2024-2025学年高中数学课时分层作业3排列的应用含解析北师大版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的三位偶数的个数是()A．120B．60C．52D．50C[若个位为0，则有Aeq\o\al(2,5)＝20个，若个位不为0，则有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)＝32个，∴共有52个三位偶数．]2．某老师一天上3个班的课，每班一节，假如一天共9节课，上午5节，下午4节，并且老师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位老师一天的课的全部排法有()A．474种 B．77种C．462种 D．79种A[首先不受限制时，从9节课中随意支配3节，有Aeq\o\al(3,9)＝504种排法，其中上午连排3节的有3Aeq\o\al(3,3)＝18种，下午连排3节的有2Aeq\o\al(3,3)＝12种，则这位老师一天的课程表的全部排法有504－18－12＝474种．]3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!C[利用“捆绑法”求解，满意题意的坐法种数为Aeq\o\al(3,3)·(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.故选C.]4．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最终一步，工序B和C在实施时必需相邻，则实施依次的编排方法共有()A．34种 B．48种C．96种 D．144种C[由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种依次)与其他3个工序全排列共有2Aeq\o\al(4,4)种编排方法．故实施依次的编排方法共有2×2Aeq\o\al(4,4)＝96(种)．故选C.]5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的肯定值等于8的有()A．98个 B．105个C．112个 D．210个D[当个位与百位数字为0,8时，有Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)个；当个位与百位数字为1,9时，有Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)个，共Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)＝210(个)．]二、填空题6．六个停车位置，有3辆汽车须要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．24[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(种)．]7．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券安排给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．60[分状况：一种状况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为Aeq\o\al(3,4)＝24，则获奖状况总共有36＋24＝60(种)．]8．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机打算着舰．假如甲、乙两机必需相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．24[把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有Aeq\o\al(2,3)种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.]三、解答题9.在由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，求十位数与千位数之差的肯定值等于7的四位数的个数.[解]由题意知，随意两个数字之差的肯定值等于7的状况有3类：0与7,1与8,2与9.分3种状况探讨：①当十位数与千位数分别为0,7时，有Aeq\o\al(2,8)个四位数；②当十位数与千位数为1,8时，有Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)个四位数；③当十位数与千位数为2,9时，有Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)个四位数．所以共有Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,8)·Aeq\o\al(2,2)＝280(个)符合题意的四位数．10．从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[解]设a、b、c∈N＋且a、b、c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类：(1)第一、三个数都是偶数，有Aeq\o\al(2,10)种选法；(2)第一、三个数都是奇数，有Aeq\o\al(2,10)种选法；于是，选出3个数成等差数列的个数为Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(个)．[实力提升练]1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为()A．43 B．72C．863 D．90B[在1,2,3，…，8中任取两个作为a和b，共有Aeq\o\al(2,8)＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,8)＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满意条件的椭圆的个数为56＋16＝72.]2．某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天支配1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被支配在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的支配方案共有()A．504种 B．960种C．1108种 D．1008种D[由题意知，满意甲、乙两人被支配在相邻两天值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440(种)，其中满意甲、乙两人被支配在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(种)，满意甲、乙两人被支配在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(种)，满意甲、乙两人支配在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(种)．因此满意题意的方案共有1440－2×240＋48＝1008(种)．]3．6人排成一排照像，其中甲、乙两人中间恰有一人的排法总数是________．192[甲乙排序有Aeq\o\al(2,2)种，从其余4人中选一人站在甲乙之间有4种选法，再将这三人看作一个元素与其余3人排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，所以共有4Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝192(种)排法．]4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)40[可分三步来做这件事：第一步，先将3,5排列，共有Aeq\o\al(2,2)种排法；其次步，再将4,6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)种排法；第三步，将1,2放到3,5,4,6形成的空中，共有Aeq\o\al(1,5)种排法；由分步计数原理得共有Aeq\o\al(2,2)·2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,5)＝40种．]5．用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数肯定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的依次排列．[解](1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440个．(2)先把偶数排在奇数位上有Aeq\o\al(3,4)种排法，再排奇数有Aeq\o\al(4,4)种排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576个．(3)在1和2之间放一个奇数有Aeq\o\al(1,