三角函数教学课件

第五章三角函数

5.1.1任意角

学案

一、学习目标

1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.

2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.

3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.

二、知识归纳

1•角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;

②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;③零角：如果一条射线没有做任

何旋转，形成的角叫雯第，零角的始边和终边重合.

2.任意角：包括正角、负角和零角.

3.相等角、角的加减：

(1)如果角c和角夕的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称夕=#

(2)设e,夕是任意两个角，把角1的终边旋转角夕，这时终边所对应的角是

a+j3.

(3)把射线绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反

角.角戊的相反角记为一合.于是有。一髭=a+(-=).

4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的韭

负半轴重合.那么,角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终

边在坐标轴上，那么就认为这个角丕属王任何一个象限.

5.终边相同的角：一般地，所有与角£终边相同的角，连同角u在内，可构成一

个集合5={0尸=£+*360。/€2},即任一与角e终边相同的角，都可以表示

成角e与整数个周角的和.

三、习题检测

1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240。所形成的角是()

A.12O0B.-120°C.24O0D.-240°

2.如果角a与x+45。的终边相同，角p与*-45。的终边相同，那么a与。的关

系是()

A.a+/?=0。B.a-/3=0°

C.a+/3=k-360°(kGZ)D.a-/3=k-360°+90°(kGZ)

3.设集合人=｛例。为锐角｝,8=｛例。为小于90。的角｝,C=｛例。为第一象限角｝,

£>=｛0］。为小于90。的正角｝,则下列等式中成立的是（）

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

4.若&="-360。+优尸="360。-a〃?,"€2,6=0。，则a,夕终边的位置关系是（）

A.重合B.关于原点对称

C.关于%轴对称D.关于y轴对称

5.如图，终边落在阴影部分的角«的集合是（）

fy

A.{cd-45°麴h120°}

B.{tz|120啜h315°}

C.{dk-360°-45°骸h左•360°+120°，左ez}

D.{dk-360°+120°领hk-360°+315°,左ez}

6.下列角的终边位于第二象限的是()

A.45O0B.86O0C.1O6O0D.126O0

7.若角a满足180。<a<360。，且角6a与a有相同的终边，则角a=

8.已知—990。<0<-630。，且a与120。角终边相同，贝lj（z=

9.有下列结论：

①小于90。的角是锐角；

②30。与-30。角的终边方向相反；

③经过1小时，时针转过了30°；

④小于180。的角是钝角、直角或锐角.

其中不正确的结论为（填序号）.

10.已知集合{»|&=公90。+45。,左€2}.

（1）该集合中有几种终边不相同的角？

（2）该集合中有几个在-360。~360。范围内的角？

（3）写出该集合中的第三象限角.

答案以及解析

1.答案：D

解析：按顺时针方向旋转而成的角是负角，排除A,C；又由题意知旋转的角度

是240。，排除B.故选D.

2.答案：D

解析：由题意矢口a=(x+45=+匕.360。(匕eZ),=(x-45°)+k2-360°(/^eZ),

：.a_/3=(k「k2y360°+90。=屋360°+90°(fceZ).故选D.

3.答案：D

解析：集合A中e满足。。<夕<90。；集合3中e满足8<90。；集合c中e满足

k-360o<0<k-360°+90°,keZ；集合。中0满足0。<。<90。.故4=0.故选D.

4.答案:C

解析：由a=加360。+仇“eZ可知a与4是终边相同的角,由尸="36O°-OMWZ可

知夕与是终边相同的角.因为。与两角终边关于x轴对称，所以a与4两角

终边关于x轴对称.故选C.

5.答案：C

解析：阴影部分的角从-45。到90。+30。=120。，再加上360。的整数倍，即

h360°-45°麴卜/360°+120°,无eZ.故选C.

6.答案：B

解析：420°=360°+60°,终边位于第一象限；

860。=2x360。+140°,终边位于第二象限；

1060°=2x360°+340°,终边位于第四象限；

1260°=3x360。+180°,终边位于%轴非正半轴.故选B.

7.答案：216°或288°

解析：Q角6a与有相同的终边，.•.61=h360。+£(左eZ),a=h72。伏eZ),

又180°<a<360°,;.e=216°或c=288°.

8.答案：-960。

解析：Qa与120。角的终边相同,

:.a=k-360°+120°,keZ.

..-990°<k•360°+120°<-630°,

得-1W360°<-750°.

又上eZ,k=-3,

e=—3x360°+120°=-960°.

故答案为-960。.

9.答案：①②③④

解析：①小于90。的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30。与-30。角

的夹角为60。，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经

过1小时，时针转过了-30。，故③不正确；④0。小于180。，但0。角既不是钝角，

也不是直角或锐角，故④不正确.

10.解析:(1)由无=4”,4〃+1,4”+2,4〃+3(〃eZ),知在给定的角的集合中终

边不相同的角共有四种.

O7

(2)由一360。4公90。+45。<360。，^~-<k<-.