2022-2023学年广东省潮州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年广东省潮州市成考专升本数

学（理）自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

用0,1,2,3这四个数字，组成的没有重复数字的四位数共有（）

A.24个B.18个C.12个D.10个

2.已知集合M={l,-2,3}N={-4,5,6,-7}从这两个集合中各取一个元素作为

一个点的直角坐标，其中在第一。二象限内不同的点的个数是（）

A.18B.16C.14D.10

3.已知平面明氏7两两垂直，它们三条交线的公共点为O,过O弓I-条

射线OP,若OP与三条交线中的两条所成的角都是60。，则OP与第三

条交线所成的角为0

A.30°B.45°C.60°D.不确定

用0,1,2,3这四个数字,组成的没有重复数字的四位数共有（）

（A）24个'（B）18个

4（C）12个（D）10个

直线I过定点（1,3）,且与两坐标轴正向所围成的三角形面积等于6,则/的方程是

（）

(A)3x-y=0(B)3x♦y=6

5(C)x♦3y=10(D)y=3-3w

(8)直线工+2y+3=0经过

(A)第一、二、三象限(B)第二、三、四象限

a(C)第一、二、四象限(D)第一、三、四象限

O.

7.在等比数列｛aj中，若a4a5=6,贝a2a3a6a7=()

A.12B.36C.24D.72

8.过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=5B.3x-2y=0C.2x-3y=0或x+y=5D.x+y=5或3x-2y=0

9.一个圆柱的轴截面面积为Q,那么它的侧面积是()

A.l/27iQB.7iQC.27iQD.以上都不对

10.设角a=3,则()

A.A.sina>-0,cosa>0

B.sina<0,cosa>0

C.sina>0,cosa<0

D.sina<0,cosa<0

下列各选项中，正确的是

(A)y=x+sinx是偶函数

(B)y=x♦sinx是奇函数

(C)y=IxI+sinx是偶函数

[2(D)y=IxI+sinx是奇函数

13.棱长等于1的正方体内接于一球体中，则该球的表面积是()

A.A.67t

B.

C.3兀

D.97T

产=2"，

14.关于参数t>=2〃的方程的图形是

A.圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆

(9)若。为第一象限角，且sin”cos^=0,则sinG+cos6=

(B)g

(A)&

(潸(D)¥

15.

16.16,抛物线』=2px(/>>0)的焦点到准线的距离

A.A.p/4B.p/2C.PD.2p

命西甲：以1>5,命题乙：N<-5,则()

(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件

(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件

(C)甲是乙的充分必要条件

17.D)甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件

18.如果球的大圆面积增为原来的4倍，则该球的体积就增为原来的

()

A.A.4倍B.8倍C.12倍D.16倍

(15)椭圆g»£=I与圆+?=2的公共点个数是

4y

19.(A)4(B；21C)I(0)0

20.有6名男生和4名女生，从中选出3名代表，要求代表中必须有女

生，则不同的选法的种数是()

A.100B.60C.80D.192

21.

下列四个命题中正确的是()

①已知a,6,c三条直线，其中a,b异面，a//c,则b,c异面.

②若a与b异面，b与C异面，则a与c异面.

③过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异

面直线.

④不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.

A.A.③④B.②③④C.①②③④D.①②

(9)下列各选审中.正•的是

(A)y»«♦sinx是偶函数(B)y-客♦sin”是奇曲数

(C)y=1*1♦是儡语数(D)y«lxl是奇・数

乙乙.

23.

设甲：二次不等式/+Ar+9>0的解集为空集合;乙:△=6-4QV0,则

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

24.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为

__函数y»的最小正周期是）

A.A.47TB.2兀C.兀D.TT/2

26.在AABC中，ZC=30°,则cosAcosB-sinAsinB值等于（）

A.A.1/2B.43/2C.-1/20K3/2

y=3sin。

27.函数'」的最小正周期是()o

A.8兀

B.4兀

C.2兀

2"

D户

Zg已叫，+：一”5式中存尸：系教的和为「512,那么”=()

A.A.10B.9C.8D.7

29.不等式l<|3x+4|W5的解集为()

A.-3<x<-5/3或-1<x<1/3

B.x>-3

C.-3<x<-5/3或-10x01/3

D.-3<x<-5/3或/<x&/3

30.^P={x|x2—4x+3<0},Q={x|x(x-1)>2},贝［|PCQ等于()

A.A.{x|x>3}

B.{x|-l<x<2}

C.{x|2<x<3}

D.{x|l<x<2}

二、填空题(20题)

31.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下(单位：h):

245256247255249260

则该样本的样本方差为(保留小数点后一位).

32.

(19)巳知球的半径为1.它的一个小圜的面帜是这个球我面机的!.则球心到这个小圆所在

0

的平面的距离是_________.

—log/(x+2)

34.函数27+3的定义域为

35.若三角形三边之比为2:3:4,则此三角形的最小角为弧度.

36.圆心在y轴上，且与直线x+y-3=0及x-y-l=O都相切的圆的方程为

_/I。中上+2)

37.函数一的定义域是____________1

设离散里随机变量f的分布列为上工1月,则E(Q=________

38.

39.设/(N十】)="+2行+1,则函数烬)=,

的女*和虚部相等

41.

函数y=sinxcoar+6cos'H的最小正周期等于,

42.已知随机变量自的分布列是:

之012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝！IE^=________

43.设离散型随机变量f的分布列如下表所示，那么，的期望等于.

10090V)

P0.20.50.3

44.函数y=sinx+cosx的导数y'

45.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

46.平移坐标轴,把原点移到O,(-3,2)则曲线'+6Ky+ll=O,

在新坐标系中的方程为

47.・tan(arctanJ+arctan3)的值等于・

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

48.则四张贺年K不同的分配方式有_____种.

巳知，那么22

tana-cola=1tana+cota=»tana—cota=

49.

1I厂IQ

-.A5k<aV?”,且Icosal=m，则cos”

50.已知2n口I-值等于

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分13分）

巳知函数/U）=工-2万.

（I）求函数y=八*）的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

（2）求函数y=/（x）在区间［0.4］上的JR大值和最小值.

52.

（本小题满分13分）

2sin佻oM+-

设函数/⑻=7M+3,八〔°，」】

⑴求/（孙

（2）求的最小值.

53.

（本小题满分12分）

已知函数=X3-3?+皿在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

54.

（本小题满分12分）

△A8c中，已知a1+c1-is=%且logtsinA+lo&sinC=-1，面积为acm'，求它二

出的长和三个角的度数・

55.（本小题满分12分）

已知入,吊是椭圆怒+\=1的两个焦点,尸为椭圆上一点,且4F,/，吊=30。,求

△尸K三的面积.

56.

（本小题满分12分）

已知等比数列｛an｝的各项都是正数，«1=2,前3项和为14.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

57.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

58.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求4的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中，102为第几项?

59.

(本小题满分12分)

已知等差数列Ia.I中,%=9,%+“，=0.

(1)求数列|册1的通项公式•

(2)当n为何值时,数列！aj的前n页和S.取得最大值，并求出该最大值.

60.

(本小题满分12分)

已知椭圆的离心率为(且该椭例与双曲线》八1焦点相同•求椭圆的标准

和淮线方程.

四、解答题(10题)

61.

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2--3x-2=0的根，求这个三角形周长

的最小值.

62.正三棱柱ABC-A，B，C,底面边长为a,侧棱长为h

(I)求点A到4A^BC所在平面的距离d;

(H)在满足d=I的上述正三棱柱中，求侧面积的最小值.

已知梅I3C：0+4=1(。＞6＞0)的离心率为且2#,b'成等比数列.

a1b22

(I)求C的方程：

(II)设C上一点P的横坐标为L月、片为C的左、右焦点，求△尸耳弓的面枳.

设两个二次函数的图像关于直线x=1对称，其中一个函数的表达式为＞=/+2»-

求另一个函数的表达式

65.

已知等差数列(a.)中.由=9.小+供-0,

(I)求数列｛a.)的通项公式；

CII)当n为何值时，数列＜/＞的前n项和S.取得最大值.并求出该最大值.

66.如图：在三棱柱P-ABC中，侧面PAC_L底面ABC,

PA=BC=a,PC=AB=2a,ZAPC=60°,D为AC的中点

⑴求证：PA±AB

⑵求二面角P-BD-A的大小

⑶求点A到平面PBD的距离

67.(23)(本小■清分12分)

如图,已知正三帔传P-48c中,△/M8为等边三角形,£/分别为PA.PB的中点.

(I)求述PCJ.EF；

(II)求三校倭P-EFC与三核僮P-ABC体机的比值.

68.

(本小题满分13分)

已知椭圆C的长轴长为4,两焦点分别为Fi(-三，0),FM月，0)o

⑴求C的标准方程；

(2)若P为C上一点,|PFI|-|PF2|=2,求COSNF1PF2。

69.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边

形所在平面M的垂线，且PA=a求：

(I)点P至lJAB、BC、CD各边的距离;

(II)PD与平面M所成的角.

70.

•r*J

已知双曲线1-左=1的两个焦点为F：.B.点p在双曲线上,若PF」PB.求:

(1)点「到/轴的距离；

cn)APF.F1的面积.

五、单选题(2题)

71已知一■f'VjrVO,且sinx+cos工5^.则cos2x的值为

A.-7/25B.7/25C.-7/25或7/25D.12/25

一个正三棱馋，高为1，底面三角形边长为3,则这个正三极维的体积为

(A)—(B)G(C)毋<D)3后

72.4

六、单选题(1题)

73.

已知椭圆色+白=】和双曲线若一若=】有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为

A.、Jx/4

B.-3X/4

CM；X/2

D.y=±.x/4

参考答案

l.B

2.C

⑴因为第一象限的点的坐标为x>0,y<0

从<1，一2,3｝的1、3中取1个，

有C种.

••只能

从（-4,5・6,—7｝的5、6中取］个,

有Q种，

数再全排列，

共有C•G•P：=2X2X2=8（种）.

⑵第二象限的点的坐标应满足x<0,y>0

从M中取一2作横坐标।

卜》有2种.

从N中取5、6作纵坐标］

从N中取一4、一7作模坐标）

2=2X2=4.

从河中取1、3作协坐标J

共有8+2+4=14.

3.B将a、0、丫看成是长方体中有公共点的三个面，OP看成是长方体

的对角线.

4.B

5.B

6.B

7.Ba2a3a6a7=a2a7・a3a6=(a4a5)2=36.

8.D

如图，

三十2=1,把点P（2,3）代入得

aa

23

求在两条坐标轴上截距相等的方程下.

设截距式方程为在x轴，y轴上截距为0又因为直线过点（2,3）所以

直线x+y=5和直线3x-2y=0都为过点P（2,3）且在两条坐标轴上截距相

等的直线方程.

9.B

设圆柱底面圆半径为r,高为h.由已知2rh=Q,则S根!|=C低

h=2nrh=nQ.

10.C

角a=3=-③乂18。*417「54'为第二象限角,sinaA）.cosYO.（答案为C）

It

ll.D

12.B

13.C

正方体的大对角线即为内接球的臣径,得半径「=坐.则球的表面积为

S=4/=4nX修）=3孤（答案为C）

14.C

工=2”（D

<,

y=2〃②

专=上>丁=2"

由参数方程知为抛物线，可用消参法去参数t。y2P为顶

在原点的抛物线。

15.A

16.C

17.B

18.B

,•'为颇来的4倍.t■径r增大为摩米的2倍.

V球7K.故体枳增大为8倍.（林拿B）

19.D

20.A

21.A

①b与c可相交，②a与C可以有平行、相交、异面三种位置关

系.（答案为A）

22.B

23.D

由于二次不等式V+/r+g>0的解集为空集合=△="-4qV。，则甲是乙的充分必要条

件,（等案为D）

24.B

选项A中.专+管=1.在上、）轴

上裁能为5,但答蜜不完整，

•.•连qB中有两个方程•才在工轴上横载

，巨与y轴上的姒微距都为0,也是相等的.

选项C.虽然过点（2,3）,实质上与选项A相同.

选项D.转化为答案不完整.

25.D

26.D

27.A

该小题主要考查的知识点为最小正周期.

丁=斗=8x.

【考试指导】了

28.B

29.D

(1)若3x+4>0.原不等式1<31+

—1

9）若31+4<0,原不等式1<一（3工+4）&5=>

-3（zV—

0

30.C

31.

7-252,，=28.7（使用科学计算器计算）.（卷案为28.7）

32.网享

33.

・(么

△ABC中.0<AV18Q.,sinA：>OsinAyrcoskJl

1

由正弦定理可知A8=与鬻：_1X4115012.用f丝

sinAyjo2♦1符茶为2)

10

34.

【答案】〈川一2Vx1,11r^-y)

log+《”+2)>041

-2

<x+2>0

3V

,2M+3KO[xK-亍

=>—2V«r&-1.111#一,

</!og1《工十2》

所以国致厂V2；+3的定义域是

(x|-2<xC~1•JL4).

35.arccos7/8设三边分别为2h、3h、4h（如图），由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,/.cosa=7/8,即a=arccos7/8.

设的方机为（工+（、一»,）'=/J如留）

网心为

|0+*71_

/r+v/产+(-1)「

I”-3|・|->—1|=*加—1,

|0-H-3|_|-2|_2

/FTT-MMw

36.x2+(y-l)2=2•'，”

且xA3/2}

log>(x+2)>0]0Vi+2&l

--2Q

x+2>0=><3=>-2〈工《一1,且hW-•

2H+3#0产中一"F

yiog|(x+2)

所以函数y—

2工+3~~的定义域是｛工|-2〈工*-1,且

38.

E(^)=(—DX—+0X弟答案哺）

1Z12

39.

<.+1・，.附10，一1・将它的代入人工+1）・*+2々十1+•借

/（，）-，-1+2/二1+1・，+2Ji—1・川/><*>■*+2/*-1.

40.

-3t1新：收发效药•卡为（♦-2）«（2««|-2«2»*1可樽e・-3.

41.

ynsinxcosr+VScoi^x3/8in2r+5ycos2x+^=xin（2r+—•\+g.

函数＞=»sinra»r+73cos*x的it小正周期为亨（答案为x）

42.

43.89E《）=100X0.2+90X0.5+80X0.3=89.

44.

cosx-sinx【解析】y=<cosx+sinxY"

一«inr4-ro«J*-co*J-sinJC.

45.

13

46.答案：x"=y，解析:

x*=j-hxZ=x+3

」即，.

y，=Iy~k\y-y-2

将曲线jr'+6j：-y+ll=0配1方.使之只含有

（l+3）、3-2）、常数三货.

即x,4-6x+9-（y-2）-9—2+11=0,

（工+3»=（厂2）,

即H"=Y'.

47.

9

48.

34

49.

_/if

50.答案：V2

注意cos片的正负.

5irVavS(aS第三象限角)，

•••芋V.V?*(玲£第二#■限角)

464'4'

故COS-y<0#

又*/IcosaI=m.；・cosa=-〃i・则

a__/1+cosa/]~M

COST一~V-2-V-'

51.

(1)/(工)=l-2令/(X)=0,解得工=1.当xe(04)./(x)<0;

当ww(l.+8)/(*)>0.

故函数，(工)在(0.1)是减函数,在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时4外取得极小值.

又，0)=0./(1)=-l./(4)=0.

故函数人*)在区间[0,4]上的最大值为0.最小值为-I.

52.

1+2Mn0cos6+；

由题已知JTO)=一:0;。2

sm0♦co9^

(sinfl4-cosd)2^―

sin0+co屹

令二=葡n&♦cos^,得

XS+4-,R

J

1A6)=----x+r-=[7x--^—]+2jx•

x23ty/2x

=3-

由此可求得4m=网4。）最小值为而

53.

f(x)=3x1-6x=3x(x-2)

令/(x)=0.得驻点xt=0,x,=2

当x<0时J(x)>0；

当。<w<2时/(x)<0

.•.x=0是的极大值点.极大值〃0)=«•

•..”0)=m也是最大值

*t•s5,Xy(-2)=m—20

J\2)=m-4

・・/(-2)=-15JX2)=1

二函数人工)在[-2,2]上的最小值为〃-2)=-15.

54.

24.解因为癖+J-•=oc,所以+；=；

。LQC.眩L

即co»8=},而8为&4BC内角，

所以B=60°.又log^aiiM+loj^sinC=-!所以siM•ainC="

My[co»(4-C)-cos(A->■€)]=^-.

所以CO8(4-C)-COS120°=^-,HPCC»(4-C)=0

所以A-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得A-105°,C»15°；<A=15°,C»105°.

因为SMC=：oAsinC=2R%iivl8inB!»inC

=2w•空瓦亨•约2先

所以所以R=2

所以a=2/?sirt4=2x2xsinl050=(后♦&)(cm)

b=2/isinB=2x2xsin600=2i/y(cm)

c=2R«inC=2x2xsin15°=(%一々)(cm)

或as(«/5(cm)6=24(cm)c=(J6(cm)

«.二中长分别为^)cm,2Qcm、(%・4)cm,它们的对角依次为:105\600.15°.

55.

由已知.慌圈的长轴长2a=20

设由椭圆的定义知,m+n=20①

又J=l00-64=36,c=6,所以K(-6.0),吊(6,0)且喝巴|=12

2ao3

在APF艮中,由余弦定理得m+«-2mnc(M30c12

"+/_Qmn=144②

2

w*42/WI+ns400.③

③-②,得(2♦万)mn=256.m/i=256(2-犷)

因此的面积为:mnstin30。=64(2-A)

56.

(I)设等比数列a.I的公比为小则2+2q+2『=14,

即g“+q-6=0.

所以卬=2,先=-3(舍去).

通项公式为。.二2二

B

(2也=1哝0.=Iog22=〃.

设A=4+4+…

=I+2+…+20

=yx20x(20+D=210.

57.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

58.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

Q-d,ata+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=『+(a-d)2.

a=4(/,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d=1.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(n)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

4=3+(n-l),

3+(几-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

59.

(1)设等比数列la」的公差为d,由已知%+。L0,得2.+W=0.

又巳知%=9,所以d=-2.

得数列Ia.I的通项公式为a.=9-2(n-1),即a.=11-2a

(2)出“la」的前n项和S.=g(9+ll-2n)=-n1+IOn=-(n-5)3+25,

则当n=5时.S.取得最大值为25.

60.

由已知可得椭圆焦点为F.(……3分

设椭圆的标准方程为三+营=1储>6>0),则

1+5,

,5总解叫；：2：…5分

,a3

所以椭圆的标准方程为=L……9分

椭质的准线方程为x=士"5,……12分

D

解设三角形三边分别为a,b,c且a+6=10,则6=10-a.

方程2^・3”-2:0可化为（24*1）（”-2）=0,所以航=--:2.

因为a、6的夹角为8,且ICW1,所以《>蚣=

由余弦定理.得

c=<1^+（10-a）'-2a（10~a）x（—）

=2a,+100—20a+10a-a'—a1—10a+100

=（a-5?+75.

因为（aT/MO,

所以当a-5=0，即。=5时,c的值最小，其值为"=56

又因为a+B=10,所以c取得最小值,a+6+c也取得最小值.

61因此所求为10+5万.

62.

（[,在三段雒A'-ABC中.ZSABC为正三角形•

S/^ur-ya^iniO*-*

又•；AA，i•；・V>--A・

在RiAABA'中・《人七）一本+“

在等♦△A'BC中,设底边的a£二色

h'7sB「-《3），JV+、一手

S-—宁g7卜一.

VA-1•:/“4二,d,

由于VA-H-V*-*•

（D

由《I>得V5aA«+3<?]

M，A，=4A'+3a；）2（均值定理），

3a5》44aA•

・；aA>0.；.3aQ4。.

当且仅当&»'=**'时，§号康在•厂

XV3aA是比:校柱的•）面职•故其♦小值为4G.

63.

解：(I)由

V-1Z

得^=4,b2=3.

所以C的方程为?=

43

(II)设p(l,%)，代入C的方程得W=|.又|耳闾=2.

133

所以△"；月的面积§=；、2*5=亍

解由已知.可设所求函数的表达式为y=(x-m)?+n.

UHy=x2+2x-1可化为y=(X+1)2-2.

又如它们图像的顶点关于直线x=I对称，

所以n=-2,m=3,

22

64.故所求函数的表达式为y=(x-3)-2,KPy=x-6.r+7.

65.

CI)设等差数列的公要为d,

由已知”,+«»-0得2a(+9d™"0.

又巳知5=9,所以d=-2.

得敷列｛aj的通项公式为a.=9—25—1).

即Lll—n.

(II)数列(1)的前n项和S.=-*(9+n.Z)i--+10”=—(”-5>+25,

则当n$时,S.取得最大值为25.

66.解析：(I)在APAC中，由已知利用余弦定理得因为平面PAC_L

平面ABC,

AC=yPA2+PC2-2PA-PC-cos60°=

乃a，NPACT，

所以PA_L平面ABC,所以PA_LAB.

p

(II)作AE_LBD于E连PE,PA_LBD所以.BD_L平面PAE,则PE

_LBD,所以NPEA是二面角P—BD—A的平面角因为RtAAED相

似RtABCD所以AE/BC=AD/BD

即/PEA=arctan

(Ill)过A作AHJ.PE于H.BDlAH(lh(H>

证知).所以A“J_平面PBD.

由射影定理可得

„PA•AE>/30

AAH=­HIT—

67.

(23)本小翘满分12分.

解：(I)取成中点，连结P0.8……2分

因为Zi/M4是等边三角形，所以如1P0.

越，CO.可得延J.平面的.所以PCJLXB.又由已知

可将£尸〃3.所以PCLER••…6分

(U)因为△/>£/的面根是△碗的面枳的尢又三枚

健C-PE/与三爱1IC■痴的高相同,可知它fl的体

枳的比为1：4,所以三核1