河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷一、单选题1.在下列四组数中，属于勾股数的是（）A.0.3，0.4，0.5 B.9，40，41 C.6，7，8 D.1，，【答案】B【解析】【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；B、∵，∴9、40、41是勾股数；C、，∴6，7，8不是勾股数；D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数；故选：B．【点睛】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．2.下列说法正确的个数是（）①实数包括有理数、无理数和零；②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；③不带根号的数一定是有理数；④两个无理数和是无理数．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】①根据实数的分类，可得答案；②根据平方根、立方根，可得答案；③根据有理数的定义，可得答案；④根据实数的运算，可得答案．【详解】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误；②平方根和立方根都等于它本身的数为0，故②错误；③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误；④两个无理数的和是可能是无理数、可能是有理数，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了实数，实数的分类不能重复、不能遗漏，无理数的运算可能是无理数、可能是有理数．3.在下列各式中，计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用合并同类项，开平方和开立方逐一判断即可解题.【详解】解：A.不能合并，计算不正确；B.，计算不正确；C.，计算不正确；D.，计算正确；故选D.【点睛】本题考查合并同类项，算术平方根，立方根，掌握运算法则是解题的关键.4.若直角三角形两条直角边的长分别为和，则斜边上的高是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理可知，再根据直角三角形面积公式即可解答．【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别为和，即，，∴，∴，∴，∴，即斜边上的高是，故选．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形面积的两种计算分式，掌握勾股定理是解题的关键．5.的算术平方根是（）A.2 B.±2 C.4 D.±4【答案】A【解析】【分析】由，再求出算术平方根即可．【详解】因为，可知4的算术平方根是2．故选：A．【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键．6.如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（）A.11 B.14 C.17 D.20【答案】C【解析】【分析】如图：由题意可得,,，再根据全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：,,∴∴，∴,∴,∵，∴，∴,即,同理：;∴．故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．7.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．8.如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的灵活运用，找到的规律是解题的关键．根据题意可求得到的值分别为，，，…，，从而可计算到中长度为正整数的个数．【详解】∵，，，，……，∴，，∴到的值分别为，，，…，，其中正整数为，，，，，∴，，…，这些线段中有5条线段的长度为正整数．故选：C9.我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（）A.12尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x尺长，则，解得：．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则，再根据，可得答案．【详解】解：设其中一个直角三角形的面积为，则，，，，，的值是，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出和是解题的关键．二、填空题11.请写出一个比大且比小的无理数：_________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据无理数的定义即可写出答案．【详解】，且为无理数．故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的比较，牢记无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题的关键．12.如图，，，，一个小球从点A处出发，沿着方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿直线匀速去拦截小球，恰好在C处截住了小球，如果小球与机器人的速度相同，那么机器人行走的路程的长为_______．【答案】5【解析】【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出．设为x，则，根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴．设为x，则，由勾股定理得：，又∵，，∴，解方程得出．∴机器人行走的路程是5．故答案为：5．【点睛】本题考查是勾股定理的应用，熟知勾股定理，并根据勾股定理构造方程是解题关键．13.实数m，n在数轴上的位置如图，化简：________．【答案】【解析】【分析】根据数轴上点的位置可得，则，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．【详解】解：由题意得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，化简绝对值，正确判断出是解题的关键．14.比较大小______．（填“>”或“<”）【答案】>【解析】【分析】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．【详解】解：∵，又∵，∴，∴，故答案为：>．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答．15.如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是______．【答案】5或2【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．【详解】解：当时，如图，，，，，，由折叠得，，，设，，在中，，，即；当时，如图，作，，，，，，．故答案为：5或2．三、解答题16.计算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可；（2）先根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．17.已知一个正数的平方根是和．（1）求出的值；（2）求这个正数；（3）求的平方根．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平方根的特征得出，进行计算即可得到答案；（2）先求出的值，再平方即可得到答案；（3）先计算出的值，再求出的平方根即可．【小问1详解】解：∵一个正数的平方根是和，∴，∴；【小问2详解】解：，这个正数为；【小问3详解】解：，，∴的平方根是．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平方根、算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．18.如图，每个小正方形的边长都为1．（1）四边形的周长=________；（2）四边形的面积=________；（3）是直角吗？判断并说明理由．【答案】（1）（2）13（3）是，理由见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出、、的长，再求出周长即可；（2）根据图形得知的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；（3）根据勾股定理逆定理可判断的形状．【小问1详解】由勾股定理得：，，，∵，∴四边形的周长，故答案为：；【小问2详解】四边形的面积，故答案为：9；【小问3详解】是直角，理由是：连接，由勾股定理得：，∵，∴，∴，即是直角．【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．19.如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．（1）求，间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】（1）（2）没有超速，理由见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．【小问1详解】解：在中，由，，且为斜边，根据勾股定理可得．答：，间的距离为．【小问2详解】解：这辆小汽车没有超速，理由如下：，而，，所以这辆小汽车没有超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20.我们知道．是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：（1）的整数部分是_________，的小数部分是_________；（2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根；（3）若，其中是整数，且，求的值．【答案】（1）3，（2）（3）11【解析】【分析】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握无理数的大小估算方法．（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；（3）由得即，从而得，y=，将x、y的值代入原式即可求解．【小问1详解】解：∵，∴的整数部分为3，∴的小数部分为，∵，∴，∴即，∴的整数部分为1，∴的小数部分为，【小问2详解】∵，a是的整数部分，∴，∵，∴的整数部分为1，∵b是的小数部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；【小问3详解】∵，∴即，∵，其中x是整数，且，∴，y=，∴．21.如图，于点B，于点A，点E是中点，若，，求的长．【答案】的长为12．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，延长交于点F，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而根据证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【详解】解：延长交于点F，如图：∵，∴，∴，∴，∵点E是中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴的长为．22.阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．如：解答问题：（1）填空：______．（2）化简：（请写出计算过程）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．【小问1详解】解：；故答案为：；【小问2详解】；故答案为：；【小问3详解】故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消．23.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．（3）若动点P满足，则的值为．【答案】（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．【详解】解：（1）如图①所示：∵