2019年江苏省南京市中考数学试卷（解析版）

2019年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（2分）（2019•南京）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000

亿美元.用科学记数法表示13000是（）

A.0.13X105B.1.3X104C.13X103D.130X102

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中1W间＜10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：13000=1.3X104

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中1W⑷＜10,"为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.（2分）（2019•南京）计算（J。）3的结果是（）

A.a'lf'B.ah'C.abD.al?

【考点】47：幕的乘方与积的乘方.

【专题】512：整式.

【分析】根据积的乘方法则解答即可.

【解答】解：（Jb）3=（tz2）3bi=a'bi.

故选：D.

【点评】本题主要考查了塞的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键.积的乘方，等于

每个因式乘方的积.

3.（2分）（2019•南京）面积为4的正方形的边长是（）

A.4的平方根B.4的算术平方根

C.4开平方的结果D.4的立方根

【考点】21：平方根；22：算术平方根；24：立方根.

【专题】511：实数；66：运算能力.

【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；

【解答】解：面积为4的正方形的边长是即为4的算术平方根；

故选：B.

【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义

是解题的关键.

4.（2分）（2019•南京）实数a、b、c满足。>b且ac<6c,它们在数轴上的对应点的位置

可以是（）

A.cba0B.cab0

C.ab0cD.ba0

【考点】29：实数与数轴.

【专题】511：实数.

【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负.再确定符合条件的对应点的大致位置.

【解答】解：因为且ac<6c,

所以c<0.

选项A符合。>6,c<0条件，故满足条件的对应点位置可以是A.

选项B不满足选项C、。不满足c<0,故满足条件的对应点位置不可以是3、C、

D.

故选：A.

【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质.解决本题的关键是根据不等式的

性质判断。的正负.

5.（2分）（2019•南京）下列整数中，与10-而最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】2B：估算无理数的大小.

【专题】511：实数；61：数感；66：运算能力.

【分析】由于9<13<16,可判断后与4最接近，从而可判断与10-后最接近的整

数为6.

【解答】解：：9<13<16,

>'.3<V13<4.

，与打互最接近的是4,

...与10最接近的是6.

故选：C.

【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键.

6.（2分）（2019•南京）如图，△ABC是由△ABC经过平移得到的，△A3'C还可以看作是

△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；

③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.③④

【考点】RA：几何变换的类型.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC与△ABC重合.

【解答】解：先将△ABC绕着8C的中点旋转180°,再将所得的三角形绕着8C的中点

旋转180°,即可得到△ABC；

先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着8'C的垂直平分线翻折,

即可得到△A8C；

故选：D.

【点评】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线

（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分.在旋转变换下,

对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

7.（2分）（2019•南京）-2的相反数是2；工的倒数是2.

2

【考点】14：相反数；17：倒数.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案.

【解答】解：-2的相反数是2；工的倒数是2,

2

故答案为：2,2.

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

8.（2分）（2019•南京）计算14-标的结果是0

VT

【考点】76：分母有理化；79：二次根式的混合运算.

【专题】514：二次根式.

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

【解答】解：原式=2/？-2/？=0.

故答案为0.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

9.（2分）（2019•南京）分解因式（a-b）?+4他的结果是（a+b）,.

【考点】54：因式分解-运用公式法.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答

案.

【解答】解：（a-b）2+4ab

99

=a-2ab+b

22

=a+2ab+b

=（4+Z?）L

故答案为：（a+6）

【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

10.（2分）（2019•南京）已知2+愿是关于x的方程尤2-4X+〃Z=0的一个根，则m=1.

【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】把x=2+«代入方程得到关于机的方程，然后解关于根的方程即可.

【解答】解：把x=2+近代入方程得（2+禽）2-4（2+V3）+m=0,

解得77?=1.

故答案为1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

11.（2分）（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的

推理形式：:/1+/3=180°，：.a//b.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

【解答】解：：/1+/3=180°,

•••。〃匕（同旁内角互补，两直线平行）.

故答案为：Nl+N3=180°.

【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，

那么这两条直线平行.

12.（2分）（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20c%的细木筷斜

放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有

【考点】16：几何体的展开图；KU：勾股定理的应用.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：7122+92=15,

则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20-15=5（cm）.

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键.

13.（2分）（2019•南京）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中

学生进行调查.整理样本数据，得到下表:

视力4.7以下4.74.84.94.9以上

人数102988093127

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是7200.

【考点】V5：用样本估计总体.

【专题】542：统计的应用.

【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得.

【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000><8°+93+12」=

500

7200（人）,

故答案为：7200.

【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要

数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）•一般来说，用样本去估计总体时，样

本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

14.（2分）（2019•南京）如图，以、尸8是。。的切线，A、B为切点，点C、。在。。上.若

ZP=102°，则NA+NC=219°.

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】连接根据切线的性质得到出=尸8,根据等腰三角形的性质得到

PBA=^-（180°-102°）=39°,由圆内接四边形的性质得到/D48+/C=180°,于

2

是得到结论.

【解答】解：连接A8,

：力、尸8是。。的切线，

：.PA=PB,

VZP=102",

：.ZR\B=ZPBA^l-(180°-102°)=39°,

2

,：ZDAB+ZC=18Q°,

：.ZR\D+ZC=ZPAB+ZDAB+ZC^180°+39°=219°,

【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作

出辅助线是解题的关键.

15.（2分）（2019•南京）如图，在△ABC中，8C的垂直平分线MN交A8于点。，C£>平

分NACB.若AO=2,BD=3,则AC的长

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】证出证明△AC£>S/VIBC,得出旦■=世，即可得出结

ABAC

果.

【解答】解：的垂直平分线MN交于点。，

：.CD=BD=3,

：.ZB=ZDCB,AB=AD+BD=5,

平分NACB,

ZACD=ZDCB=ZB,

，AACD^AABC,

.AC=AD

"AB而，

.,.AC2=ADXAB=2X5=10,

--.AC=V10.

故答案为：VTo.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定

理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理

得出方程是解题的关键.

16.（2分）（2019•南京）在△ABC中，AB=4,ZC=60°,ZA>ZB,则8C的长的取值

范围是4C2CW生叵.

3一

【考点】K6：三角形三边关系.

【专题】552：三角形；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】作AABC的外接圆，求出当NA4c=90°时，BC是直径最长=生叵；当N8AC

3

=/ABC时，/XABC是等边三角形，BC=AC=AB=4,l^ZBAOZABC,即可得出答

案.

【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：

ZBAC>ZABC,AB=4,

当/BAC=90°时，BC是直径最长，

VZC=60°,

AZABC=30°,

C.BC^IAC,AB=yf^AC=4,

3

.•.8C=_§2L1；

3

当/BAC=NA8C时，ZiABC是等边三角形，BC=AC=AB=4,

ZBAC>ZABC,

：.BC长的取值范围是4<BCW生叵；

3

故答案为：4<8CWa叵.

3

Cl

c

乂弋一~yB

【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出

△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键.

三、解答题(本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.(7分)(2019•南京)计算(尤+y)(x2-xy+y2)

【考点】4B：多项式乘多项式.

【专题】11：计算题.

【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,计

算即可.

【解答】解：(尤+y)(尤2-孙+/)，

=x3-x2y+,xy2+,x2y-xy2+,y3,

=x3+,y3.

故答案为：f+J.

【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项，漏字母，有同类项的

合并同类项.

18.(7分)(2019•南京)解方程：—.

XTx2-l

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题.

【分析】方程两边都乘以最简公分母(x+1)(%-1)化为整式方程，然后解方程即可，

最后进行检验.

【解答】解：方程两边都乘以(%+1)(x-1)去分母得，

x(x+1)-(x2-1)=3,

即x2+x-，+1=3,

解得了=2

检验：当x—2时，(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=3W0,

，x=2是原方程的解，

故原分式方程的解是尤=2.

【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分

式方程转化为整式方程求解.

（2）解分式方程一定注意要验根.

19.（7分）（2019•南京）如图，。是△ABC的边A3的中点，DE//BC,CE//AB,AC与

【考点】KB：全等三角形的判定.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出8O=CE,依据即可得

出ZADF=ZE,即可判定歹也△CEF.

【解答】证明：,CDE//BC,CE//AB,

...四边形DBCE是平行四边形，

:.BD=CE,

,:。是AB的中点，

：.AD=BD,

：.AD=EC,

'：CE//AD,

：.ZA=ZECF,ZADF=ZE,

BC

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹

边分别对应相等的两个三角形全等.

20.(8分)(2019•南京)如图是某市连续5天的天气情况.

日期5月25日5月26日5月27日5月28日5月29日

天气现象分浜疗

大雨中Q雨晴晴3多玄

最局气温

最低气温

空气质量良优优优良

(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;

(2)根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论.

【考点】W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】(1)方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组

数据的方差；

(2)用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均

值的情况，这个结果叫方差，通常用52来表示，计算公式是：

?=1[(XI-X)2+(X2-X)2+-+-x)2](可简单记忆为“方差等于差方的平均

n

数”).

【解答】解：(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

--23+25+23+25+24--21+22+15+15+17_18

*高一--------5------_*低―--------5-------

方差分别是

$-2—(23-24产+(25-24)4(23-24B(25-24)(24-24)2_08,

曷5

2222

。_(21-18)2+(22-18)+(15-18)+(15-18)+(17-18).88

,低25

该市这5天的日最低气温波动大;

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说

明下雨后空气质量改善了.

【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键.方差是反映一组数据的

波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它

与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

21.（8分）（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要

求每位学生选择两天参加活动.

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是2.

一旦一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个,

由概率公式即可得出结果；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星

期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即

可得出结果.

【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的

结果有6个，

甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为心-=工；

122

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星

期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是2；

3

故答案为：—.

3

1234

小/K小小

234134124123

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果

求出小再从中选出符合事件A或2的结果数目“3然后根据概率公式求出事件A或B

的概率.

22.（7分）（2019•南京）如图，O。的弦A3、C。的延长线相交于点P,且求证:

PA=PC.

P

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出第=而,进而得出面=合，根据等弧

所对的圆周角相等得出NC=NA，根据等角对等边证得结论.

【解答】证明：连接AC,

AB=CD，

.1.AB+BD=BD+CD（即俞=合，

.•.ZC=ZA,

C.PA^PC.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练

掌握性质定理是解题的关键.

23.（8分）（2019•南京）已知一次函数力=依+2（左为常数，左=0）和丫2=尤-3.

（1）当上=-2时，若力＞m，求x的取值范围.

（2）当尤＜1时，yi＞y2.结合图象，直接写出左的取值范围.

【考点】F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）解不等式-2x+2>x-3即可;

（2）先计算出x=l对应的”的函数值，然后根据尤<1时，一次函数月=履+2。为常

数，左W0）的图象在直线”=尤-3的上方确定上的范围.

【解答】解：（1）左=-2时，V]=-2x+2,

根据题意得-2%+2>%-3,

解得X<旦;

3

（2）当x=l时,y=x-3=-2,把（1,-2）代入yi=kx+2得k+2=-2,解得k=-4,

当-4W%〈0时，>1〉”；

当QVXW1时,yi>y2.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数丫="+匕的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线y=fcv+6在无轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

24.（8分）（2019•南京）如图，山顶有一塔AB,塔高33优.计划在塔的正下方沿直线CD

开通穿山隧道EE从与E点相距80根的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从

与歹点相距50根的。处测得A的仰角为45°.求隧道所的长度.

（参考数据：tan22°仁0.40,tan27°仁0.51.）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】延长交。于H,利用正切的定义用CH表示出AH、BH,根据题意列式求

出CH,计算即可.

【解答】解：延长AB交CD于"

则AH_LC£）,

在中，ZD=45°,

:.AH=DH,

在RtZ\AHC中，tan/ACH=^l,

CH

：.AH=CH'lanZACH^0.51CH,

在RtZXBHC中，tan/BCH=型,

CH

:.BH=CH・tanNBCH34CH,

由题意得，0.51CH-0.4cH=33,

解得，CH=300,

EH=CH-CE=220,BH=12Q,

：.AH=AB+BH^153,

：.DH=AH=153,

：.HF=DH-DF=103,

:.EF=EH+FH=323,

答：隧道跖的长度为323祖.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

25.（8分）（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50优，宽40加,

要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后

在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000

元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

扩

充

区

原广场域

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】设扩充后广场的长为3xm,宽为2x处根据矩形的面积公式和总价=单价X数

量列出方程并解答.

【解答】解：设扩充后广场的长为3X7",宽为2»”,

依题意得：100+30（3尤・2x-50X40）=642000

解得尤1=30,尤2=-30（舍去）.

所以3x=90,2x=60,

答：扩充后广场的长为90〃z,宽为60,”.

【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价=单价X数量的运用，解答

时找准题目中的数量关系是关键.

26.（9分）（2019•南京）如图①，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.求作菱形

DEFG,使点。在边AC上，点E、E在边上，点G在边上.

小明的作法

1.如图②，在边AC上取一点D,过点。作。G〃AB交BC于点G.

2.以点。为圆心，0G长为半径画弧，交AB于点E.

3.在EB上截取£/=£»,连接FG,则四边形。E/G为所求作的菱形.

（1）证明小明所作的四边形。EPG是菱形.

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继

续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.

【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可.

【解答】（1）证明：,:DE=DG,EF=DE,

：.DG=EF,

,:DG〃EF,

四边形DEFG是平行四边形,

,:DG=DE,

四边形。所G是菱形.

(2)如图1中，当四边形。跖G是正方形时，设正方形的边长为x.

图1

在Rt^ABC中，VZC=90°，AC=3,BC=4,

Q32+42=5,

则CD=^-x,AD=^-x,

54

,：AD+CD=AC,

._60

••Xv,

37

3_36

：.CD—'rX------

537

观察图象可知：0WCDC匹时，菱形的个数为0.

37

如图2中，当四边形ZMEG是菱形时，设菱形的边长为九

图2

'：DG//AB,

.CD=DG

"CAAB，

•-•-3---I-D—_>m

35

解得加=比，

8

：.CD^3-乃=旦,

88

如图3中，当四边形DE8G是菱形时，设菱形的边长为“.

图3

,JDG//AB,

.CG=DG

"CBAB，

•・•-4-F---_,n

45

.20

..n=——,

9

；.CG=4-迫=迈，

99

观察图象可知：当OWCD〈弛■或且＜。・3时，菱形的个数为0,当CZ）=①或旦＜C£）

373378

W4时，菱形的个数为1,当匹旦时，菱形的个数为2.

3378

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图-复杂作图等知

识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度.

27.（11分）（2019•南京）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按

直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系无对两

点A（修，yi）和B（入2,'2）,用以下方式定义两点间距禺：d（A,B）=|%i-％2l+lyi-

【数学理解】

(1)①已知点A(-2,1),则d(0,A)=3.

②函数y=-2x+4(0WxW2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3,则

点B的坐标是(1,2).

(2)函数>=且(尤>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d

X

(O,C)=3.

(3)函数y=7-5x+7(%20)的图象如图③所示，。是图象上一点，求d(。，D)的

最小值及对应的点D的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿方向到

某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适

当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】15：综合题；23：新定义；535：二次函数图象及其性质.

【分析】(1)①根据定义可求出d(。，A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②由两点间距离：

d(A,B)=ki-X2\+\yi-yzl及点B是函数y=-2x+4的图象上的一点，可得出方程组，

解方程组即可求出点B的坐标；

(2)由条件知x>0,根据题意得x+3=3,整理得，-3x+4=0,由△<()可证得该函数

X

的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)根据条件可得|x|+|，-5x+7],去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

(4)以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的

图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E,过点E

作EHJLMN,垂足为“，修建方案是：先沿方向修建到H处，再沿"E方向修建到

E处,可由d(。，P)(O,E)证明结论即可.

【解答】解：(1)①由题意得：d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②设y),由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3,

；・x+y=3,

./x+y=3

"[y=-2x+4

解得：fx=l,

1尸2

：.B(1,2),

故答案为：3,(1,2)；

(2)假设函数广&(x>0)的图象上存在点C(尤，>)使d(。，C)=3,

X

根据题意，得|工-0|+|二3，

Vx>0,

[,旦>0，|x-0|+|里-0|二x+&，

XXX

x-H^-=3,

x

2

+4=3x,

.2

..x-3x+4=0,

A=Z?2-4ac=-7<0,

方程x?-3x+4=0没有实数根，

,该函数的图象上不存在点C,使d(。，C)=3.

(3)设。(x,y),

木艮据题意得，d(。，D)=|尤-0|+|x2-5.X+7-0\=\x\+\x-5x+7|,

X2-5X+7=(X£)2+y^>0,

又x\0,

.,.dCO,D)—|x|+|x2-5x+7|=_r+/-5x+7=，-4x+7=(x-2)2+3,

当尤=2时，d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).

(4)如图，以“为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=

-x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,

设交点为E,过点E作垂足为H,修建方案是：先沿MN方向修建到H处，

再沿HE方向修建到E处.

理由：设过点E的直线人与无轴相交于点尸.在景观湖边界所在曲线上任取一点尸，过

V

■小

点尸作直线/2〃/1，，2与X轴相交于点G.

VZEFH=45°,

：.EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF,

同理d(O,P)=0G,

'：OG^OF,

：.d(O,P)*(<9,E),

上述方案修建的道路最短.

【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程(组)，二次函数的

性质等.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（机+"）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.倒数

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，（a=0）,就说。（aWO）的倒数是上.

aa

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：。没有倒数.

3.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aXIO",其中lWa<10,

w为正整数.1

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

4.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“〃；”，负的平方根表示为“-4”.

正数。的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

5.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数尤的平方等于a,即彳2=小那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

6.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果/=a,那么x叫做a的立方根.记作：圾.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号。3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，

0的立方根是0.

7.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数。

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

8.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

9.塞的乘方与积的乘方

（1）事的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（/'）n=amn（m,〃是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

10.多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加.

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式,

在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

11.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a-Z>2=（.a+b）（a-b）；

完全平方公式：a2+lab+b2—（。±6）2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符

号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）

的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

12.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

例如：①返；viWb

VaaVa+VbWa+VbJWa-b

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为

有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如：血-畲的有理化因式可以是y+旧，也可以是。（&+丁5），这里的。可以是任意

有理数.

13.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面

的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

14.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这4,尤2是一元二次方程a/+bx+c

=0QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

22

ax\+bxi+c-Qax2+bx2+c—0（aWO）.

15.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为。，十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是°,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为。（1+尤）；第二次增长后为。（1+尤）2,即原数义（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹!J：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

16.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

17.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>Q,y随尤的增大而增大，函数从左到右上升；k<0,y随尤的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于y=fcr+b与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当b<0时，（0,6）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

18.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数>=丘+6的值大于（或小于）。的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式履+b>0（或<0）

对应一次函数尸质它与轴交点为（-（

+6,x,0).

当时，不等式丘的解为：尤>&_,：

4>0+6>0