2024届山东省菏泽市高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题一、选择题1.已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差〖答案〗C〖解析〗样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；平均数为，可能变，故B错；中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；方差为，有可能变，故D错.故选：C2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，故复数的虚部为.故选：A3.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，.故选：D.4.，的展开式中项的系数等于40，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗的展开式中含项为，故，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，又，故，即，解得，故，故.故选：B.6.已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于是奇函数且在上为增函数，故，当时，，且为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又，故，故选：C.7.已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆的圆心，半径，圆圆心，半径，因为两圆相交，则，即，解得，两圆的方程相减得，即直线的方程为，当时，直线的方程为，此时轴，与轴没有交点，不符题意，当时，令，得，即，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.8.若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，，，故A错误；为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.二、选择题9.已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.的对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递增区间为〖答案〗ACD〖解析〗对于函数，由图可知，则，所以，又，所以，解得，又，所以；则，所以，对于A：的最小正周期为，A正确；对于B：对于，令，得的对称轴方程为，B错误；对于C：当时，，所以，即在上的值域为，C正确；对于D：令，解得，即的单调递增区间为，D正确；故选：ACD.10.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（）A.若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形B.若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为C.不存在点，使D.与平面所成角的正切值最小为〖答案〗AB〖解析〗如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A项，连接P、、Q、四点，当为的中点时，，，，，，，，所以为平行四边形，A正确；对B，当点为的中点，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，则与平面所成角的正弦值为，故B正确；对C，可设，，，，，，令，即，显然能取到，故C错误；对D，当与平面所成角的正切值最小时，与平面所成角的正弦值也最小，，设的法向量为，则与平面所成角的正弦值为，当或2，时，，由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为，故D错误.故选：AB.11.如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）A. B.以为直径的圆与直线相切C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，令，联立，消可得，则，，，则故，同理，故A正确；对于C，设与轴交于，，则，，故C正确；对于D，则，而，所以，故D正确；对于B，中点，即则到直线的距离，以为直径的圆的半径，所以，当时相切，当时不相切，故B错误.故选：ACD.三、填空题12.如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．〖答案〗〖解析〗连接，取的中点，连接，则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，则⊥平面，因为正四棱台中，，，故，所以，设四棱台的高为，故，解得，故，设，则，，故，解得，故半径，故该棱台外接球的表面积为.故〖答案〗为：13.已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗过作轴，垂足为.如图所示的斜率为，则,,在双曲线上，即，于是有，进而得出，解得或（舍），，即（负舍），故的离心率为.故〖答案〗为：.14.关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求证：．（1）解：由①，当时，解得，当时，②，①-②，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，．经验证符合上式，所以．（2）证明：由（1）知，，．则，故，所以，，，故.16.某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．（1）求盒中2号球的个数；（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金100500解：（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，，n，则取到异号球的概率，，即．解得．所以盒中2号球的个数为4个．（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，100元，600元，，，．X的分布列为X0100600P0.20.40.4的均值为，若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y为甲获得奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，．Y的分布列为Y0500600P0.50.10.4的均值为，因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．17.如图,已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，且．为平行四边形，．又平面，平面，平面．（2）解：取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，过点作直线的垂线交于点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．为直径，，，，．在等腰梯形中，，，所以，，，，，，，，，．设平面法向量为，则，，令则，．，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面所成的角为，则，平面与平面所成角的余弦值为．18.如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设，的斜率分别为，，求的值；（3）求△面积的最大值．解：（1）由题意得，，解之得，∴椭圆的方程为；（2）由（1）知，所以，设直线、、的倾斜角分别为、、、，则，，，则，所以，所以，所以，即．（3）设直线，将直线方程与椭圆方程联立得，，∴，同理得，由（2）知，，又，同理，，，∴，∴，，，令，则，当，即时等号成立，所以的最大值是．19.帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足：，，,…，．（注:，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a，b的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．解：（1）由，，有，可知，，，，由题意，，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，则，所以在其定义域内为增函数，又，时，；时，；所以时，；时，．（3）由，．由在上存在极值，所以在上存在变号零点．令，则，．①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．③当，即时，令即，．当时，，为减函数；时，，为增函数，；令，，，在时恒成立，在上单调递增，，恒成立；，，，则，，；，令，令，，则在是单调递减，，所以，，令，则，，．，即．由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，又由③知，当时，，为减函数，，所以此时，，在内无零点，在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题一、选择题1.已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差〖答案〗C〖解析〗样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；平均数为，可能变，故B错；中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；方差为，有可能变，故D错.故选：C2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，故复数的虚部为.故选：A3.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，.故选：D.4.，的展开式中项的系数等于40，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗的展开式中含项为，故，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，又，故，即，解得，故，故.故选：B.6.已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于是奇函数且在上为增函数，故，当时，，且为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又，故，故选：C.7.已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆的圆心，半径，圆圆心，半径，因为两圆相交，则，即，解得，两圆的方程相减得，即直线的方程为，当时，直线的方程为，此时轴，与轴没有交点，不符题意，当时，令，得，即，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.8.若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，，，故A错误；为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.二、选择题9.已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.的对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递增区间为〖答案〗ACD〖解析〗对于函数，由图可知，则，所以，又，所以，解得，又，所以；则，所以，对于A：的最小正周期为，A正确；对于B：对于，令，得的对称轴方程为，B错误；对于C：当时，，所以，即在上的值域为，C正确；对于D：令，解得，即的单调递增区间为，D正确；故选：ACD.10.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（）A.若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形B.若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为C.不存在点，使D.与平面所成角的正切值最小为〖答案〗AB〖解析〗如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A项，连接P、、Q、四点，当为的中点时，，，，，，，，所以为平行四边形，A正确；对B，当点为的中点，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，则与平面所成角的正弦值为，故B正确；对C，可设，，，，，，令，即，显然能取到，故C错误；对D，当与平面所成角的正切值最小时，与平面所成角的正弦值也最小，，设的法向量为，则与平面所成角的正弦值为，当或2，时，，由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为，故D错误.故选：AB.11.如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）A. B.以为直径的圆与直线相切C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，令，联立，消可得，则，，，则故，同理，故A正确；对于C，设与轴交于，，则，，故C正确；对于D，则，而，所以，故D正确；对于B，中点，即则到直线的距离，以为直径的圆的半径，所以，当时相切，当时不相切，故B错误.故选：ACD.三、填空题12.如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．〖答案〗〖解析〗连接，取的中点，连接，则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，则⊥平面，因为正四棱台中，，，故，所以，设四棱台的高为，故，解得，故，设，则，，故，解得，故半径，故该棱台外接球的表面积为.故〖答案〗为：13.已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗过作轴，垂足为.如图所示的斜率为，则,,在双曲线上，即，于是有，进而得出，解得或（舍），，即（负舍），故的离心率为.故〖答案〗为：.14.关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求证：．（1）解：由①，当时，解得，当时，②，①-②，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，．经验证符合上式，所以．（2）证明：由（1）知，，．则，故，所以，，，故.16.某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．（1）求盒中2号球的个数；（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金100500解：（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，，n，则取到异号球的概率，，即．解得．所以盒中2号球的个数为4个．（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，100元，600元，，，．X的分布列为X0100600P0.20.40.4的均值为，若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y为甲获得奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，．Y的分布列为Y0500600P0.50.10.4的均值为，因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．17.如图,已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，且．为平行四边形，．又平面，平面，平面．（2）解：取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，过点作直线的垂线交于点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．为