOCN=60°,

・・・/BO。绕点O逆时针旋转一个角度a（O0<a<90。）,ZB0C的两边与正方形的边8CCD分别交于点

M,N

E

：.ZBOM=ZCONf

:,〉B0M2C0N,

,•Spq边形OMCN=SOMC+SOCN=SOMC+OBM=SOBC=7'Kill形ABCDEF•

o

♦.•四边形OMCN面积为后，

，正六边形ABCDEF的面积为6指.

【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握

旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键.

题型三：正多边形和圆

一、单选题

1.（2023•江苏扬州•统考二模）如图，正五边形ABCDE内接于_O,点F在弧AE上.若NCDF=95。，则NFCD

的大小为（）

A.38°B.42°C.49°D.58°

【答案】C

【分析】连接OE,OD,CE,根据五边形ABCDE是正五边形，可求出/CDE的度数，由NCDF=95。，可

得/WE的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可.

【详解】如图，连接OE,OD,CE,

A

二F

；五边形ABCDE是正五边形，

二NC£>E=（5-2）xl800+5=108°,

■:NCDF=95°,

：.ZFDE=NCDE-ZCDF=108°-95°=13°,

:.ZFCE=\30,

:正五边形A8CDE内接于<O,

ZEOD=360°-J-5=72°,

ZECD=-NEOD=36°,

2

NFCD=NFCE+NECD=36°+13°=49°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2.（2023春・江苏南京•九年级校联考阶段练习）如图，尸是正六边形A8CDEF的边EF上一点，则/4PC

的度数不可能是（）

【答案】A

【分析】作正六边形的外接圆延长”交；。于点G,连接CG,根据圆周角定理求得NAGC,再由三

角形的外角性质即可得出结论.

【详解】解：如图，作正六边形的外接圆。，延长4尸交。于点G,连接CG,

A3C0EF是正六边形，

，ZAOC=120°,ZAGC=-ZAOC=60°,

2

ZAPC=ZAGC+ZPCG,

.\zS4PC>60°,

二.A、B、C、D四个选项中，只有A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了正多边形外接圆，圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键.

3.（2023•江苏徐州•模拟预测）如图，面积为6的正六边形户中，点M,N分别为边BC,EF上

的动点，则阴影部分面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】如图，连接AO,BE,CF,交点为0,设EF与AO的距离为〃，根据正六边形的性质以及平行

（EF+AD）h

线间距离相等可得则整始里=-—=|,进而可求SmN，同理可求S*OM的值，根据

）ADN_____乙

S阴影=AL/xHl^ABCDEF~ADM~/\DN计算求解即可.

【详解】解：如图，连接AO,BE,CF,交点为0,

BMC

由正六边形4?C£>E尸可得，£F=AO=DC^|]EF=；A。，AD〃EF〃BC，

设防与A£>的距离为/?,

（♦♦+，£>）•6

则S四边畴£>EF_____2_2

SADN~四心一2，

2

•"S四边形AO£F=2XS正六边形ABCOEF=3，

•v-7

••。AON-4>

同理可得Ss”=2,

•"S阴影=S正六边形ABC0£F-SADM-SADN=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等.解题的关键在于确定阴影部分面积为正六边

形的面积与空白部分面积的差.

二、填空题

4.（2023春•江苏南京•九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）正方形A88内接于。，£是4。

的中点，连接BE、CE,则NABE='

【答案】22.5

【分析】连接。4、OD、OE,根据圆内接正方形的性质得到N4C©=90°,得到&OE=45。，再利用圆周角

定理求出—ME的度数.

【详解】解：连接。4、OD、OE,如图所示.

,/四边形"CD是圆内接正方形，

，Z4OD=90°.

是的中点,

:.NAOE=45。,

ZABE=-x45°=22.5°.

2

故答案为:22.5.

【点睛】此题考查了正多边形和圆，圆周角定理，正确理解圆内接正方形的性质是解题的关键.

5.（2023秋•江苏南京•九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE内接于O,.是：。的直径，户是I。

上的一点（不与点B,尸重合），则NBPF的度数为°.

【答案】54或126/126或54

【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理，分当点P在劣弧所上时和当点P在优弧BF上时，结合图形求

解即可.

【详解】①如图所示：当点尸在劣弧所上时，

连接。8、BP、PF,

•；ABCQE是正五边形，A尸是。的直径，

A

F

ABCDE是正五边形，

，ZBAE=ZABC=WS0,

・・•赫是O的直径，

・•・ZBAF=54°,

,:OB=OA,

:.ZABO=ZMF=54°,

JZAOB=72°,

・・・/FOB=108。，

・・・ZBOF=360°-108°=252°（N3O/为优弧斯所对的圆心角）

.・・ZBPF=-/BOF=126。；

②如图所示：当点尸在优弧防上时，连接。8、BP、PF,

,/A8CDE是正五边形,

・・・ZBAE=ZABC=108°,

・・•”是。的直径,

・・・ZBAF=54°9

,:OB=OA,

：.ZABO=ZBAF=54°9

：.ZAOB=72°,

・・・ZFOB=108°,

，NBPF=-ZBOF=54°；

2

故答案为：54或126.

【点睛】本题主要考查正五边形的性质、圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

6.（2023•江苏泰州・统考二模）如图，正六边形4?。£＞£尸与。相切于点C、F,则NCOF='

【答案】120

【分析】根据正多边形内角和公式可求出NE、ND,根据切线的性质可求出/OC£＞、ZOFE,从而可求

出NCO尸的度数.

【详解】解：•六边形ABCOEF是正六边形，

360。

.../E=ND=180°--------=120°.

6

EF、CL＞与〈O相切，

:.AOCD=ZOFE=90P,

NCOF=（5-2）x1800-90°-120°-l20°-90°=l20°,

故答案为：120.

【点睛】本题主要考查了切线的性质、正六边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解

决本题的关键.

7.（2022秋•江苏徐州•九年级校考阶段练习）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提

出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设。的半径为2,若用，。的

内接正六边形的面积来近似估计。的面积，则。的面积约为.

【答案】60

【分析】连接。4、。8,根据正多边形和圆的关系可判断出为等边三角形，过点。作。例，Afi于点

再利用勾股定理即可求出长，进而可求出sAOB的面积，最后利用。的面积约为6sMi即可计算出结

果.

【详解】解：如图，连接04、0B

E、---«D

由题意可得：NAOB=360+6=60°

OA=OB=2

二.OAB为等边三角形，

，AB=2

过点。作。M-LAB于点M,则4W=8W=1

在RtZiAOM中，OM=yl*-f=6

SA0B=—x2xy/3=A/3

，。的面积约为6SA°B=6百

故答案为：65/3.

【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键.

8.（2023•江苏南京・统考一模）如图，点。是正六边形尸的中心，以A3为边在正六边形ABOEF

的内部作正方形A8MN,连接0D,0N,则4DON=°,

【答案】105

【分析】连接。4,OB,0E,根据正六边形的性质可得，AO8QOE是等边三角形，再证明四边形038

是菱形，以及.AON是等腰三角形，分别求出488=120。，ZAO8=60o,ZAQN=75。，从而可得出结论.

【详解】解：.••六边形ABCDE是正六边形，

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,Z.FAB=ZABC=NBCD=120°,

•..四边形A6MN是正方形，

二AB=BM=MN=NA/NAB=ZABM=90°,

连接。4OB,OE,如图，

则,OOE是等边三角形，

NOAB=ZABO=ZAOB=60。,OA=08=AB,OD=ED,

：.OA=AN=OB=CD=BC=CD,NOBC=120°-60°=60°,NOAN=90°-60°=30°,

，四边形OBCD是菱形，ZAON=；（180。-30。）=75。，

二ZBOD=180°-NOBC=180°-60°=120°,

二ADON=360°-ZBOD-ZAOB-=360°-120°-60°-75°=105°,

故答案为：105.

【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正

确作出辅助线是解答本题的关键.

三、解答题

9.（2022•江苏•九年级假期作业）如图，已知OO内接正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形

的边心距「6、面积S6.

【答案】54g

【分析】连接。8,0GLC8于G,证明△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径凡然后由

勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6SaOBC求得答案.

【详解】解：如下图所示，连接。以设OGLCB于G,

,/六边形ABCDEF是。。的内接正六边形，

：.ZCOB=60°,OC=OB,

・・・△COB是等边三角形，

/.OC=OB=6cm,

即O。的半径R=6cm,

VOC=OB=6,OG1CB,

：.CG=BG=-CB=-x6=3cm,

22

22

在RtZ\COG中，r6=0G^>]0C-CG=3^(cm),

2

S6—6SOBC=6xx6x3>/3=54\/3(cm).

【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边

形的相关知识.

10.(2022秋.江苏.九年级期中)如图，六边形ABCDEF是。。的内接正六边形.

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分/BAF.

S.

(2)设。。的面积为Si,六边形ABCDEF的面积为S2,求苦的值(结果保留n).

【答案】(1)证明见解析

9

【分析】(1)如图，连接AE,AD,AC,根据正六边形的性质得到EF=ED=CD=BC,求得EF=ED=CD=BC，

于是得到ZEAD=ZDAC=ZCAB,即可得到结论；

(2)如图，过。作OGLOE于G,连接0E,设。。的半径为r,推出△OOE是等边三角形，得到£>E=

OD=r,/OED=60°,根据勾股定理得至OG=一EG'=且r,根据三角形和圆的面积公式即可得到

2

结论.

【详解】(1)证明：如图，连接AE,AD,AC,

,/六边形ABCDEF是。。的内接正六边形，

：・EF=ED=CD=BC,

：・EF=ED=CD=BC，

：.ZFAE=ZEAD=ZDAC=/CAB,

・・・过顶点A的三条对角线四等分N8AF；

(2)解：如图，过。作OGLOE于G,连接OE,

OE=r,

•••△ODE是等边三角形,

:・DE=OD=r,/0ED=6C,

；・NEOG=30。,

：.EG=-r,

2

OG=yjOE2-EG2=—r,

2

，正六边形ABCDEF的面积=6x[xrx且r=史巴

222

;。。的面积=113,

S、_7tr2_2上兀

:■$―36J9•

【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

11.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD内接于。O,P为BC上的一点，连接

DP,CP.

⑴求/CPD的度数;

（2）当点P为BC的中点时,CP是。。的内接正n边形的一边，求n的值.

【答案】（1）NDPC=45°

⑵〃=8

【分析】（1）连接on,0C,根据正方形ABC。内接于。0,结合圆周角定理可得/CPD；

（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出/COP的度数，进而得出答案.

【详解】（1）解：连接0力，OC,

•.•正方形ABC。内接于。0,

ZD(?C=90°,

Z.NDPC=-ZDOC=45°.

2

（2）解：连接PO,OB,如图所示:

•••正方形A8CZ）内接于。O,

:./COB=90。，

*••点P为BC的中点，

:，CP=BP'

：.^COP=-ZCOB=45°,

2

二〃=360+45=8.

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对

的圆周角等于圆心角的一半.

12.（2023•江苏•九年级专题练习）［阅读与思考］如图①，在正三角形ABC中，点M,N是A3,BC上

的点，且=，则4V=CN,ANOC=；

如图②，在正方形ABCD中，点N是AB,BC上的点，且AM=8N,则AN=OM,ZNOD=；

如图③，在正五边形ABCDE中，点M,N是AB,BC上的点，且=则AN=EM,ZNOE=；

［理解与运用］在正六边形ABCDEF中，点A/,N是AB,8C上的点，且AM=8N,则4N=FM,

ANOF=；

在正十边形ABCDEFGHU中，点M,N是AB,BC上的点，且AM=BN,则AN=/W,ZNOJ=；

［归纳与总结］根据以上规律，在正"边形A444…4中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点用，

N是A&，Azd上的点，且A〃=4N,AN与4M相交于。；也会有类似的结论，你的结论是

图①图②图。

【答案】60°；90。；108。；120。；144。；以上所求的角恰好等于正〃边形的内角生包亚

n

【分析】根据等边三角形的性质得出/B=NC4M,AB=AC,进而利用全等三角形的判定与性质得出,

ZOAC+ZBCM=ZNOC=60°；

根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：ADON=ADAN+ZADM=90°；

根据正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：ZEON=ZAEM+ZEAN=108°；

根据以上所求结论即可得正六边形ABCDEF中，ZNOF=120°；

根据以上所求结论即可得正十边形ABCDEFGHIJ中，Z.NOJ=144°；

根据以上所求得出在正“边形中，类似的结论.

【详解】解：阅读与思考：

•在正三角形ABC中，点"，N是AB,BC上的点，且AM=BN,

:.ZB=ZCAMAB=AC

♦.•在ABN和VC4A7中

AB=AC

"ZB=ZCAM

BN=AM

.ABN四&CAM(SAS)

AN=CM,NBAN=ZMCA

ZNOC=ZOAC+ZMCA=ZOAC+/BAN=ABAC=60°

故答案为：60°；

•••在正方形ABC£＞中，点M,N是AB,BC上的点，且AN=OM

:.AD=AB

在；ABN和△DAM中

AD=AB

</DAM=/ABN

AM=BN

.•.一ABN，DAM(SAS)

:,ZAMD=ZANB,ZADM=ZBAN

/.ADON=ZDAN+ZADM=90°

答案为:90°；

・・•在正五边形A8CDE中，点M,N是AB,8c上的点，且AM=BN,则AN=EM

:.AB=AE,ZEAM=ZABN

:在和BAN中，

AB=AE

<NB=NEAM

BN=AM

...ABN学一EAM(SAS)

:.AN=EM,ZAEM=ZBAN

.\ZEON=ZAEM+ZEAO=]08°

故答案为：108。；

理解与运用：

・・,正三角形的内角度数为：60°；正方形的内角度数为：90°；正五边形的内角度数为：108。；

・・・同理可得：

在正六边形ABCJM户中，点N是AB,BC上的点，S.AM=BN,则AN=FW,NNO产=120。；

故答案为：120。；

同理可得：

在正十边形ABCOEFG"〃中，点、M,N是AB,BC上的点，且AM=8N,贝！14V=,NNQ/=144。；

故答案为：144。；

归纳与总结：

根据以上所求的角恰好等于正〃边形的内角，

所以所求的角恰好等于正〃边形的内角"L2)J80°

n

故答案为：以上所求的角恰好等于正〃边形的内角5-2)・180°

【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用三角形的外角性

质是解题关键.

13.（2022秋.江苏徐州.九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1,点。、

A都在格点上，以。为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图.

⑴在图①中画；O的一个内接正四边形A8CO,S正四边粉BCD=；

⑵在图②中画。的一个内接正六边形A8CDEF,S正六边形A5CDEF=

【答案】（1）图见解析，32

⑵图见解析，24百

【分析】（1）只需要作直径AC、BC,并使得4C15Z）即可；

（2）如图所示，取格点8,C,D,E,F,然后顺次连接4、B、C、I）、E、尸得到正六边形，再求出求面

积.

【详解】（1）解：如图所示，正四边形ABCD即为所求；

SJE四边形„，=3ACBD=5x8x8=32,

故答案为32；

D

(2)解：如图所示，正六边形AB8E尸即为所求;

过点。作0H1BC于4,

•..正六边形ABCDEF,

360°

:.NBOC=——=60°,

6

又,：OB=OC,

△OBC是等边三角形，

/.OB=2BH=4,

OH=>JOH2-BH2=，

S正六边形=6sAOBC=6x/x4x2>/3=246.

故答案为：24下).

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知正多边形和圆的相关知识是解题

的关键.

题型四：尺规作图

一、解答题

1.（2022秋•九年级课时练习）如图1,等边ABC内接于。O,连接CO并延长交。O于点D.

（1）可以证明CD垂直平分AB,写出AO与08的数量关系：一.

（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：

①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）.

②请在图2中作出的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹（作图过程用虚

Mt图2

【答案】⑴AD=DB；（2）①见解析，②见解析

【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB,从而利用垂径定理得出结论

即可；

（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO,B0,分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；

②如图，延长AF,EC,交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴.

【详解】（1）AD=DB，

为三角形的外心，

AO为三角形三边中垂线的交点，

又•••三角形为等边三角形，

...可得CD垂直平分AB,

根据垂径定理可得：AD=DB；

（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接A0,并延长至E,连接B0,并延长至F,顺次连接圆周上

各点即可；

n

【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键.

2.（2022秋•九年级课时练习）如图，己知AC为一。的直径.请用尺规作图法，作出。的内接正方形

ABCD.（保留作图痕迹.不写作法）

【分析】作AC的垂直平分线交。。于8、D,则四边形A8CC就是所求作的内接正方形.

【详解】解：如图，正方形A8c。为所作.

垂直平分AC,AC为。的直径，

:.BD为。的直径，

：.BD±AC,OB=OD,0A=OC,BD=AC,

.,•四边形ABC。是。的内接正方形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查r圆的基本性质，正方形的判定.

3.（2022•江苏•九年级专题练习）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

（1）如图1,A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线

相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）

作图：

①如图2,在DABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;

②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作AABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.

【分析】（1）作直径AC,分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点

M、N,作直线MN交圆于点B,D,四边形ABCD即为所求；

⑵①连接AC、BD交于点O,则。为BD的中点，连接BE交CO于点G,连接DG并延长交BC于点F,

则F即为所求；

②如图，利用网格特点连接BM,则可得直线BM_LAC,连接CN,则可得直线CN_LAB,两线交于点E,

连接AE并延长交BC于点H,则AH即为所求.

(2)①如图所示，点F即为所求;

D

②如图所示，AH即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是

解题的关键.

4.(2021秋•江苏•九年级专题练习)已知正五边形ABCDE,请仅用无刻度直尺作图.

图1图2

(1)在图1中作点P,使得△8。尸是等腰三角形：

(2)在图2中作点0,使点。称为正五边形ABCDE的中心.

【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析.

【分析】(1)直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置；

(2)利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置.

【详解】解：(1)如图所示：点P为所求；

(2)如图所示：点O为所求；

图2

【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是

解题关键.

5.（2021・江苏无锡•九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作

图.

（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；

（2）在图②中，作一个含30。的直角三角形.

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】（1）连接AD,BE交于点O,即可得到所求三角形;

（2）连接AC,CF,即可得到所求三角形；

【详解】（1）如图①所示：AAOB即为所求三角形；

（2）如图②所示：AACF即为所求三角形.

【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120。，是解

题的关键.

6.（2022秋・江苏•九年级专题练习）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：。0,点A在圆上.

求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD.

【答案】见解析

【分析】作直径AC,过点。作交。。于B,D,连接AB,BC,CD,AD即可.

【详解】如图，四边形A8CO即为所求作.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

二、填空题

7.（2021秋•江苏•九年级专题练习）如图，在中，MF为直径，OAJ_MF,圆内接正五边形ABCDE的

部分尺规作图步骤如下：

①作出半径OF的中点H.

②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G.

③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B,C,D,E.

已知OO的半径R=2,则AB』一（结果保留根号）

【答案】10-26

【分析】连接AG,由作图可知，OA=2,“为OF中点，可求0”==1,由勾股定理得A”=&M2+O“2=亚,

可求OG=^-1,由勾股定理A¥=AG2=OA2+OG2=4+（石-1）』10-2石即可.

【详解】解：连接AG,由作图可知，OA=2,OH=l,"为OF中点，

OH=—OF=』x2=1,

22

在吊△OAH中，由勾股定理

AH=^OAT+OH2=>/22+12=亚>

"：AH=HG=45,

：.OG=GH-OH=45-1.

在R/AAOG中，由勾股定理得，

：.AB2=AG2=OA2+OG2=4+（75-1）2=10-2小.

故答案为：10-2石.

【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内

接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键.

L真题演练

----------------------lllllllllllllllllllllllllllllllllllllltll

选择题（共10小题）

1.（2023•工业园区校级二模）阅读理解：如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选

定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由/MOx的度数0与OM的长度m确定，有序数对（。，

加）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用：在图2的极坐标系下，如果正

六边形的边长为4,有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）

（60°,472）D.（45。，2V2）

【分析】设正六边形的中心为。，连接AO,判断出△AOO是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD

=OA,/4。力=60°,再求出OC,然后根据“极坐标”的定义写出即可.

【解答】解：如图，设正六边形的中心为。，连接AD,

：400=360°4-6=60°,OD=AD,

.♦.△400是等边三角形，

：.OD=OA=4,N4OO=60°,

二OC=2O£>=2X4=8,

.♦.正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°,8）.