2024届云南省德宏傣族景颇族自治州高三上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2云南省德宏傣族景颇族自治州2024届高三上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，得，又，所以.故选：A.2.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，方程的两根为2和3，则，则为，其解集为.故选：D.3.已知为的边的中点.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以.故选：B4.已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得.故选：A.5.在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，将三棱锥转化为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.6.甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应比乙被抽取的小，若甲被抽取的两张牌点数都为10，不合题意；若甲被抽取的两张牌一张点数为10一张点数为5，则乙被抽取的两张牌点数都为9；若甲被抽取的两张牌点数都为5，乙被抽取的两张牌点数都为9或一张点数为9一张点数为4.则所求概率为.故选：D7.已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，有，即，得，由，解得，若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则，即，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A8.已知函数，则函数的零点个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，则存在，使得，画出的图象，如下：令，则，当时，令，解得或，若，则，结合图象可知，此时存在两个根，，若，则，结合图象可知，此时存在和满足要求，当时，令得，此时，结合图象可知，此时存在两个根，综上，共6个零点.故选：C二、多项选择题9.已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则的最小值为1〖答案〗CD〖解析〗对于A，设，则，但，故A错误；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：CD.10.已知双曲线左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（）A. B.双曲线的离心率为C.矩形的面积为 D.双曲线的渐近线方程为〖答案〗AB〖解析〗如下图所示：设，所以，由双曲线的定义可知，因为四边形为矩形，所以，因此，所以选项A正确；由，所以选项B正确；矩形的面积为，所以选项C不正确；因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，故选：AB11.已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，得，即是与交点的横坐标，由，得，即是与交点的横坐标，画出，，，的图象，如下图所示，与它们的交点依次为，与关于直线对称，所以，关于对称，则，，由，解得，，所以，故A正确；对于B，由，且，则，，所以，令，，则，所以函数在上单调递增，，即，故B正确；对于C，由，，所以，故C正确；对于D，由，，则，若，则，当时与矛盾，又显然不成立，故D错误故选：ABC.12.在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（）A.存在点，使得平面B.若，则动点的轨迹长度为C.若平面，则动点的轨迹长度为D.若平面，则三棱锥的体积为定值〖答案〗BCD〖解析〗以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，设点，其中，设平面的法向量为，，，则，取，得，，若平面，则，则，解得，，与已知矛盾，A错误；由，得，则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，因此动点的轨迹长度为，B正确；若平面，则，即，因此点在底面的轨迹为线段，点的轨迹长度为，C正确；由于平面平面，平面，则点的轨迹为线段，显然，，因此平面，而平面，即平面，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，从而为定值，D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________.〖答案〗8〖解析〗由可得或，因为a、b是方程的两根，不妨设，，所以样本平均数为，故样本方差为：.故〖答案〗为：814.已知，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗令，题设圆的圆心，半径，又，且，所以，，，则，故，所以，当且仅当，即时取等号，综上，的最小值为.故〖答案〗为：16.设函数，.若在恒成立，则实数取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗在恒成立等价于，所以，即对任意恒成立，

设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．故〖答案〗为：四、解答题17.在等差数列与等比数列中，已知，，且，.（1）求数列，通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由题意，令公差为，公比为.由，即，有；，，；由，即，有.，.（2）由（1）有.则有.18.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）锐角中，，且，求的取值范围.解：（1）由题意有，由，，有；由，得.故函数的最小正周期为，单调递增区间为.（2）由（1）有，即，又，所以，所以，即，由，所以，则，.因为是锐角三角形，所以即，所以，所以.则有.所以，即故的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，异面直线与所成角为.（1）证明：与平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点M在棱上的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系.令，，由，有，，，，，，，.由，有由，有.有，，，，，即，，又，平面，平面.故与平面.（2）解：假设棱上是存在一点M，令，由，，设平面的法向量为，易知，由，.设平面的法向量为，则有，令，则，则，则由，解得：.故存在为的中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.（1）解：依题意，有，当直线垂直于轴时，，所以，解得，.故椭圆的方程为.（2）证明：由（1）易得，设直线的方程为，且，.由，得，易得，则，，所以，记的中点为，则直线的垂直平分线的方程为，令，得，则，则有，又，则有为定值.21.设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.解：（1）记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，又，有；（2）由条件知，3，4，且，，，的分布列为：X234P故.22.已知函数.（1）若函数在上单调递减，求出实数的取值范围；（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解：（1）由题意有，.则由题意，有，即在上恒成立，即在上恒成立，，令，又在上单调递增，且，有，故.（2）由，方程有两个不同实数根，即在上有两个不同实数根；令，有；令，有；令，有；由，有，即函数在上单调递增；又，则，即函数在上单调递增；又，则，有，即；，有，即；即函数在上单调递减，在上单调递增；有，且；由直线与函数有两个不同的交点；故实数的取值范围为.云南省德宏傣族景颇族自治州2024届高三上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，得，又，所以.故选：A.2.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，方程的两根为2和3，则，则为，其解集为.故选：D.3.已知为的边的中点.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以.故选：B4.已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得.故选：A.5.在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，将三棱锥转化为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.6.甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应比乙被抽取的小，若甲被抽取的两张牌点数都为10，不合题意；若甲被抽取的两张牌一张点数为10一张点数为5，则乙被抽取的两张牌点数都为9；若甲被抽取的两张牌点数都为5，乙被抽取的两张牌点数都为9或一张点数为9一张点数为4.则所求概率为.故选：D7.已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，有，即，得，由，解得，若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则，即，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A8.已知函数，则函数的零点个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，则存在，使得，画出的图象，如下：令，则，当时，令，解得或，若，则，结合图象可知，此时存在两个根，，若，则，结合图象可知，此时存在和满足要求，当时，令得，此时，结合图象可知，此时存在两个根，综上，共6个零点.故选：C二、多项选择题9.已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则的最小值为1〖答案〗CD〖解析〗对于A，设，则，但，故A错误；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：CD.10.已知双曲线左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（）A. B.双曲线的离心率为C.矩形的面积为 D.双曲线的渐近线方程为〖答案〗AB〖解析〗如下图所示：设，所以，由双曲线的定义可知，因为四边形为矩形，所以，因此，所以选项A正确；由，所以选项B正确；矩形的面积为，所以选项C不正确；因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，故选：AB11.已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，得，即是与交点的横坐标，由，得，即是与交点的横坐标，画出，，，的图象，如下图所示，与它们的交点依次为，与关于直线对称，所以，关于对称，则，，由，解得，，所以，故A正确；对于B，由，且，则，，所以，令，，则，所以函数在上单调递增，，即，故B正确；对于C，由，，所以，故C正确；对于D，由，，则，若，则，当时与矛盾，又显然不成立，故D错误故选：ABC.12.在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（）A.存在点，使得平面B.若，则动点的轨迹长度为C.若平面，则动点的轨迹长度为D.若平面，则三棱锥的体积为定值〖答案〗BCD〖解析〗以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，设点，其中，设平面的法向量为，，，则，取，得，，若平面，则，则，解得，，与已知矛盾，A错误；由，得，则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，因此动点的轨迹长度为，B正确；若平面，则，即，因此点在底面的轨迹为线段，点的轨迹长度为，C正确；由于平面平面，平面，则点的轨迹为线段，显然，，因此平面，而平面，即平面，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，从而为定值，D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________.〖答案〗8〖解析〗由可得或，因为a、b是方程的两根，不妨设，，所以样本平均数为，故样本方差为：.故〖答案〗为：814.已知，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗令，题设圆的圆心，半径，又，且，所以，，，则，故，所以，当且仅当，即时取等号，综上，的最小值为.故〖答案〗为：16.设函数，.若在恒成立，则实数取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗在恒成立等价于，所以，即对任意恒成立，

设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．故〖答案〗为：四、解答题17.在等差数列与等比数列中，已知，，且，.（1）求数列，通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由题意，令公差为，公比为.由，即，有；，，；由，即，有.，.（2）由（1）有.则有.18.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）锐角中，，且，求的取值范围.解：（1）由题意有，由，，有；由，得.故函数的最小正周期为，单调递增区间为.（2）由（1）有，即，又，所以，所以，即，由，所以，则，.因为是锐角三角形，所以即，所以，所以.则有.所以，即故的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，异面直线与所成角为.（1）证明：与平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点M在棱上的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系.令，，由，有，，，，，，，.由，有由，有.有，，，，，即，，又，平面，平面.故与平面.（2）解：假设棱上是存在一点M，令，由，，设平面的法向量为，易知，由，.设平面的法向量为，则有，令，则，则，则由，解得：.故存在为的中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆