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文档简介

关于空间平面方程一、平面的确定条件

由立体几何知道，过空间一点可以而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面．利用这个结论，若平面经过一定点M0(x0,y0,z0),

且与向量n={A,B,C}垂直,则这个平面就唯一确定了．与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量．那么，可以确定平面的两个条件是：返回下一页上一页第2页,共13页，2024年2月25日，星期天返回下一页上一页下面我们利用以上结论建立平面的方程．第3页,共13页，2024年2月25日，星期天

现在来建立平面

的方程.设平面

过点是平面

的法向量.

在平面

上任取一点

M(x,y,z)，则点

M

在平面

上的充要条件是nMM0

二、点法式方程返回下一页上一页第4页,共13页，2024年2月25日，星期天该方程称为平面

的点法式方程.所以有返回下一页上一页第5页,共13页，2024年2月25日，星期天例

5-10

求过点(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k

的平面方程.

解

所求平面的法向量n=i+2j+3k

，又因为平面过(2,1,1)，所以由公式可得该平面方程为即

x+2y+3z－7=0.返回下一页上一页第6页,共13页，2024年2月25日，星期天解所求平面方程为化简得例5-11求过三点)4,1,2(-A、)2,3,1(--B和)3,2,0(C的平面方程.返回下一页上一页取第7页,共13页，2024年2月25日，星期天由平面的点法式方程平面的一般方程法向量三、平面的一般方程返回下一页上一页第8页,共13页，2024年2月25日，星期天平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论

情形.类似地可讨论情形返回下一页上一页第9页,共13页，2024年2月25日，星期天例5-12

设一平面通过

x轴和点M(4,

3,1)，试求该平面的方程.解因为所求平面通过x轴，

所以可设它的方程为By+Cz=0.由于点M

在所求的平面上，因此有3B

C=0，将C=3B

代回方程④，并简化，即得所求平面方程为y

3z=0④返回下一页上一页第10页,共13页，2024年2月25日，星期天

设平面两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.它们的夹角为

.④四、两平面的夹角返回下一页上一页第11页,共13页，2024年2月25日，星期天返回下一页上一页则平面

1、

2

垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0

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