专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一利用函数的性质求解析式题型一利用函数的性质求解析式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2-x=(1)求f2021(2)当x∈3,4时，求函数【解题思路】（1）由题可得f(4+（2）由题可求当x∈[-1,0]时，f(【解答过程】（1）∵定义在R上的奇函数f(x)∴f(-x)=-∴f(4+x)=f(又x∈[0,1]时f∴f(2021)=（2）∵当x∈[0,1]时f∴当x∈[-1,0]时，-∴f(∴当x∈[3,4]时，x∴f(2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x(1)求f((2)若“x=3”是“f(2x-t【解题思路】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式f(2x-t【解答过程】（1）f(x)是定义在R当x<0时，-x>0所以fx（2）因为y=x2与y=-2-x又因为fx为偶函数，所以fx在-不等式f2x-t>f1由题意3>t+12或3<3．（2023·高一课时练习）已知f((1)求a，b的值；(2)试判断f((3)试求f(【解题思路】（1）由f(0)=0求出a的值，f(-1)=-f（2）f(x)（3）由f(x)=xx2+1在[-1,1]【解答过程】（1）因为f(x)的定义域为-1,1，所以又因为f(-1)=-1所以2-b=2+b，所以（2）由（1）知：f(任取x1,xfxx1+x1所以f(x)（3）由（2）知：f(x)=所以f(f(x)max=4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x(1)求f((2)若方程f(x)=k有3【解题思路】（1）利用奇函数定义求出x<0时的f(（2）分析函数f(x)的性质，作出图象，数形结合求出【解答过程】（1）函数f(x)是R上的奇函数，且x则当x<0时，-x>0所以f(x)（2）由（1）知，当x<0时，f(x)=-(x+在[-12,0)当x≥0时，f(x)=(x-在[12,+在同一坐标系内作出直线y=k和函数观察图象知，方程f(x)=k有3个不同的解，实数5．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=-f(1)求证：fx(2)当x∈2,4时，求(3)计算f0【解题思路】（1）把x+2看成一个整体证明f（2）当x∈2,4时，可得出0≤x-2≤2，再由f（3）计算出f1、f2、f3、f4的值，再利用函数f【解答过程】（1）证明：因为fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，f则fx+4=-fx+2（2）解：当x∈2,4时，此时，fx（3）解：因为当x∈0,2时，fx=2x所以，f1=2-1=1，f2=2因为2011=4×502+3，所以，f=503×1+0-1+0题型二题型二利用函数的性质求最值6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R(1)求证：f(x)(2)求证：f(x)(3)若f(1)=-23，求f(【解题思路】（1）根据条件，通过赋值得到f(0)=0，再令y（2）利用（1）中结果和条件f(（3）利用（2）中结果，得到f(x)在【解答过程】（1）因为函数f(x)对于任意x令x=y=0令y=-x，得f(所以f(x)在（2）在R上任取x1则x1-x因为x>0时，f(x)<0，所以所以f(x)在（3）因为f(x)所以f(x)所以f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为而f3=3f所以f(x)在-3,37．（2023·全国·高一假期作业）已知函数y=(1)若a=b=1，求y(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.【解题思路】（1）分t≤12（2）可得函数在2,4上单调递增，然后由条件可建立方程组求解.【解答过程】（1）当a=b=1时，函数化为y而t+①当t+12≤1，即t≤②当t+12>1，即t>综上，当t≤12时，最大值为t2-（2）因为函数的图像开口向上，且对称轴方程为x=1∉2,4，所以函数在所以当x=2时，y取得最小值b+1；当x=4时，y由题意，可得b+1=1,8a8．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈(1)求函数fx(2)设gx=-fx+1，求g【解题思路】（1）利用偶函数的性质求函数fx在0,+（2）结合二次函数性质确定函数gx的单调性，结合单调性求gx【解答过程】（1）因为函数y=所以当x<0时，fx=又当x≥0时，f所以当x<0时，f所以函数fx的解析式为f（2）因为gx所以当x<0时，g当x≥0时，gx所以当x≤-1时，函数g当-1<x<0当0≤x≤1时，函数当x≥1时，函数g当-1<a≤1所以函数gx在a,a当a>1时，函数gx在区间所以当x=a时，gx所以当a>-1时，gx在区间a,9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f((1)当a>2时，判断f(x(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)【解题思路】（1）讨论分段函数中二次函数的对称轴与-1的大小关系即可得到答案（2）分a<-2，-2≤a<2【解答过程】（1）f(x当a>2时，-a2<-1则函数fx在-∞,-1（2）a∈R，当a2<-1，即a<-2函数fx在-在a2fa2=-a2∴g当a2≥-1且-a函数fx在-∞,-g(当-a2≤-1，即a函数fx在(-∞,-1)所以ga综上g(当a<2时，g所以ga10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(-1≤x≤1)是奇函数，又知y(1)求f1(2)求y=fx(3)求y=fx在[4,9]【解题思路】（1）根据题意得到f4=f(-1)，又由（2）令f(x)=a(x（3）根据题意，令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，求得【解答过程】（1）解：函数y=fx是定义在R上的周期函数，且T而函数y=fx在区间-所以f1（2）解：由y=fx在1,4上是二次函数，且在x可设f(因为f1+f4=0所以fx（3）解：函数y=fx,x令y=由（2）得：f1=-3，可得k=-3，所以当0≤因为函数y=fx为奇函数，可得当x当4≤x≤6时，可得-1≤当6<x≤9时，可得1<x所以函数fx当x=4或x=9时，函数fx当x=7时，函数fx取得最小值题型三题型三利用函数的性质比较大小11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=【解题思路】由②知，-x1>x2+2>2，即-x1【解答过程】由②知，-x1>又f(x)在[1,+又由①得，fx所以f-12．（2022·全国·高一专题练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn(1)求证：f(x)(2)若f(2)=1，解不等式f(3)比较f(m+【解题思路】（1）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论.（2）抽象函数解不等式，利用定义的运算及函数的性质列式求解即可.（3）利用函数性质及基本不等式列式求解即可.【解答过程】（1）证明：设0<x1<x2f(x2则f(x)（2）若f(2)=1，则f（2）+f（2）=f（4则不等式f(x+2)-即f(x+2)>则满足{x+2>02x>0（3）因为f(mn)=2f∴f13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f((1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；(2)若x2>x1>0(3)若fx1=fx【解题思路】（1）用定义证明.（2）由已知寻找x1、x2、2-x2的范围，并比较2-x2（3）代入函数表达式整理fx1=f【解答过程】（1）设0<xfx∵x1-x2<0，x1∴x1-故f（x）在（0，1）上的单调减.（2）∵x2>∴2x1

2x2>x1又2-x2-因为f（x）在（0，1）上的单调减，所以f（3）∵f∴x12+1∴xx1+x14．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f((1)求f(1)，f(2)的值；(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；(3)若关于x的不等式f(x-【解题思路】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得fa（3）将条件化简得x2-4x+3-【解答过程】（1）因为fx=x2+（2）fa>fa-因为a>b>1，则a+b>2，ab>1所以a-ba（3）因为函数fx=x化简可得x2-4所以Δ=4所以m的取值范围为-∞,-115．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn（1）求f(1)的值（2）求证：fm（3）求证：f(x)在（4）若f(2)=1，解不等式f（5）比较fm+n2【解题思路】（1）令m=（2）由m=（3）由单调性定义证明；（4）根据已知把不等式变为f(（5）由fm+n2=【解答过程】（1）令m=n=1（2）f(即fm（3）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x由（2）得.fx2-∴fx在(0,+∞)上是增函数（4）∵f(2)=1，∴2=f(又f(x)在(0,+∞)解得0<x故不等式f(x+2)-（5）∵f(fm∵m+∴m+n22又f(x)∴fm∴fm题型四题型四利用函数的单调性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在-3,3上的奇函数，当0<x(1)求f-(2)求函数fx(3)若f3a+1【解题思路】（1）利用奇函数定义直接可得；（2）设-3≤x<0（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．【解答过程】（1）因为fx为奇函数，则（2）因为fx为奇函数，f设-3≤x<0则f-x=12-则fx（3）当0<x≤3时，fx=12x2+又∵f3a+1+故有：-3≤3a+1≤3-3≤2a所以实数a取值范围是：0<a17．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx(1)求f-(2)补全y=fx【解题思路】（1）根据偶函数的性质计算；（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.【解答过程】（1）由图可知，f1因为fx是偶函数，所以f（2）y=fx的图像如上图，不等式f综上，f-1=1，f18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+b(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式ft【解题思路】（1）由条件结合奇函数的性质列方程求a,（2）利用作差法及单调性的定义证明fx（3）结合奇偶性和单调性的性质化简不等式，解之即可.【解答过程】（1）因为fx是在区间-所以f0=0，即b=0因为f12=-25当a=-1时，fx=-所以对任意的x∈-1,1，f-故fx=-x（2）fx=-x任取实数x1,x2∈因为-1<x1<x2<1又x12所以fx2-故函数fx=-x（3）因为fx所以不等式ft-1又因为fx在-所以-1<t-1<1-所以原不等式的解集为t119．（2022秋·黑龙江七台河·高一校考期中）定义在-1,1上的函数fx满足：对任意的x,y∈-1,1(1)求证：函数fx(2)求证：fx在-(3)解不等式：fx【解题思路】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【解答过程】（1）令x=y=0，则f令y=-x，则∴fx为定义在-（2）设-1<x1<x∵-1<x1<x2<1，又x1∴-1<x1-x21-x∴fx1+f-x2（3）由fx+1+∵fx定义域为-1,1∴-1<x+1<1-1<120．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈(1)判断fx的奇偶性,并证明(2)判断fx在0,+∞上的单调性,(3)若f2=3,求满足不等式f3m【解题思路】(1)根据赋值,先求出f1,再求出f-1,再令a=-1,b(2)先判断出fx单调性,再根据单调性的定义进行证明即可(3)先根据fx的定义将f3m+2+fm-【解答过程】（1）由题知,fx为偶函数,证明如下不妨令a=b=1代入f∴f令a=b=-1∴f令a=-1,b=∵D=xx（2）fx在0,+∞单调递增,∀x∴fx1-f∵x1x∴f∴fx在0,+（3）由题f3∴f由(2)知fx在0,+∞所以3m+2m解得m∈题型五题型五利用函数的性质解决恒成立问题21．（2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测）已知fx=ax2+bx+c4+x(1)求fx(2)设函数gx=x2-2mx【解题思路】（1）根据函数的奇偶性即可得c=0，进而结合f（2）将问题转化为gx2【解答过程】（1）x∈-2,2，且f将x=0代入fx+f-x=0即fx=ax2+bx解得a=0b=1fx=x（2）只要gx2max<f∵1≤x1<x2≤2，∴x故函数fx=x4+x2在法一：gx=x2-2mxy=x+195当x=1时，x+195x故当x=1时，x+19法二：gx=x当m≤32时，gxmax当m>32时，gxmax=g综上所述：m>22．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，(1)求函数fx的解析式(2)若对任意的t∈0,2，fm+【解题思路】（1）设x<0（2）首先确定函数的单调性，结合函数的单调性转化为对任意的t∈0,2，m+t【解答过程】（1）函数fx是定义在R上的奇函数，所以f0=当x≥0时，f当x<0时，f所以fx（2）当x≥0时，fx=因为fx在0,+∞上是增函数，又fx为奇函数，所以fx因为fx为奇函数，f所以fm+t则对任意的t∈0,2，即m>-2t2+2当t=12时，-2t故m的取值范围是1223．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数y=f(x)是定义在(1)当a=-2时，求f(2)若函数f(x)(i)求(ii)实数m∈-5,-2【解题思路】(1)设x<0，结合x(2)（i）利用函数的单调性求解；（ii）根据题意，得到f(m2【解答过程】（1）当a=-2时，x⩾0时，设x<0，则-x>0，因为f(所以f(x所以f(（2）(i)当x⩾0时，f因为函数f(x)在[0,+即a的取值范围为-∞,0(ii)因为因为函数f(x)在[0,+∞)所以函数f(x)在R即t>-m2-因为-m2所以t>-1，即实数t的取值范围为(-1,+24．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数f((1)若g(x)=(2)当a=12时，先用定义法证明函数f(x)在(3)若对任意x∈1,+∞，f【解题思路】（1）利用奇函数的定义即可求解；（2）利用函数的单调性及函数的最值的定义即可求解；（3）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）g(g(函数g(x)g(-所以g(（2）当a=12∀x1,所以f(因为1≤x所以x1-x2<0所以(x1-x2所以函数f(x)所以函数f(x)在1,+（3）若对任意x∈1,+∞则x所以问题转化为a大于函数φ(x)=-(φ(x)=-(由二次函数函数的性质知，开口向下，对称轴为x=-1所以函数φ(x)所以φ(x)最大值为φ所以实数a的取值范围是(-3,+∞25．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx(1)求fx(2)判断函数fx在-2,2上的单调性（不用证明），并求使f2(3)设函数g(x)=x2-2mx【解题思路】（1）确定函数为奇函数，f0=0，f1=（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到-2≤2t（3）只要g(x2)max<【解答过程】（1）x∈-2,2，且f将x=0代入fx+f-x=0即fx=ax2+bx解得a=0b=1fx=x4+x（2）设-2≤x1∵-2≤x1<x2≤2，故函数fx=x4+x所以f2t+1根据单调性及定义域可得：-2≤2t+1≤2-2≤（3）只要g(x2)max<f法一：g(x)=x2y=x+195当x=1时，x+195x故当x=1时，x+19法二：g(x)=当m≤32时，g(x当m>32时，g(x)max综上所述：m>题型六题型六利用函数的性质解决有解问题26．（2022秋·湖北荆州·高一校联考期末）定义域为[-2，2]的奇函数fx满足，当x(1)求fx(2)若x∈-2,0时,fx【解题思路】（1）根据二次函数和一次函数的单调性可求解x∈0,2时的值域，根据奇函数的性质，即可求解（2）将有解问题转化成最值问题，即可求解.【解答过程】（1）fx为定义在[-2，2]当x∈0，1时，fx=x当x∈(1,2],f(x故x∈0,2时.fx∈-141，由于f（x综上：f(x（2）由（1）知：x∈-2,0时，f(x)∈-1,1即t2≤9实数t的取值范围是[-32，327．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx的表达式f(1)函数y=fx在区间2,+(2)设m<0，若不等式fx≤kx在【解题思路】（1）利用函数单调性定义，我们设2≤x1<x2（2）利用分离变量法，将k分离出来，发现题设转化为：存在x，x∈12,2，使得k≥mx2【解答过程】（1）由题意，任取x1、x2∈则fx因为x2-x1>0，x由x2>x1≥2所以，m的取值范围是-∞（2）由fx≤kx因为x∈12令t=1x，则t令gt=m于是，要使原不等式在x∈12因为m<0，所以gt=因为t∈1,2，设：t0为区间1,2故当0<t<t0，即0<-1当t0<t，即-1m综上，当m≤-23时，k∈428．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知定义域为R的函数f((1)求a的值；(2)判断f((3)若关于m的不等式f-2m2+3【解题思路】（1）利用奇函数性质代入f1+f-1（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）利用奇函数性质，单调性以及存在性