人教版高中数学必修5(A版)基本不等式

§3.4基本不等式人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第1页。2002年国际数学家大会会标

创设情境、体会感知：三国时期吴国数学家赵爽人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第2页。一、新课引入ADCBHGFE人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第3页。“风车”中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？探究人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第4页。问：那么它们有相等的情况吗？人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第5页。不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab证明推导1：问：何时相等？探究2人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第6页。结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立当a,b为任意实数时，还成立吗？形数此不等式称为重要不等式人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第7页。2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?基本不等式探究3人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第8页。基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第9页。例1．用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?三、应用解:(1)设矩形菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为.

由等号当且仅当时成立,此时因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m得即人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第10页。(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第11页。已知a,b都是正数，（1）若ab是定值P,则当a=b时,a+b有最小值；（2）若a+b是定值S,则当a=b时,ab有最大值；利用基本不等式求最值（均值不等式定理）积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第12页。1、本节课主要内容？你会了吗？五、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第13页。构造条件三、应用例1、若,求的最小值.变3:若,求的最小值.变2:若,求的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？变1:若求的最小值人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第14页。三、应用例2、已知,求函数的最大值.变式:已知,求函数的最大值.发现运算结构，应用不等式应用要点：一正数二定值三相等结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第15页。人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第16页。3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？四、巩固大933小人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第17页。证明:要证只要证

()①

②要证②，只要证

()③

要证③，只要证（－

)

④显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.探究３人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第18页。作业课本P100习题3.4A组第1,2题再见!人教版高中数学必修5(A版)基本不等式全文共21页，当前为第19页。oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径