人教版八年级数学上册第十一章三角形教学设计

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

学习目标：

1.认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形.

2.掌握三角形三边的关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明.

3.了解三角形按边分类的原则和结论.

重点：理解三角形三边之间的不等关系.

难点：运用三角形三边之间的不等关系解题.

教学过程

一、知识链接

在下面画一个三角形，观察回忆你所学过或知道的三角形的有关知识，并写出来.

二、新知预习

1.根据小学认识的三角形判断，是三角形在括号内打“J”，不是三角形在括号内打“x”.

zAAzS_幺一

（）（）（）（）（）

2.自主归纳：A

（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾____相连所组成峋形.

（2）三角形的构成：如图，/\

边：条,分别为线段、、；/一3

顶点：一个，点A、B、C为三角形的三个顶点；B

角：___个，分别为NA、NB、NC.NA,NB,NC是相邻两边组成

的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A,B,C的三角形记作：2,读作：.

3.三角形按角分类，可以分为三角形，三角形和三角形.

三、自学自测

如图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

有个三角形，分别记作:

四、我的疑惑

课堂检测

一、要点探究

探究点1:三角形的相关概念

找一找：

(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

(2)以为边的三角形有哪些？

(3)以£为顶点的三角形有哪些？

(4)以N〃为角的三角形有哪些？

(5)说出△腼的三个角和三个顶点所对的边.

方法总结：数三角形的个数时，抓住不在同一条直线上的三个点能组成一个三角形；再按字母的

顺序去数.

问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？

问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？观察图形回答下面各小题.

nA△

(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么？

(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形？

(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？

三角形按角分类：

三角形

三角形按边分类:

三角形

探究点3：三角形的三边关系

1.做一做：

在［点的小狗，为了尽快吃到6点的香肠，它选择月一夕路线，而不选择路线，难

道小狗也懂数学？

C

答：理由是.

2.议一议：

(1)在同一个三角形中，任意两边之和与第三边有什么大小关系？

(2)在同一个三角形中，任意两边之差与第三边有什么大小关系？

(3)三角形三边有怎样的不等关系？

归纳总结：

三角形两边的和第三边.

三角形两边的差______第三边.

典例精析

例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？

(1)3cm、8cm、4cm；(2)5cm、6cm、11cm；(3)5cm、6cm、10cm.

方法总结：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即

可.

针对训练

一根木棒长为7,另一根木棒长为2,那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为

11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？

例2：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

方法总结：等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确时，需要分类讨论，再检

验是否符合三边关系.

二、课堂小结

三角形的定义图形基本要素表示方法分类三边的关系

由不在同一直边△ABC（1）按角分类1.三角形任意

线上的三条线内角（2）按边分类两边之和大于

段首尾顺次相顶点第三边；

AB

接所组成的图2.三角形任意

形叫做三角形两边之差小于

第三边.

课堂检测

1.图中锐角三角形的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可

取（）

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

3.如图，在△/四中，N6E4的对边是

4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这个三角形的周长为

5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数，求第三边的长.

拓展提升

6.已知:a、b、c为三角形的三边长,化简:|b+c-a|+1b-c-a|Tc-a-b|Ta-b+c|.

11.2.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和

学习目标：1.掌握三角形的内角和定理.

2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.

3,能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.

重点：三角形的内角和定理.

难点：三角形的内角和定理的推导过程.

教学过程

一、知识链接

1.三角形按照角的大小分类，可以分为、、.

2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.

二、新知预习

1.如图，在AABC中，ZA+ZB+ZC=

2.在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为，与其形状、大小

（填“有关”或“无关”）.

三、自学自测

在AABC中，若NA=35。,ZB=65°，则NC=,

三角形形状每个内角的度数三个内角的和

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

四、我的疑惑

课堂探究

二、要点探究

探究点1：三角形内角和定理的证明

活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.

三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.

问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能

发现证明的思路吗？

已知：如图，△ABC.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证法1:过点A作1〃BC,

证法2：延长BC到D,过点C作CE〃BA,

证法3：过BC上一点D作DE〃AC,作DF〃AB.

A

BDC

思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？

要点归纳：借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.

三角形的内角和为_______.

探究点2：三角形内角和定理的应用

例1如图，在AABC中，ZBAC=40°,ZB=75°,AD是AABC的角平分线，求NADB的度

数.

X

AB

【变式题】如图，CD是NACB的平分线，DE〃BC,NA=50°,NB=70°,求NEDC,ZBDC

的度数.A

2^

BL-------

例2如图，4ABC中，D在BC的延长线上,过D作DE_LAB于E,交AC于F.已知NA=30°,

ZFCD=80°,求ND.

BCD

总结归纳：基本图形

AcB公C

由三角形的内角和定理易得Nl+N2=/3+N4.

由三角形的内角和定理易得NA+NB=NC+ND.

例3在AABC中，ZA的度数是NB的度数的3倍，ZC比NB大15°,求NA,ZB,ZC

的度数.

【变式题】如图，在△ABC中，ZA=-ZB=-ZACB,CD是aABC的高，CE是NACB的平分

23

线，求NDCE的度数.

针对训练

1.在ZXABC中,ZA=35°,ZB=430,则NC=

2.在Z\ABC中,ZA：ZB：ZC=1：2：3,则aABC是三角形.

3.在Z\ABC中,ZA=ZB+10°,ZC=ZA+10°,则NA=,ZB=______,ZC=

三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.

例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的

北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角NABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角NACB

是多少度？

【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40。方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛

的北偏东80°方向，求从C岛看A,B两岛的视角NACB的度数.

二、课堂小结

三角形的内角和为180°.

课堂检测

1.求出下列各图中的x值.

3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，NA+NADE=180°,ZB=78°,ZC=60°,求NEDC的

度数.

BC

4.如图，在aABC中，ZB=42°,ZC=78°,AD平分NBAC.求NADC的度数.

拓展提升

5.如图，在aABC中，BP平分NABC,CP平分NACB.NA=60°,求NBPC的度数.

(2)你能直接写出NBPC与NA之间的数量关系吗？

11.2.2三角形的外角

学习目标：1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出外角.

2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和.

3.会运用三角形的外角的性质及外角和定理解决问题.

重点：三角形的外角的性质和三角形外角和.

难点：利用三角形的外角性质解决有关问题.

教学过程

一、知识链接

1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？

2.在AABC中，ZA=80°,NB=52°，则NC=.

二、新知预习

1.如图，在aABC中，ZA=70°,ZB=60°，则NACB=，从而NACD=

2.自主归纳：

(1)三角形的外角概念：如图，把4ABC的一边BC延长，得到NACD,像这样,

三角形的一边与另一边的组成的角，叫作三角形的外角.

(2)三角形外角的性质：如图，ZA+ZB+ZACB=________°,ZACB+Z

ACD=________°,

所以ZA+ZB=________.即三角形的外角等于与它的两个内角的和.

三、自学自测

1.如图，NAEB是_____的外角，NAFB是的外角.

第1题图第2题图

2.如图，NACD是AABC的外角，若NACD=120°,NA=80°,则NB=

四、我的疑惑

课堂探究

三、要点探究

探究点1:三角形的外角的概念

问题1如图，延长AC到E,NBCE是不是AABC的一个外角？NDCE是不是AABC

的一个外角？

问题2如上图，NACD与NBCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外

角？

【画一画】画出AABC的所有外角，共有几个呢？

【总结归纳】三角形的外角应具备的条件:

①角的顶点是三角形的顶点；

②角的一边是三角形的一边；

③另一边是三角形中一边的延长线.

A

NACD是AABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角.

【练一练】如图，/BEC是哪个三角形的外角？ZAEC是哪个三角形的外角？Z

EFD是哪个三角形的外角？

探究点2：三角形外角的性质

问题1：如图，AABC的外角NBCD与其相邻的内角NACB有什么关系？

问题2：如图，4ABC的外角NBCD与其不相邻的两内角（NA,NB）有什么关系？

【验证结论】已知：如图，Z^ABC,求证：ZACD=ZA+ZB.

证明：过C作CE平行于AB,

要点归纳：三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.

【练一练】说出下列图形中N1和N2的度数:

典例精析

例1如图，ZA=42°,ZABD=28°,ZACE=18°,求NBFC的度数.

例2如图，P为aABC内一点，ZBPC=150°,ZABP=20°,ZACP=30°,求

NA的度数.（提示：延长BP交AC于点E）

【变式题】（一题多解）如图，ZA=51°,ZB=20°,ZC=30°,求NBDC的度

数.（提示：连接AD）

方法总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思

想，把未知角与已知角联系起来求解.

【拓展探究】U）如图①，试比较N2、N1的大小；

（2）如图②，试比较N3、N2、N1的大小.（提示：利用三角形的外角性质）

1?

图①图②

方法总结：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角.

探究点3：三角形的外角和

典例精析

例3如图，ZBAE,ZCBF,NACD是AABC的三个外角，它们的和是多少？

解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

NBAE=Z2+Z3,ZCBF=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2.

解法二：如图，ZBAE+Z1=18O°,ZCBF+Z2=180°,ZACD+Z3=180

解法三：如图，过A作AN平行于BC.

要点归纳：三角形的外角和等于360°.

二、课堂小结

定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做基本图形

三角形的外角.如NCBD为4ABC的一个外角.

A

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

性质如NCBD=NA+NC.

拓展：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个

内角.如：ZCBD>ZA,ZCBD>ZC.

三角形的外角和等于360°.

课堂检测

1.判断下列命题的对错.

(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.()

(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍.()

(3)三角形的一个外角等于两个内角的和.()

(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(；)

(5)三角形的一个外角大于任何一个内角.()

(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.()

2.如图，AB//CD,ZA=37°,ZC=63°,那么NF等于()

A.26°B.63°C.37°D.60°

AEB

CD

3.(1)如图，NBDC是的外角，也是的外角；

(2)若NB=45°,ZBAE=36°,ZBCE=20°，试求NAEC的度数.

4.如图，D是AABC的BC边上一点，NB=NBAD,ZADC=80°,ZBAC=70°,求:

(1)ZB的度数；(2)NC的度数.

拓展提升

5.如图，求NA+ZB+ZC+ZD+NE的度数.

6.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=,

D

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

学习目标：1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.

2.掌握正多边形的概念.

3.会求多边形的对角线的条数.

重点：多边形、正多边形的定义及相关概念.

难点：会求多边形的对角线的条数.

教学过程

一、知识链接

1.什么是三角形？

2.观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？

二、新知预习

自主归纳：

(1)多边形的概念：类比三角形的概念，在平面内，由一些线段相接组

成的封闭图形叫做.

(2)多边形的有关概念：①多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、

五边形三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那

么这个多边形就叫做.

②多边形两边组成的角叫做它的内角，如图，NA,NB,NC,ND,NE是五

边形ABCDE的5个内角，多边形的边与它的邻边组成的角叫做

多边形的外角.连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，

线段是五边形ABCDE的对角线.画出多边形的任意一条边所在的直线，

如果整个多边形都在这条直线的，那么这个多边形就是凸多边形.

③各个角都,各边都的多边形叫做正多边形.

三、我的疑惑

课堂探究

四、要点探究

探究点1:多边形的定义及相关概念

问题1什么是三角形？

问题2观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？

思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样

命名多边形呢？

问题3根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、

外角.

问题4请分别画出下列两个图形各边所在的直线你能得到什么结论？

方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：（1）

画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；（2）每个内角

的度数均小于180。.通常所说的多边形指凸多边形.

典例精析

例1凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形

说明.

方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不

变或减少了一条.

探究点2：多边形的对角线

请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数:

△OOOO…

三角形四边形五边形六边形八边形

多边形三角形四边形五边形六边形八边形n边形

从同一顶点

引出的对角

线的条数

分割出的三

角形的个数

要点归纳:

从n(n13)边形的一个顶点可以作出条对角线.将多边形分成个

三角形.

例2过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三

角形的个数的和为21,求这个多边形的边数.

针对训练

画一画：画出下列多边形的全部对角线.

探究点3：正多边形

想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？

（四个角都相等）

方法总结：判断一个多边形是不是正多边形，只需看各边都相等、各角都相等这

两个条件是否同时具备.

内容图例

定义在平面内，由一些线段_______相接组成内角：多边形相邻两边组成的角

的封闭图形叫做多边形.内、外角的概念

如图所示.角：多边形的

、力/\\/边K与它的邻边的

对角线连接多边形__________的两个顶点的线0-----6延长线组成的角.

段，叫做多边形的对角线.

正多边形各个角都_________,各边都

___________的多边形叫做正多边形.

二、课堂小结

课堂检测

1.下列多边形中，不是凸多边形的是（）

2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这

张纸片原来的形状不可能是（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

3.九边形的对角线有（）

A.25条B.31条C.27条D.30条

4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是

______边形，

5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成个三角形.

11.3.2多边形的内角和

学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式:

2.学会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题.

重点：多边形的内角和与外角和公式.

难点：多边形的内角和公式的推导.

教学过程

一、知识链接

1.三角形的内角和是多少？

2.正方形，长方形的内角和是多少？

五、要点探究

探究点1:多边形的内角和

问题1三角形内角和是多少度？

问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？

问题3猜想任意四边形的内角和是多少度？

猜想：四边形ABCD的内角和是360°.

问题4你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？

证法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形,

证法2：如图，在CD边上任取一点E,连接AE,DE,

所以该四边形被分成三个三角形,

证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE,

把四边形分成四个三角形.

证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD,将四边形变成有

一个公共顶点的四个三角形.

结论：四边形的内角和为

方法总结：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经

学了的三角形内角和求解.

【典例精析】

例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理

由.

【变式题】如图，在四边形ABCD中，NA与NC互补，BE平分NABC,DF平分N

ADC,若BE〃DF,求证：ZiDCF为直角三角形.

问题5你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和

吗？

由特殊到一般:

从多边

形的一分割出

多边形图形顶点引多边形内角和

出的公角形个

数

角线条

三角形

四边形

五边形

六边形

n边形

要点归纳：n边形的内角和等于.

【典例精析】

例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内

角都相等，则这个多边形的每个内角是多少度？

例3已知n边形的内角和0=(n-2)X180°.

(1)甲同学说，。能取360°；而乙同学说，。也能取630。.甲、乙的说法对

吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；

(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°,用列方程的方法确

定X.

【变式题】一个同学在进