2022年陕西省汉中市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022年陕西省汉中市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

、单选题（30题）

AX一1

/W=V~L>则x=o是/W的（）

e^+1

A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点

设曲线L的方程是-r=acosl.y=asin/.其中（a>0,04，42“）.则曲线积分

(xJ+y'Yds=

A.2naz"B.2m2小

下列级数中发散的是

D.gsin全

.设“z，.y）为连续函数Jd.r「/Q7）dy+『d.r『7（*”）如交换积分次序后得到

JoJoJiJO

B.[dvf/(.r.

v2/（«3）八

dJ'

5.

函数/Gr）=在C—2,21上满足罗尔定理条件,则定理结论中的s=（）

A.0B.1C.2D.3

6.

函数,y=T3在闭区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件，其中E=()

丸§:B,C.\/3D.-V3

3„3

7.

>0),则无穷级数£

A.条件收敛B.绝对收敛

C,发散D.敛散性与a的取值有关

8.

过点(2,1,5)且垂直于平面31-6)，+之一7=0的直线方程为()

A①+2-y+1=.+5H_2_V—1_■—5

3—61.3—6-1

(、①+2_.y+1_。+5n才-2_y-1_之一5

,3-6-1»3-61

9.

若级数£>”，£>”均发散，则必有

()

iw-J

r»8

A.2(a”+〃，)发散B.2。a.1+1乩|)发散

M=1J»u1

oa8

C.2(足+睨)发散D.发散

n=1

10.

.设/(/)为连续函数•则|：/Q')d.r=()

A.|COSH/(sin.r)d、rB.Jsin</(cos/)dj,

C.[cos、r/(cosi)dwD.Jsinj*/(sin/)dx

函数歹=五2+内二7的定义域是（

)

inx

A.(0,1)B.(0,l)U(l,3)

C.(0,3)D.(0,l)U(l,3]

11.

12.

Arg(1—i)=()

A三B4+2”整数)

4

D.—4+2版（&为整数）

4

13.

lim/(x)=oo,limg(x)=co,则必有()

XT。XT。

A.lim[/(x)+g(x)]=ooB.lim[/(x)-g(x)]=0

XT。XT。

C.lim-------------=0D.Iim4f(x)=oo,(左。0)

—f(x)+g(x)XT。

14.

无论方差。2是否已知•正态总体均值"的置信区间的中心都是()

A."B.a2

C.xD.S2

15.

函数y=coss(ee")的复合过程是()

A.y=cos°〃，〃=er,v=eu,w=x~

B.、=cos'〃・u=ec,v=x2

1w，

C.丁=.〃=cose'=e.w=JC~

D.y==COSB,V=eu，,w=eJ/>=x2

16.

函数y=lnx-x的单调增区间是()

A.(0,1]B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.(0,+oo)

17.

若函数/(Z)在区间上连续•则下列结论中正确的是(

A.在区间(a,6)内至少存在一点&使得/(e)=0

B.在区间(a,6)内至少存在一点£使得/'(»=0

C.在区间(a,6)内至少存在一点£使得八6)—/(a)=/«)(，一a)

D.在区间(a.〃)内至少存在一点£使得『/(z)dz=/(£)(〃-a)

18.

若|/(彳)(1]=+C,则|sinN/(cosjr)<Lr()

A.F(sinx)+CB.—?Xsinx)+CC.F(cosx)+CD.一F(COSJT)+C

在下列各式中，正确的是()

Arsinx.c..sinx,

A.lim------=1B.hm------=1

xfOxIEX

_.sinJC«、sinx,

C.hm------=1D.Inn------=1

XT-COr

19.x工T9X

20.

(叉

zfu-h)-f(jCc-h)

若/(x0)=2,则极限lim(

A.-2B.2C.-4D.4

21.

设X的分布为

X0123

P0.10.30.40.2

F(T)为其分布函数,则F(2)=)

A.0.2B.0.4

C.0.8D.1

22.

设曲线y=-f(x)在[a・瓦|上连续,则由曲线,y=—/(])•直线x=a,h=b及、r轴

围成的图形的面积A=()

A.I,f(a)d,rB.—ff(jc)dxC.f|f(x)\dxD.Iff(x)daI

JaJaJaIJa

23.

极限lim(l2z)+=()

x-*O

A.e2B.1ClD.9

24.

已知/(x)=x2+2£/(x)dx,则£/(x)ix=()

A.—B.—C.-1D.1

33

25.

某公司要用铁板做成一个容积为27n?的有盖长方体水箱,为使用料最省，则该水箱

的最小表面积应为()

A.54m2B.27m2C.9m2D.6m2

26.

已知函数/(上)满足lim/Q”-3――八无，)=6,则/'(1,)=()

A.1B.2C.3D.6

27.

已知/（X）=1----•则=)

X

A.N—1B.—

2----1

D.-j-5—

1-X

28.

极限lim/?(Vx+a—口)=1.则a的值是()

■T•-8

BC-

A.1-1-T112

29.

.下列函数中，不是e2r-eT，的原函数的是)

A.y(er+e-r)2B.y(er-e-O2

乙乙

C.j-Ce^+e2r)D.J(e2r-e2j)

30.

试确定当才-0时•下列哪一个无穷小是对十,r的三阶无穷小（）

A.x/CP"—\[xB.6+-1

C..v:,+0.000"[>.\/sin.r'

二、填空题（20题）

31曲线了=的拐点是.

产=—t+2,

过点（1.2.—1）且与直线J），=3/-4,垂直的平面方程是

Qz

设函数z==xytv=y,其中/具有连续偏导数，则丁=

33.为

dz

dy

11

lim__+/+…

^7^+1J/+2

34.

过原点且与直线三」=中=/垂直的平面方程为

35.21

C。

幕级数£(〃+1)工"的收敛区间为

36."=1

OO

若=£(£>0),则正项级数士>“的敛散性为

37.…«-1

设/(Q=+1,则/"(i)=

38.

39.

已知函数/3=壬.则定积分。-9注产的值等于----------

N=W.则丁丁=

40.心心

••：，V-II

曲线V=MT的极值点为拐点为

4'11•,

曲线y=在①=1处的切线方程是

42.

43.

如果函数/（Z）在.to处可导,且/（Z。）为f（x）的极大值，则/（X0）=.

44.

设函数/（1）=log,彳（1>0）,贝lim----------------"'）

45.

某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为则恰有2台同时开工的概率为

设/（.r）=lim（1一1），则“ln2）=

1.工

已知极限lim/1—I）=尸］，则常数&=

478ykxJ

级数X士的和是

48.M。

微分方程口了—.yln,y=0的通解为

曲线y=we-，的拐点为

三、计算题（15题）

5]求函数歹=x?-3x的单调区间、极值点及拐点.

52.

计算一事积分，d.rdv.其中D是由曲线y=斤三(丁〉0)与三条直线y=，.r=

3,y=0所围成的平面田区域.

53.

已知点A(4.—1,2),B(1,2,—2)((2,0.1),求AABC的面积.

3X

试确定塞级数，~的收敛域并求出和函数.

求极限limMl•C—Jn(l"

ism、、r

55.

求不定积分ln(z++f)d%.

56.)

求基级数£⑵十》的收敛域.

57."=】n

将/(%)==_」——展开成X的森级数，并写出其收敛区间•

58.X2-3X+2

求定积分](x~l—••---；—-.)dx.

59JT，2厂7

60.

12K]]2

2yl

改变二次积分/二£dx['e，dy+jLdx^edy的积分次序，并计算/.

1

将/(x)=0,展开成1的舞级数.

61.之一

求极限

62.…1--.

“求微分方程y+ysinx=e3x的通解.

63.

64.

俨=「+2%—3,

设函数y=乂"由参数方程」所确定•求参数方程在/=0处的切线

[y=k

方程和法线方程.

求Jcos3.rcos5jrdj'.

65.

四、证明题(10题)

66.

已知方程2、"一/一.一十.r=0有一正根r=1.证明方程111/°—7V—3/+1=0

必有一个小于1的正根.

设eV〃V/2Ve?.证明In2/?—In2a>*(b—a).

67.e-

68.

设函数F(.r)=/(三)二/⑷(I>0),其中/(x)在区间［a.+8)上连续，/"(才)在

J—a

(a,+8)内存在且大于零,求证：FQ)在(a,+8)内单调递增.

69.

证明：当1〉0,0VaV1O']..ra—ar&1—a.

70.

要建造一个容积为167t(单位：n?)的圆柱形蓄水池，已知侧面单位造价为a(单

位：元)，池底单位造价为侧面单位造价的两倍，问应该如何选择蓄水池的底半径r和

高人，才能使总造价最低.

71.

证明：当才〉0时，—.〉ln(1+JT).

72.

已知方程z"T7-J?+分=0有一正根h芸,1,证明方程11工‘°-7丁'3JT2+1=0

必有一个小于1的正根.

73.

设/(.r)在［-上连续(a>0.为常数)，证明「f(x)d.i=『［/(］)+/(—M)JcLr.

J-aJ0

并计算「COSJC

X

J一.1+e-

4已知/(])=.r5—3.r—1,求：

(1)函数/Q)的凹凸区间；

(2)证明方程八])=0在(1・2)内至少有一个实根.

75.

证明不等式：E-<片（1+7），其中z>0.

1十］

五、应用题（10题）

76.

设平面图形D由曲线.y=L和直线y=才,』・=2及/轴围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.

求z=6——j2所闱立体体积.

77.

78.

已知曲线1y=aG（a>0）与曲线y=Inc在点（才0，义）处有公切线•试求：

（1）常数a和切点Qo,加）;

（2）两曲线与h轴围成的平面图形的面积S.

证明：对，>0.有宜茅1记.

79.

80.

现有边长为96厘米的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形.折做成

无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大？

81.

某企业生产某种产品，其固定成本为3万元，每多生产一百件产品，成本增加2万

元；总收入及（单位：万元）是产量夕（单位：百件）的函数，R（q）=5q-；/，

问：当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

82.

设平面图形Q由曲线），=5和直线.y=a;r=2及/轴围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.

83.

用薄铁板做一体积为。的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能

使所用材料最省.

84.

某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数CQ）=40000•

20010.002/,收入函数R（_r）=350]0.004/,则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

85.

求由直线1=11=e,_y=0及曲线,V=Y所围成平面图形的面积.

六、综合题（2题）

86.

设数列{%},{2}满足0<%<y»o<b,<J,cosa,—cosft,=a,,且级数二6“收

敛.证明:

（1）lima,=0s

w-*co

（2）级数收敛.

o该曲线的方程:

O7/.

参考答案

1.B

2.B

【精析】原式=j十a-in，)"♦■</(—asint)i+(acost)'dl

=fa?n•adt=a'""df=2兀a"田.

JoJo

3.C

【精析】画出积分区域如图•交换积分次序•得

4.C

5.A

［答案1A

【精析】•.•/口）在［-2,2］上满足罗尔定理.且=7Tm所以有=

（1十工）

^^广。,解之得…

6.A

7.A

【精析】当”f8时,总存在N.使得”>?/时,0<言<言=微恒成立，其中N

=嵯，取？-=［”+口，则级数tU.为交错级数，且Sin帝＞sinT=＞。.又

VWy/n-1

8

limsin—=0,所以由莱布尼兹定理可知级数E“”收敛，又X&=%十%十…十“I

A®4ni»«-i

8

+2,由级数的性质可知有限项不会影响其敛散性，故原级数收敛；对于级数

»=i

-e।-卜皿国，.

S«-=S|sin-^|.lim—声一=a,根据P级数的收敛条件知百原是发散的.

所以由比较审敛法的极限形式知级数X““I是发散的•所以Z〃“是条件收敛•故应

选A.

8.D

［答案1D

【精析】由题意可知平面的法向量为｛3•-6.1｝,又直线垂直于平面,故直线的方向向

量为｛3.-6.1),又直线过点(2.1,5).于是可知所求直线方程为三二=工二废=

3—6

十2•故应选D.

9.B

10.A

［答案］A

f7「母上=/「】

【精析】|cos.rf(sina-)dJ-=f(siru、)d(sin.r)/(z)ck.

JoJoJo,

ll.D

D

【评注】根据对数的定义域及InxwO,得xwl且x>0；同时9一，20得

-3<x<3,所以该题的定义域为(0,1)11(1,3］,所以选D.

12.D

［答案［F)

【精析】arg(1—i)-arctan—p-—-p.Arg(】—i)-arg(I—i)+2ATT—-y-+2/?7r(A,

为任意整数).

13.D

D【评注】显然有limfL+x=oo,limf—+x=8；

xJ

A不对.如lim一+Xlimx=0*oo

XTOXTO,

B不对.如Hni［—+x--|=limf—+x=8=0：

刊(x)xJ—VJ

C不对.如---\----=lim-=oo?sOsD正确.可由无穷大定义证明.

xfO(l)-1i°x

I-+x+—

VXJX

14.C

l_答案」C

【精析】置信区间的小心即是样本均值•与方差是否已知无关，故选c.

15.D

【精析】y=cos5(ee)的复合过程是y=«?.“=cosv,n==e，,/>=*.故应

选D.

16.A

【评注】本题考查函数的单调增区间，函数定义域为(0,+8),导数

y=--i>o=>x<i,所以单调增区间为(05.

X

17.D

【精析】要得到A项结论，还需满足/(了)在(a.〃)内可导以及/(a)/(〃)VO;要得到

C项结论,还需满足/(z)在(a")内可导；要得到B项结论，不仅要满足C项所需条件.

还需满足/(a)=所以A、B、C项均不正确.

匚答案］D

,

【精析】sinj-/(cosj)clj=—/(cosjr)dcosx=­F(COSJ-)+C.

18.DJJ

19A【评注】这是第一个重要极限，注意趋向.

20.D

［精析］1沁义工°一人)；八网—&)=&lim/"。+冷工八工。一人)=2/5)=4.

8一。h*--oLh

21.C

［答案］c

0.1V0•

0.1.0<X<1.

【精析】分布函数FQ)=.0.4・141V2•则F(2)=0.8•故应选C.

0.8.2<；r<3,

1•133・

［答案］c

Da【精析】由定积分的几何意义知C正确.

［答案1c

【精析】lim(l2.r)*=lim(l26士"->"+=e",故选C.

23.C…「。

24.B

25.A

［答案1A

【精析】设长方体的长宽分别为a./)，则高为号.

ab

于是，表面积5=2(H>+1+2=2而+显+乎，

naab

(HS54

—=29〃/-----=n0,

3,“Ffa=3,

6=3*

2727

由实际问题最值一定存在.可知最小表面积S=2(3X3+^+引=54(n］2).

26.B

［精析］lim+3竽-=3lim/""+紫)―/"")=3'()=$.所

-<iA.rA>—«3AK

以/(x«)=2.

27.D

【精析】=ft1-\=1-------=I-----------=—•故应选D.

\X/］__1_X_1X—11―X

X

28.D

【精析】limx/7(，r+a—J7)=lim-。"—―=-y=1,故a=2.选择D.

+00，入•+"+/4、~

29.D

【精析】A项：［*（e"+eJ）2J=j-2（er+e-,）•（er-e-r）=e2'-e-2j;

B项:［十（e，—e">J=J«2（e‘一ex）•（e，+er）=e"—e*；

C项:已d=l（e2j.2-2e2j）=e"—e2j；

D项:［十（e?"J=5（2e"+2e〃）=e。+e2,;

故应选D.

30.B

［答案］B

【精析】lim/产:衣极限不存在.则A错；lim/土=二2二1加2二则

、/1+Z—1在.「f0时是.，的三阶无穷小.故B正确；lim《+0.?QQ2r=j+

/*H,r

lim'"""="•故C错；lim=limW=lim二=♦故D错.

•»!'，■"i'।”JT'.«a，X~

31.

9

”）

［答案］（24）

【精析】由于》'=e~—.re-x.令y=-e-J—e-^+je-x=0得.r=2,

,9

wV2时y"<0,J->2时），”>0.故.y=.re-，的拐点为（2.3）.

32.

x—3v—z卜4=0

/=—/12,

【精析】由于所求平面与直线|、，=3/—4.垂直.则所求平面的法向量为〃-1.

I^=/-1

3.1.又平面过点（1.2.—1）.故平面方程为一（了一1）I3（,y-2）I（ziD0.即了

-3y-zI4-0.

33.

要dfdf

y*x~^~+T~

duouov

34.

1

【评注】由―/•d—丁—+■・•+-[一,<,=+―/-+…4—/

4n2+ny/n2+2yjn1+nV»2+1v»2+2^n2+n

11

n2+1yjn2+1n2+1

〃/111n

J〃2+〃J〃2+14n2+2M2+1

又lim/“_=1,lim/"=1,故原极限为1.

-°J/+曾"-KO7„2+1

35.

2J-+v-37=0

［答案］2.r+j-3z=0

【精析】由题意知平面的法向量为"=〈2・1,一3>且平面经过原点0(0.0,0).

所以所求平面方程为2j•十=0.

36.

[答案1(-1.1)

【精析】因为R=limrlim〃+1i1

ir-*=-=，

(-1.1)所以收敛区间为(一1.1).

37.

发散

因为=lim*=k(4>0).故£>“与土工具有相同的敛散性,所

W

"-8«…N.l

n

oo

以Xw"发散.

1

38.

ie-1【精析】/'(=)=Zre"+故/'⑴=2ieT—ie-

39.

In

乙

【精析】，（十）=占

rETf(5户可£心=In(1+川：=In3-ln2=

Inj.

40.

（27+.严了）。々

22*a?之

m+.rveJ?,»--7-=.re，'+.re*>+Mye”=(2x+xzy)e”.

Hz'dxdy''

41.1

42.

3)，+2i=5

【精析】y'=一如7,则切线的斜率/=、'=-I".当z=1时,y=1，故切线

3.r=i3

9

方程为y—1=-宗z—1),整理得3y+2才=5.

43.

0

【精析】因为/Q）在了=1。处可导，且/1。）为函数的极大值.所以工。也一定是函

数的驻点，即f'g=0.

44.

_1

jln2

【精析】lim/"—△])—/(幻=-lim仆――/(工)=_/(.)=-1

Ai-o—&Ziln2

45.

L答案」武仔1）2⑺?3

123

【精析】由题意知.恰有2台同时开工的概率为（、“十）信2）.

46.

-1lim（l--）"=lim（l—土）-+■，>=e",故/（ln2）=

2L8nftL

47.

［答案］4

4

_L（］__L）

【精析1。一；=%一—用7<i-^）=小所以5^=1-

49.

y=F（（、为任意常数）

【精析】方程分离变量得虫=芈.两边积分得1记才「g=ln|Iny|.即y=J.

.rvInv

其中c为任意常数.

50.

［答案1(24)

［精析］y—c~J—-上=-e-jr—(e"J—)=/(?一’-2^J=(.r—2),

9

令y=0得▲'=2,即拐点为(2,£).

51.

解：/=3X2-3=3(X-1)(X+1),令y，=0得到X=T或X=L

当xeU(L+°。)时，y'>0所以函数在(-8,-1)U(L+8)上单调增加,

当XG（-U）时，y'<0所以函数在［-L1］单调减少，所以X=1为极小值点，X=-1为极

大值点.y"=6x,令/=0得到x=0.当x>0时胃>0,当x<0时y'<0,所以

（0,0）为拐点.

52.

【精析】区域。如图所示.

方法一原式=rcosftdr

=J；c。叫气丁)的

=51：(焉一88助惮

=e(27tan08sin«)I

3Ic

第16题图

=9一述

3•

方法二Jpdid.y

所求积分为三角形区域OAC上的积分与扇形OBD的积分之差.

53.

【精析】初={3・一3,4},/=口・一2.3),

Szi.ABC=JII沈Xli^),

iJA

而肃x/=3-34=(-1,一5,-3}.

1-23

故|就X戏|二A/(-1)2+(-5)2+(-3)2=735,

故S&wc=

54.

1

4E〃一2

【精析】p=limlim=1,故收敛半径R=1•

1

〃+1

R

(-l)n

当1=-1时,级数为2,为收敛级数.

n+1

8

当才=i时.级数为x-3•为发散级数，

故原级数的收敛域为

g

s

S(x)==1+三+三+《-1—十•••

W+1234〃+1

M-0

1Hl

—/a--4--4-...1|

x(234〃+1

8r00r

令SC)=W菅=［：(*")山=J；「山=-ln(l-x),

K

故土金=一皿亍2,］£［一］,］）且“声0,当工=°时，和为］.

加(1=M'z£且h#0,

即SO)

1,x=0.

55.

2•?

.JT-sm/

In

ln(l4-x2)ln(l+sin2^r)1+sin匕

【精析】limlim—C

x-*0.1MilJ■T—0

2

yx-sin。=lim

"^x4(l+sin2x)r一州内

.Hm^inx

sirur

2lim—=2lim—COSJ,

2x

3

56.

【精析】ln(、r+八+1)&r=rln(i++7)—.rd[ln(x++1)]

—万n(、r+，1+M)—x

J+x2

=rln(z+/rT7)-y[(l+z”Td(l+/)

4•

=j4n(、r+f)—，+L+c.

57.

【精析】令2.r+l=/.级数化为£；9

p=lim如=lim芸•3=/隔+=产，若级数收敛,则pVl.即〃VI,

*L8U„…871TlrL8fl+1*

从而一1V/V1.

821f©o

所以级数§F的收敛区间为(一1，1)•当/=±1时•级数化为g十是发散的.

-1<2J+1<1.即一1ViV0.所以所求级数的收敛域为(-1.0).

58.

1_1____L=J____i__j__ii

解：/(x)

(x_l)(x—2)%-2x—1]—x2—x1-x2[_/

~2

收敛区间为(-1,1).

59.

=]IA

3,

60.

解：交换积分次序后为：J=£d^e/dx,由此得

2

I=£e/Wd_y=：£de/=：(e_l).

61.

【精析】/(l)="

1「1]

211(JT-1)1一(/—1)

1—1IV1.

62.

rJ

i・e-siar—1re-sini—1

lim--------厂=lim-------1-----------------------------------

I1-一i+(-7)-][

e，-cos/

2lim

jf*O2.x

e'+sin'r

=2lim

J*1.2

63.

解：y'+ysinx=e8，*是一阶线性方程，其中paKsinx.ga'ee",

Jp(x)dx=Jsinxdx=-cosx+C)，j^(x)e^P(x)dtdx=JecosxeMSXdx=jdx=x+C»

代入公式得到通解y=^pMdx(f夕(切例*"dx+c]=eC0SX(x+Q.

64.

【精析】行2，+2,学=-e

市

力

出

所/

以e-'

V-石

―2T2'

d7

当r=0时,jr=—3,y=11

02

所以切线方程为y—1=—^Q+3).即J+2v—1=0.

法线方程为3—1=2(h+3).即2］一丁+7=0.

65.

【精析】原式=■^■J"(COS8H+cos2jr)<Lr=•^Jcos8xd(8x)+/卜os2/d(2jr)

=/(-i-sin8.r+-^-sin2x)+C=}(sin2i+:sin8x)+C.

66.

【证明】令f(x)=.r"-V—丁+才，则根据题意可知./