2023-2024学年人教A版必修第二册 线面垂直的性质与空间距离 学案

第2课时线面垂直的性质与空间距离学习任务1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理)2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算)如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？(3)由此你能得出什么结论？知识点1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a⊥αb⊥图形语言在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？[提示]棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．知识点2空间距离1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．[答案]24类型1线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1．[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.类型2空间中的距离问题【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求点D到平面PBC的距离．[思路导引]点D到平面PBC的距离转化化归点A到平面PBC的距离．[解]法一(几何法)：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AH⊂平面PAB，所以BC⊥AH.又PB∩BC＝B，且PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AH⊥平面PBC.即AH为点A到平面PBC的距离．在直角三角形PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝2，由S△PAB＝12PB×AH得AH＝PA×即点A到平面PBC的距离为22所以点D到平面PBC的距离为22法二(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，设为h，连接AC(图略)，则V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，即13×S△PBC×h＝13×S△ABC×因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形．又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2,PB＝2，所以h＝12则点D到平面PBC的距离为22空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．[跟进训练]2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．[解](1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1∥平面D1AC.(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，考虑三棱锥D1-ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝13∵在△AD1C中，AC＝D1C＝5，∴cos∠ACD1＝45，sin∠ACD1＝3∴S△AD∴V＝13×32×即直线BC1到平面D1AC的距离为23类型3直线与平面垂直关系的综合应用【例3】如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF.[证明]因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．[跟进训练]3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．[解](1)证明：由题意，可得DC＝AC＝2，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC.(2)过点A作AH⊥PC，垂足为H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，PHPA＝PAPC，解得PH＝263，所以PH＝23PC，即在棱PC上存在点H1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∩α＝A[答案]C2．(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BDABD[PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC矩形ABCD⇒故A正确；同理B正确；C错误．]3．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．4[如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4．]4．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件______时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．[答案]四边形ABCD为菱形(答案不唯一)回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述一下他们间的转化关系吗？[提示]平行关系与垂直关系之间的相互转化2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？[提示]直线到平面的距离以及平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离．课时分层作业(三十四)线面垂直的性质与空间距离一、选择题1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直B[因为B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.]2．(多选)下列命题正确的是()A．a∥ba⊥α⇒b⊥α B．C．a⊥αa⊥b⇒b∥α D．AB[由线面垂直的性质定理可得AB正确．]3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C[如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，∴BD与AC垂直但不相交，故选C.]4．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A．1B．2C．22D．23B[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.∵AB＝2，∴AC＝22，∴CO＝125．(多选)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BCABD[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确．故选ABD.]二、填空题6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，则点C到平面ABB1A1的距离为________．5[如图，取AB的中点D，连接CD.因为CA＝CB，所以CD⊥AB.因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．所以点C到平面ABB1A1的距离为CD＝BC7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC1[在三棱锥P-ABC中，因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以PEEC＝1．三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝25，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱锥P-ADQ的体积为23，求点B到平面PDQ的距离．[解](1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝25，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为23，所以13S△ADQ·PD＝23，所以S△ADQ＝33所以12AD·AQ·sin60°＝33，所以AQ＝所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝AD所以S△PDQ＝12由VP-ADQ＝VA-PDQ⇒23＝13×13×d所以点B到平面PDQ的距离为63910．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，平面AB1D1到平面BC1D的距离为()A．22B．62C．6C[由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得VC1-AB1D1＝VA-B1C1D1，即13×12×22×sin60°·h＝13×12×211．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．无数条A[显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．]12．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3cm，2cm，则线段AB与平面α所成的角大小是________．30°[如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10cm，AC＝3cm，BD＝2cm，则AO＝6cm，BO＝4cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.]13．已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：①a＝12；②a＝1；③a＝3；④a＝2；⑤a＝4．若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a①(或②)[如图所示．因为PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，所以QD⊥平面PAQ，因为AQ⊂平面PAQ，所以QD⊥AQ，所以Q在以AD为直径的圆上，若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则BC与以AD为直径的圆有公共点，所以AB≤12AD，即a≤故答案为：①或②.]14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．[解](1)证