2022年高考全国甲卷数学（理）真题（解析版）

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题

卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好

条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

Z

1.若2=-1+后，则ZZ-1()

A.-1+V3iB.-1-V3ic.」+走iD.」一旦

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由共貌复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】5=—l—gi,z2=(—l+6i)(—l—©)=l+3=4.

z—1+\/3i15/3.

-----=--------=----1----1

zz-1333

故选：C

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正

确率如下图：

100%

95%

90%•……♦.........................♦

拗85%

每80%*讲座前

田75%•讲座后

70%..............*..................................

OJ/0

60%业加

cW]________I_______1________1_______1________1_______1________1_______1_______1

u

12345678910

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为70%+75%.〉70%,所以A错;

2

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确

率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所

以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.

故选:B.

3.设全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={RV-4X+3=0},贝归,(AUB)=()

A{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B={X|X2_4X+3=0}={L3},所以AU3={-U,2,3},

所以在（Au3）={—2,0}.

故选：D.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】由三视图还原几何体，如图,

2+4

则该直四棱柱的体积V=——x2x2=12.

2

故选：B.

5.函数y=(3'-3r)cosx在区间一的图象大致为()

【解析】

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令/(x)=(3,-3-，)cosx,xe-py,

则/(_力=(3一，-3')cos(—x)=-(3‘一3一')cosx=-/(x),

所以/(x)为奇函数，排除BD；

又当时，3'-3'>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故选：A.

6.当x=l时，函数/(x)=alnx+2取得最大值_2,则八2)=()

x

11

A.—1B.---C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知41)=-2,/(1)=0即可解得〃力，再根据/”(x)即可解出.

【详解】因为函数/(X)定义域为(o,+8),所以依题可知，/(1)=-2,⑴=0,而r(x)=(-5，

2?

所以力=-2,a-b=0,即。=一2,/?=-2,所以/"(%)=-一+—,因此函数/(x)在(0,1)上递增，在

(1,+8)上递减，x=i时取最大值，满足题意，即有r(2)=—1+；=—g.

故选：B.

7.在长方体ABCQ-A4GR中，已知与平面ABCD和平面所成的角均为30。，则()

A.AB=2ADB.AB与平面所成的角为30°

C.AC=CBtD.与平面5耳CC所成的角为45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设AB=a,AO=6,A4,=c,依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面ABCO所成角为

cb

NBQB,与。与平面所成角为NQgA,所以sin30,即人=。，

D}UD}L)

222

BtD=2c=yla+h+c-解得a=V^c.

对于A,AB-a,AD=b,AB-41AD>A错误；

对于B,过8作BELA用于七，易知麻，平面ABC。，所以AB与平面ABC。所成角为㈤E，

因为tan/84E=£=、一,所以NB4E*30，B错误；

a2

对于C,AC=\la2+b2=J5c，CB、=\J1^4-c2=，AC声CB],C错误；

对于D,gO与平面8?CC所成角为NDgC,sin/DBC=需=£■=，，而

0<ZDBtC<90,所以NO4C=45.D正确.

故选：D.

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB

是以。为圆心，0A为半径的圆弧，C是48的中点，。在45上，CDLAB.“会圆术”给出43的弧

2

长的近似值s的计算公式：s=A3+'C二D.当。4=2,44。8=60。时，s=()

0A

A11-3GH-45/3C9-3739-473

RD.-----------D.

2222

【答案】B

【解析】

【分析】连接。C,分别求出AB,OC,CD,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。C,

因为。是AB的中点,

所以OC_LAB,

又CD_LAB,所以O,C,。三点共线,

即QD=Q4=O3=2,

又NAO3=60°,

所以AB=Q4=O8=2,

则。。=6,故CD=2-6

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为s甲和S乙，体积分别为

%和%.若萨=2,则*()

A.石B.2五C.屈D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得

4=2弓，再结合圆心角之和可将不与分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的

体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为心乙圆锥底面圆半径为2，

则落胃=二=2,

S乙兀rjr2

所以4=2弓,

则牛=1,

21

所以

所以甲圆锥的高％=1

乙圆锥的高久=j/2-

故选：C.

10.椭圆C:0+马=1（。＞方＞0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ

的斜率之积为1，则C的离心率为（）

V2

V

【答案】A

【解析】

2［

【分析】设P（玉,y）,则Q（-内，x）,根据斜率公式结合题意可得一＞=、,再根据

—x1+a4

工+与=1,将y用玉表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

ab

【详解】［方法一］:设而不求

设尸（%,y）,则Q（—M，M）

则由心心广;得：勤“广汽

由得心修L

所以椭圆c的离心率6=£=、口^=且，故选A.

a\a22

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kpB=­k,\Q

故kAP-kAQ=kpA'-kAQ=，

由椭圆第三定义得：kPA-kA0=一一7,

a

故与

a"4

所以椭圆C的离心率《=£=、口^=立，故选A.

a\a22

11.设函数/(幻=4111@%+1)在区间(0,兀)恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是()

-513、「519)<138］fl319-

L36JL36J(63」(66」

【答案】C

【解析】

JT

【分析】由X的取值范围得到+§的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：依题意可得勿>0,因为xe(O,»),所以cyx+qdq。7+?),

要使函数在区间（0,乃）恰有三个极值点、两个零点，又>=4!1》，3万的图象如下所示:

、冗41QQ138

则--<(O7TH—«3万,解得—<<y<—,B|J(0G

2363~6,3

故选：C.

3111

12.已知。=一=cos—,c=4sin—,贝ij(

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】由］=4tan；结合三角函数的性质可得c>〃；构造函数/（%）=85了+；--1/6（0,+。）,利用

导数可得人"，即可得解.

【详解】［方法一］:构造函数

因为当xe0,5x<tanx

c.1.

故——4tan—>1,故!>1,所以c>Z?；

b4b

12

设/(X)=COSX+QX-1,XG(0,4-00),

/r(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+oo)单调递增,

故/[9]>/(0)=0,所以cos』一卫>0,

⑷432

所以b>“，所以C>力>Q,故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当工£。,］,sinx<x,

取工二7•得：cos—=1-2sin2—>1—2f—，故〃

848(8)32

4sin—+cos—=V17sin|—+69।,其中夕工］,且sin°=—j!=,cos/=—

44U\2)V17<17

―彳.11/TZ,1兀711

当4sin—+cos—=5/17时，—(p——,及0=------

444224

此时豆/…仁义，cosl=sin^^L

4V174V17

故cos：=］—<—=sin：<4sin：,故力<c

4V17V1744

所以6>“，所以故选A

［方法三］:泰勒展开

310252

设x=0.25,则。=卫=1—3+些

322424!

1sin7025?0254

c=4sin^=—4一+4一,计算得c>h>a,故选A.

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tan,，因为当xe［0,工］,sinx<x<tanx,所以tan，>',即£>1,所以c>b；设

h4I2)44人

1ry

f(x)-cosx+—x-1,xe(0,+oo)/'(x)=-sinx+x〉0,所以.f(x)在(0,卡功单调递增，则

f\9］>/(0)=0,所以以《，一卫〉0,所以人〃，所以c>Z>>a,

⑷432

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan1,因为当xe（0,：],sinx<x<tanx,所以tan」〉」，即£>1,所以c>b；因为当

b4I2J44匕

xefo,^\sinx<x,取％=，得cos，=l_2sin2，>l—=—,故内。，所以c>8>a.

I2；848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通

法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,5）,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量8的夹角的余弦值为;，且忖=1,卜|=3,贝1（2。+刀力=.

【答案】11

【解析】

【分析】设a与。的夹角为6,依题意可得cos6=；,再根据数量积的定义求出。力，最后根据数量积的

运算律计算可得.

【详解】解：设〃与b的夹角为。，因为a与b的夹角的余弦值为：，即cos6=g,

又忖=1,1|=3,所以a-〃=H-Wcos9=lx3x；=l,

所以（2a+〃）•〃=2a•人+/?~=2a•/?+网=2xl+32=11.

故答案为：11.

14.若双曲线V一二=1（m>0）的渐近线与圆工2+'2-4》+3=0相切，则加=

m

【答案】昱

3

【解析】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆

心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：双曲线V—二f（机>0）的渐近线为y=±±,即了±冲=0,

nVm

不妨取％+四=0,圆/+产一4y+3=0,即f+(y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1,

/\127711

依题意圆心(0,2)到渐近线X+my=()的距离d='——L=1,

y/1+m2

解得加=走或吵.正(舍去).

33

故答案为：立.

3

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】—.

35

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有

126

加=6+6=12个，故所求概率P=—=一=一.

n7035

故答案为：—.

AT

16.已知二ABC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD^2,CD^2BD.当一上取得最小值时,

AB

BD=_________

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

AC2

【分析】设CE>=25£>=2m>(),利用余弦定理表示出结合基本不等式即可得解.

AB2

【详解】［方法一］:余弦定理

设。。=25£>=2加>0,

则在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m-

在AAC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m.

AC2_4m2+4-4加_4(m2+4+2/n)-12(l+/n)

12

A=4-----------------

所以益7-加2+4+2加加2+4+2m

(H7+1)H———

')m+1

12

>4-=4—28

V'm+1

3

当且仅当〃2+1=」一即机=百-1时，等号成立,

加+1

Ar

所以当"取最小值时，m=V3-l.

AB

故答案为：＞/3—1-

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,6),B(-t,0)

2

AC_(2/1丫+3_4/4f+4_4_12

当且仅当f+l=6,即BD=VJ-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2x

2c2+t>2=12+6X2>

b1=4+4x2-4x

c2=x2+4+2x

2c2+b1=12+6%2,

h2=4+4X2-4X

,AC

令——=t则2c2+&2=12+6d，

AB、

12+6x212+6x2

r+261^>6-2y/3,

3

x~+2x+4(x+l)+

X+1J

t2>4-2y/3)

3

当且仅当x+1,即X=g+1时等号成立.

x+1

［方法四］:判别式法

设89=x,则CD=2x

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=x2+4+2x<

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4%2+4-4^>

叱|、|AC~4x~+4—4x、r4x?+4—4x

所以——r--------，记t=--------,

AB2X2+4+2Xf+4+2x

贝iJ(4T)x2-(4+2f)x+(4—4/)=0

由方程有解得：A=(4+2r)2-4(4-r)(4-4r)>0

即产一8f+4W0,解得：4-284/44+26

所以/=4—26，止匕时％=出=6—1

4—/

所以当法取最小值时，X=百一1,即8。=百一L

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

2s

17.记S”为数列｛对｝的前〃项和.已知一上+〃=2an+1.

(1)证明：｛a“｝是等差数列；

(2)若可,%，。9成等比数列，求S“的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78.

【解析】

【分析】⑴依题意可得2S“+〃2=2%+〃，根据％।°,作差即可得到

S,,-Sn_t,n>2

an-an-\>从而得证;

(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出％,即可得到｛凡｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的

性质计算可得.

【小问1详解】

25

因为一-+n=2an+1,即2S“++”①，

当时，2S._]+(〃_])②，

22

①一②得，2S„+n-2S„_1-(n-1)=2/?nzl+n-2(n-l)a,l_1-(n-1),

即247"+2〃-1=2陷,+1,

即2(〃-所以。“一。"_|=1,且〃eN*,

所以｛a,,｝是以1为公差的等差数列.

【小问2详解】

[方法一]:二次函数的性质

由(1)可得%=。|+3,%=q+6,。9=%+8，

又知,%,为成等比数列，所以。7?=%•4)，

即(％+6)2=(q+3>(q+8),解得q=—12,

_1225_1

所以a.=〃-13,所以S“=-12〃+=—n----n=—

所以，当〃=12或〃=13时，(\S〃H)/mi.n=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得4=q+3,%=q+6,。9=4+8,

又。4，%，成等比数列，所以的2=4，。9，

即（4+6）2=（4+3＞（4+8）,解得q=T2,

所以。〃=〃-13,即有＜42＜°，。13=0.

则当〃=12或〃=13时，（S〃）.=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S”的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

18.在四棱锥中，/J。_1底面48。。,。0〃43,40=。。=。5=1,43=2,0/5=百.

（1）证明：BD±PA；

（2）求PO与平面Q钻所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析：

⑵—.

5

【解析】

【分析】（1）作£）E_LA5于E，于尸，利用勾股定理证明AO_L8D，根据线面垂直性质可

得从而可得8。，平面Q4。，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【小问1详解】

证明：在四边形ABCO中，作于E,。/，48于尸，

因为CO//A8,AT)=CO=CB=LAB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形,

所以AE=5F=L,

2

故DE->BD—VDE2+BE2-G，

所以402+31）2=AB）,

所以AD_L8。，

因为PD_L平面ABC。，8£>u平面ABC。,

所以POLBQ，

又PDcAD=D,

所以8。J_平面B4。，

又因为B4u平面PAD，

所以80LB4；

【小问2详解】

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

BD=6，

则A（l,0,0）,B（0,V3,0）,P（0,0,V3）,

则AP=（-1,0,G）,BP=e,一①。尸=仅,0,73）,

设平面F4B的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP——x+V3z=0,广、

则有｛「「，可取〃=（亚I」），

n-BP=-y/3y+y/3z=Q'

/\n-DPV5

则3〈"‘mnp"啊=与，

所以PD与平面Q43所成角的正弦值为好

5

19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平

局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,

0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6;

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A&C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，

利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小问1详解】

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x04x0.8+0.5x04x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小问2详解】

依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p(x=10)=0.5X0.4X0.8+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=().5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

ME(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点过F的直线交C于历，N两点.当直线MC

垂直于x轴时，阿丹=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线M2与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为以£.当

取得最大值时，求直线A8的方程.

【答案】(1)y2=4x；

(2)AB;x=y/2y+4.

【解析】

【分析】(1)由抛物线的定义可得|MF|=P+5,即可得解；

(2)法一：设点的坐标及直线"N:x=，”y+1,由韦达定理及斜率公式可得右〜=2心8,再由差角的

正切公式及基本不等式可得心8=白，设直线48:》=夜>+〃，结合韦达定理可解.

【小问1详解】

抛物线的准线为x=-§,当MD与x轴垂直时，点例的横坐标为p,

此时|“丹?+卜3,所以p=2,

所以抛物线C的方程为V=4x：

【小问2详解】

［方法一］:【最优解】直线方程横截式

设M住,yJ,N付,力)，4田,为,8Y，J4P直线MN:x=my+l,

x=my+1_

由〈2可得V-4my-4=0,A＞0,yty2=-4,

y=4x

k=--必=4=.一”=4

由斜率公式可得的一g_及一乂+为，八厂工—其一乂+乂，

4444

直线MO:x=至心-y+2,代入抛物线方程可得V-'XT）.,一8=0,

△>0,)1%=-8,所以％=2%，同理可得”=2y,

,44k

所以心尸.八,WN

2(%+%)

ktanof

又因为直线MMAB的倾斜角分别为4£,所以原8=tan〃=^=^^

若要使a-4最大，则,G0,g,设kUN=2阳B=2后＞0,则

tan("Z?)=tanc-taMk

1+tancrtanp1+2公

1Jo

当且仅当7=2后即上=在时，等号成立,

k2

所以当a-4最大时，％"=#，设直线A8：x=J5y+"，

代入抛物线方程可得V-40y-4〃=0,

△>0,%%=-4〃=4yly2=-16,所以〃=4,

所以直线AB:x=y/2y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设,y）,N（w，%）,4（七,%），3（*4,％），直线.：丁=一1）

由＜’2；1）得:左泞-（4公+4）x+4/=0,不々=4,同理，乂M=4

直线用。:'=三石（工一2）,代入抛物线方程可得：不刍=4，同理，X2X4=4.

代入抛物线方程可得:乂%=-8,所以％=2y2，同理可得>4=2y,

kr■一一一2（%一乂）一三一』」k

由斜率公式可得：*4一工32（々一玉）2w

X\?

（下同方法一）若要使二一£最大，则夕

hn.,箱rtana-tan#「k_'<।—夜

设KWN=2攵八B=2%>0,则1+tanatanpi+2/1i一n4，

7+2%2,--2k

kVk

i/y

当且仅当：=2k即左=注时，等号成立，

k2

所以当a-4最大时，女"=立，设直线A8:x=&-

代入抛物线方程可得/-46y-4〃=0,A>0,y3y4=-4〃=4%必=-16,所以〃=4,所以直线

AB:x=y{2y+4.

［方法三］:三点共线

设M仔,［，喈,%），桔，%）哈,yj,

/2国「-同

设P（f,0）,若P、M,N三点共线，由，乂

\4

/2\/2\

所以空―’%=号—"M，化简得y必=-4/,

14714）

反之，若y%=-4,可得“N过定点”,0）

因此，由M、N、/三点共线，得y%=-4,

由M、。、A三点共线，得y%=-8，

由N,D、8三点共线，得y2y4=-8,

则为”=4%%=-16,4B过定点(4,0)

(下同方法一)若要使。一夕最大，则尸

/x_tana-tanp_k_11_5/2

k-

设MN=2kAB=2k>Q,则tan(a一夕)1+tanatan/?-1+2公一1-〃"V

Ik2心2

当且仅当'=2%即上=也时，等号成立，

k2

所以当。一£最大时，k,\B=与,所以直线4B：X=&y+4.

【整体点评】(2)法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线MMA8的斜率关

系，由基本不等式即可求出直线A8的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性

通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB过定点，省去联立过程，也不失为一种简

化运算的好方法.

21已知函数/(x)=---\nx+x-a.

(1)若f(x)20,求“的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点％,当，则X“2<L

【答案】(1)(一8,e+l]

(2)证明见的解析

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

ex■!■「iriV

(2)利用分析法，转化要证明条件为一一xe'-2In%--x一一>0,再利用导数即可得证.

x[_2vx)

【小问1详解】

[方法一]:常规求导

/(X)的定义域为(0,+8),则

当xe(0,1),r(x)<0,/(x)单调递减

当xe(1,+co),/'(x)>0,/(x)单调递增/(x)>/(l)=e+l-4Z,

若/(%)»(),则e+1-aNO,即a<e+l

所以”的取值范围为(-8,e+l］

［方法二］:同构处理

由/(x)20得：e-lnA+A+x-ln^-iz＞0

令，=x-lnx,f21,则/(r)=d+r-aN0即awd+f

令g(，)=d，则g'(r)=e'+1＞。

故g«)=d+t在区间［l,+8)上是增函数

故gQInin=g(l)=e+l，即aVe+1

所以〃的取值范围为(3,e+1］

【小问2详解】

［方法一］:构造函数

由题知/(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设西＜1＜々

1

要证XX<1，即证玉<一

t2X?

1(1A

因为和一e(0,l),即证/@)〉/—

又因为/(百)=/(%),故只需证/(工2)>/［，

ex-1

印证----\nx+x-xex-Inx——>0,XG(1,+OO)

下面证明X>1时,

ec*1

设g(X)---9X>1，

X

设尹(尤)=j(x〉=〉0

xyxx)x

所以9(x)>9(l)=e,而，〜

XJ_

所以〃>o,所以g'")>o

x

所以g(x)在(1,"。)单调递增

x1

即g(x)>g(l)=o,所以幺e一xe*>0

x

令/z(x)=Inx-；

,x>1

h'(x)=-<0

X

所以力。）在（1,+0。）单调递减

即h(x)</i(1)=0,所以Inx—<0

ex-\n

综上，----xex—2Inx—x—>0,所以西/<L

x|_2^x)_

［方法二人对数平均不等式

由题意得：f(x)=-+\n--a

XX

令f=J>1,则/(7)=r+】nr-a,/'(r)=l+->0

所以/（t）=r+ln，-a在（1,+s）上单调递增，故/（。=0只有1个解

又因为/（x）=J+lnJ—a有两个零点，故f=J=J

XXX}x2

两边取对数得：X|-InX,=X,-Inx2,即—~?—=1

In-Inx2

又因为斥<在3六（*）,故府<1,即x也<1

下证<「一：（*）

Inxx-Inx2

X

因为J%/<—~——<»Inx,-Inx2<\——«In—<昌—R