2024届陕西省铜川市高三第二次质量检测数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学试题（文）一､选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以.故选：B.2.已知复数，则=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，则.故选：A.3.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；设体积扩大倍后的底面半径为，则，，其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.5.已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.7.设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．8.已知实数满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由约束条件可得可行域如下图所示，当取得最大值时，在轴截距最大，由图象可知：当过时，轴截距最大，由得：，则，所以.故选：C.9.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.10.已知函数且满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以关于对称，故，，所以，又，所以时，取最小值．故选：A．11.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵为等边三角形，∴，∴，，，中，由余弦定理有，∴，∴，∴.故选:B.12.正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，取M为BC中点，则，且.作于E，设球的半径为r，则，，，.因为，，所以，所以，即，整理可得.连接，则，所以.因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.故选：D．二､填空题13.已知向量，且，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗为：.14.已知锐角满足，，则__________.〖答案〗〖解析〗均为锐角，，，.故〖答案〗为：.15.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有零点，又，即为的零点在区间内，所以解得，即m的取值范围是．故〖答案〗为：16.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含n的代数式表示)〖答案〗〖解析〗由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故〖答案〗为：三､解答题（一）必考题17.清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100（1）根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）补全表格如下：回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；（2）∵，∴有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．18.在中，内角的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当A取最大值时，求的面积．（1）证明：∵，则，可得，∴，又∵，则，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，则，当且仅当，即时，取最大值，此时，则，∵，则，可得，故．19.如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.（1）若为的中点，证明：；（2）求点到平面的距离.（1）证明：取中点，连接，为等边三角形，，四边形为正方形，，，又平面，∴⊥平面，∴（2）解：连接，因为平面⊥底面，平面底面，⊥，所以⊥平面，因为四边形为正方形，所以⊥，且，故，因为，，所以，由勾股定理得，设到平面的距离为，，即，解得.20.已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.解：（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设的内切圆半径为，而的周长为，由，得，因此的面积最大时，其内切圆半径最大，设，由消去x得：，则，于是，令，则，，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的内切圆的半径最大时.21.已知，函数满足对任意恒成立.（1）当时，求的极值；（2）求的值.解：（1）当时，，定义域，则，令，得，令，得，因此在上单调递减，在上单调递增，即极小值为，无极大值；（2）的定义域为.令，得；令，得；故在上单调递减，上单调递增，.又因为对任意，所以，解得.另一方面，等价于.设函数.令，得；令，得；所以在上单调递增，上单调递减，.又因为对任意，所以，即.设，，则，当时，，故.所以只能有，即的值为1.综上，的值为1.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB长度．解：（1）曲线（为参数），消去参数得，将代入，得曲线的极坐标方程为，由得∴，∴曲线的直角坐标方程为；（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程得，，∴．选修4-5：不等式选讲23.已知，函数的最小值为2，证明：（1）；（2）．证明：（1）由于，则，当且仅当取等号，故的最小值为，所以，当且仅当，时取等号.（2）由（1）知，所以，所以，当且仅当，即时取等号．陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学试题（文）一､选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以.故选：B.2.已知复数，则=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，则.故选：A.3.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；设体积扩大倍后的底面半径为，则，，其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.5.已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.7.设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．8.已知实数满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由约束条件可得可行域如下图所示，当取得最大值时，在轴截距最大，由图象可知：当过时，轴截距最大，由得：，则，所以.故选：C.9.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.10.已知函数且满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以关于对称，故，，所以，又，所以时，取最小值．故选：A．11.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵为等边三角形，∴，∴，，，中，由余弦定理有，∴，∴，∴.故选:B.12.正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，取M为BC中点，则，且.作于E，设球的半径为r，则，，，.因为，，所以，所以，即，整理可得.连接，则，所以.因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.故选：D．二､填空题13.已知向量，且，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗为：.14.已知锐角满足，，则__________.〖答案〗〖解析〗均为锐角，，，.故〖答案〗为：.15.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有零点，又，即为的零点在区间内，所以解得，即m的取值范围是．故〖答案〗为：16.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含n的代数式表示)〖答案〗〖解析〗由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故〖答案〗为：三､解答题（一）必考题17.清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100（1）根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）补全表格如下：回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；（2）∵，∴有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．18.在中，内角的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当A取最大值时，求的面积．（1）证明：∵，则，可得，∴，又∵，则，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，则，当且仅当，即时，取最大值，此时，则，∵，则，可得，故．19.如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.（1）若为的中点，证明：；（2）求点到平面的距离.（1）证明：取中点，连接，为等边三角形，，四边形为正方形，，，又平面，∴⊥平面，∴（2）解：连接，因为平面⊥底面，平面底面，⊥，所以⊥平面，因为四边形为正方形，所以⊥，且，故，因为，，所以，由勾股定理得，设到平面的距离为，，即，解得.20.已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.解：（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心