大数定律与中心极限定理

关于大数定律与中心极限定理第一节大数定律背景1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？第2页,共35页，2024年2月25日，星期天1.切比雪夫不等式

设随机变量X的数学期望E(X)=

,方差D(X)=

2,则对任意的正数

，不等式或成立.第3页,共35页，2024年2月25日，星期天利用切比雪夫不等式可以估计一些随机事件的概率。例1设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率解设X表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数为n=10000,p=0.7的二项分布，则有而用切比雪夫不等式估计E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(6800<X<7200)=P(|X-7000|<200)>0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其较精确的概率呢？这就要用到中心极限定理第4页,共35页，2024年2月25日，星期天2.大数定律

定义1

设Y1，Y2，，Yn，,是一随机变量序列，a为一常数.若对任意给定正数

>0,有则称随机变量序列Y1,Y2,,Yn,,依概率收敛于a．

定义2

设X1，X2，，Xn，是一随机变量序列.若存在常数列{an}使对任意给定的正数

，恒有,则称随机变量序列{Yn}服从大数定律．第5页,共35页，2024年2月25日，星期天注意：第6页,共35页，2024年2月25日，星期天切比雪夫大数定理

若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=

D(Xk)=

2(k=1,2,…)，则对任意的正数

>0,有或第7页,共35页，2024年2月25日，星期天注意第8页,共35页，2024年2月25日，星期天证明:（利用切比雪夫不等式）根据已知条件由切比雪夫不等式，有又所以第9页,共35页，2024年2月25日，星期天伯努利大数定理设nA为是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的正数

>0,有或第10页,共35页，2024年2月25日，星期天证：设由切比雪夫大数定理,有所以

即那么相互独立，且服从参数为p的0—1分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p).第11页,共35页，2024年2月25日，星期天辛钦大数定理

若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=

(k=1,2,…)，则对任意的正数

>0,有或第12页,共35页，2024年2月25日，星期天第二节中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为问这个和的极限分布是什么？第13页,共35页，2024年2月25日，星期天1.独立同分布中心极限定理

若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=

D(Xk)=

2(k=1,2,…)，则随机变量标准化量的分布函数Fn(x)对于任意x满足第14页,共35页，2024年2月25日，星期天第15页,共35页，2024年2月25日，星期天例2每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解：设箱中第i袋味精的净重为Xi,则Xi

独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心极限定理得，所求概率为：故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.第16页,共35页，2024年2月25日，星期天2.李雅普诺夫中心极限定理

若X1，X2，，Xn，，为独立随机变量序列,，若存在正数，使当时，则随机变量标准化量Zn的分布函数Fn(x)对于任意x满足第17页,共35页，2024年2月25日，星期天说明：中心极限定理表明无论各随机变量Xk(k=1,2,)服从什么分布，只要满足定理的条件，那么他们的和当n很大时，就近似服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有非常重要地位的一个基本原因第18页,共35页，2024年2月25日，星期天3.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理定理表明：二项分布的极限分布是正态分布，即

设随机变量服从参数为n,p的二项分布，则对任意x，有第19页,共35页，2024年2月25日，星期天小结中心极限定理注第20页,共35页，2024年2月25日，星期天例3解：所以第21页,共35页，2024年2月25日，星期天第22页,共35页，2024年2月25日，星期天例4(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.7,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力15千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解供电所至少要供给这个车间x千瓦的电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.以X记200台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件X服从参数为200，0.7的二项分布，于是由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理有第23页,共35页，2024年2月25日，星期天即供电所至少要供给这个车间2392.6千瓦的电力.第24页,共35页，2024年2月25日，星期天

例5对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布.(1)求参加会议的家长人数X超过450的概率；

(2)求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.第25页,共35页，2024年2月25日，星期天解

(1)以Xk记第k个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件Xk的分布率为Xk012P0.050.80.15可以计算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，，400.由独立同分布中心极限定理，得第26页,共35页，2024年2月25日，星期天(2)以Y记由一名家长参加会议的学生人数，则Y服从参数为400，0.8的二项分布.于是由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理，得从而有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率约为0.9938.第27页,共35页，2024年2月25日，星期天例6在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.(1)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.

设，k=1,2,…第28页,共35页，2024年2月25日，星期天解（1）设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理第29页,共35页，2024年2月25日，星期天欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.第30页,共35页，2024年2月25日，星期天（2）在100次抽取中,数码“0”出现次数为由中心极限定理,其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即第31页,共35页，2024年2月25日，星期天=0.6826即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.第32页,共35页，2024年2月25日，星期天思考题1.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1％？2.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.第33页,共35页，2024年2月25日，星期天3.电视台需作节目A收视率的调查.每天在播电视的同时,随机地向当地居民打电话询问是否在看电视.若在看电视,再问是否在看节目A.