2022-2023学年福建省宁德市福安市阳光国际集团福建区域联考高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省宁德市福安市阳光国际集团福建区域联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.复数(为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为.故选：A.2.已知向量，则（）A.(4，3) B.(5，1)C.(5，3) D.(7，8)〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形的面积为．故选：D.4.若，其中i是虚数单位，则（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由题设，故，所以.故选：B.5.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（）A. B. C.20 D.21〖答案〗A〖解析〗由棱台几何特征可得其高为：，则其体积为：.故选：A.6.在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知D是BC上靠近点C的三等分点，所以，又E为AD中点，所以，所以.故选：C.7.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的母线长为，因为圆锥侧面积（单位：）为，所以，解得，所以侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则，解得，所以这个圆锥的底面半径是.故选：B.8.正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，面积最小的截面是以为直径的截面，将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，设，则正方体棱长为，故，可求得，进而截面面积的最小值为．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.|z|=C.z的虚部是i D.z的实部是1〖答案〗ABD〖解析〗实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确；对于B，|z|=，故B正确；对于C，z的虚部是1，故C错误；对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10.已知向量，，（），则下列命题正确的是（）A.若，则B.存在，使得C.与共线的单位向量只有一个为D.若在上的投影向量为，则向量与夹角为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则，，，故A正确；对于B，由，，得，，若，则，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故为或，故C错误；对于D，在上的投影向量为，所以，则，又因为，所以，即向量与夹角为，故D正确.故选：ABD.11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为〖答案〗CD〖解析〗因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；，，，D正确．故选：CD．12.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（）A.球与圆柱的体积之比为B.四面体CDEF的体积的取值范围为C.平面DEF截得球的截面面积最小值为D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，四面体CDEF的体积，B错误；对于C，过作于，如图，而，则，又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，因此，，则，令，则，而，即，因此，解得，所以的取值范围为，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.方程的复数根是__________.〖答案〗〖解析〗由题意得方程即，故，故的复数根是.故〖答案〗为：.14.如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝________m．〖答案〗500〖解析〗在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m，在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝1000m，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高MN＝500．故〖答案〗为：500．15.已知复数z满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，因为，所以，解得，则，则，所以当时，取得最小值为.故〖答案〗为：.16.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，如图：则长方体的外接球即为四面体的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，设长方体的长宽高分别为，则有，，，所以，所以外接球的表面积为.故〖答案〗：.四、解答题：本题共6小题，17题满分10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，.（1）若是实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.解：（1），且是实数，，解得或.（2）是纯虚数，，解得.（3）在复平面内对应的点在第四象限，，解得.18.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积.解：（1）设底面圆的直径为2r，由题可知，圆柱的体积，解得，即圆柱的底面半径为1.（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，由正弦定理，边长，所以三棱柱的体积.19.在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，且，求边AC上的高．解：（1）由正弦定理及，有，即，所以，又因，所以，因为，所以，又，所以．（2）在中，由余弦定理可得，又，所以有，即，所以的面积为，所以AC边上的高为.20.已知内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，，求边及的面积；（3）在（2）的条件下，求的值.解：（1）因为向量，，且，所以，由正弦定理得，又，则，显然，则，又，所以.（2）由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面积.（3）由正弦定理得，即，解得，因为，故角为锐角，故，，，.21.如图，在中，为边上一点，且．（1）设，求实数、的值；（2）若，求的值；（3）设点满足，求证：．解：（1）因为，所以，所以，所以.（2）.（3）因为，所以，因为，，，，所以，，所以，即，得证.22.请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，（1）求角B的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.解：（1）若选①，因为，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以.若选②，由，化简得，由正弦定理得：，即，所以，因为，所以.若选③，由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以.（2）在中，由正弦定理，得，，由（1）知：，又с=1代入上式得：，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，，所以.福建省宁德市福安市阳光国际集团福建区域联考2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.复数(为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为.故选：A.2.已知向量，则（）A.(4，3) B.(5，1)C.(5，3) D.(7，8)〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形的面积为．故选：D.4.若，其中i是虚数单位，则（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由题设，故，所以.故选：B.5.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（）A. B. C.20 D.21〖答案〗A〖解析〗由棱台几何特征可得其高为：，则其体积为：.故选：A.6.在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知D是BC上靠近点C的三等分点，所以，又E为AD中点，所以，所以.故选：C.7.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的母线长为，因为圆锥侧面积（单位：）为，所以，解得，所以侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则，解得，所以这个圆锥的底面半径是.故选：B.8.正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，面积最小的截面是以为直径的截面，将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，设，则正方体棱长为，故，可求得，进而截面面积的最小值为．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.|z|=C.z的虚部是i D.z的实部是1〖答案〗ABD〖解析〗实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确；对于B，|z|=，故B正确；对于C，z的虚部是1，故C错误；对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10.已知向量，，（），则下列命题正确的是（）A.若，则B.存在，使得C.与共线的单位向量只有一个为D.若在上的投影向量为，则向量与夹角为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则，，，故A正确；对于B，由，，得，，若，则，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故为或，故C错误；对于D，在上的投影向量为，所以，则，又因为，所以，即向量与夹角为，故D正确.故选：ABD.11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为〖答案〗CD〖解析〗因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；，，，D正确．故选：CD．12.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（）A.球与圆柱的体积之比为B.四面体CDEF的体积的取值范围为C.平面DEF截得球的截面面积最小值为D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，四面体CDEF的体积，B错误；对于C，过作于，如图，而，则，又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，因此，，则，令，则，而，即，因此，解得，所以的取值范围为，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.方程的复数根是__________.〖答案〗〖解析〗由题意得方程即，故，故的复数根是.故〖答案〗为：.14.如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝________m．〖答案〗500〖解析〗在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m，在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝1000m，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高MN＝500．故〖答案〗为：500．15.已知复数z满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设，因为，所以，解得，则，则，所以当时，取得最小值为.故〖答案〗为：.16.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，如图：则长方体的外接球即为四面体的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，设长方体的长宽高分别为，则有，，，所以，所以外接球的表面积为.故〖答案〗：.四、解答题：本题共6小题，17题满分10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，.（1）若是实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.解：（1），且是实数，，解得或.（2）是纯虚数，，解得.（3）在复平面内对应的点在第四象限，，解得.18.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积.解：（1）设底面