2020-2021学年贵州省铜仁市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年贵州省铜仁市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.不等式（X-1）（x+4）V0的解集为（）

A.{小<-4或%>1}B.{x\-1<J;<4}C.{x\x<1或x>

41D.{x\-4<x<l}

2.已知等比数列｛斯｝中,首项为2,公比为2,则〃io=（

A.20B.512C.1024D.2021

3.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是b,c,若A=45。,8=60°,b=瓜,

则a=()

A.2B.如C.1D.

4.下列命题正确的是（)

A.棱柱的底面一定是平行四边形

B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

C.棱锥的底面一定是三角形

D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

5.直线/经过原点。和点A（1,-1）,则直线/的倾斜角是（)

A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°

6.两圆Cl：N+y2=l与。2：（X-3）2+俨=4的公切线条数为（)

A.1B.2C.3D.4

7.直线x+3y+3=0与直线mx+2y-4=0垂直，则根的值为（)

“2_2

A.-6D.——C.6D.

3

8.两直线〃与Z?是异面直线，b//c,则〃、c的位置关系是（

A.平行或相交B.异面或平行

C.异面或相交D.平行或异面或相交

VC1,

9.如果实数羽y满足条件〈x-y-1=<0,,则z=2x+y的最大值为（)

x+y-l>0,

A.1B.2C.5D.6

10.a,b,。表示直线，M表示平面，给出下列四个命题:

①若a〃M,b//M,贝l]a〃6；

②若阵M,a//b,则。〃跖

③若aJ_c,b_Lc,则a〃6；

④若a_LM,b±M,则q〃尻

其中正确的命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

11.若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体

的外接球的表面积()

俯视图

A.3B.3TTC.9D.9TT

12.若当疣[-2,2]时，不等式依-行1+6]》而7恒成立，则实数%的取值范围是

()

A.[-2,2]B.[-«,

C.(-8,+8)D.[-1,1]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线人：x-"zy+l=0,li：2x-6y+5=0,且人〃〃，则小的值为.

14.已知直线ax+6y-1=0(a>0,b>0)平分圆(%-2)2+(j-1)2=16的圆周，则1上+O二

ab

的最小值为.

15.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。、。2,过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面

是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为.

16.已知尸(a,b)为圆O：/+y2=9上第二象限的一动点，直线pa,网与圆。的另一个

交点分别为A,B,且直线PA,PB的斜率之和为0,则直线AB的斜率

是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，长方体ABC。-A/iCQi中，AB=3,BC=2,BBi=L求线段3d的长.

A3

18.已知AABC的顶点坐标为A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3).

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求AC边上的高所在直线的方程.

19.如图，直三棱柱ABC-AllG中，ZCAB=60°,AC=AB=AAlt且。，E分别是BC,

CC1的中点.

(1)求证：CA1〃平面

(2)求证：BE_L平面ADS.

20.在锐角△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边，且J"§sinC=cos(A-C)+cosB.

(1)求角A的大小；

(2)若。=2«,AABC的面积是3止，求6+c.

21.设数列｛诙｝的前〃项和S”,且S,=〃2(吒N*),数列｛6,｝满足61=2,及+1=3瓦+2.

(1)求数列｛分｝的通项公式；并证明：数列｛5+1｝是等比数列；

(2)设数列｛/｝满足Cn=a,J(瓦+1),求数列｛Cn｝的前"项和为4.

22.已知过原点的动直线/与圆Cl：/+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆G的圆心坐标；

(2)求线段的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k,使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求

出左的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.不等式（x-1）（x+4）<0的解集为（）

A.{尤仅<-4或x>l}B.{x\-l<x<4}C.{尤［x<-l或x>

4}D.{x|-4<x<l}

解：不等式（x-1）（尤+4）<0,

解得

/.不等式的解集是{x|-4<x<1}.

故选：D.

2.已知等比数列{a“}中，首项为2,公比为2,则如=（）

A.20B.512C.1024D.2021

解:等比数列{斯}中，首项为2,公比为2,

.*.aio=2X29=lO24.

故选：C.

3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=45°,8=60°,

则。=（）

A.2B.如C.1D.如

解：由于4=45°,3=60°,>=%，

b喙*依

利用正弦定理：〕”—不，整理得：。=工■丁一=2，

sinAsinBv3

故选：A.

4.下列命题正确的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四边形

B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

C.棱锥的底面一定是三角形

D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

解：对于A,棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以A错

误;

对于B,棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把

棱锥分成的两部分，所以B错误;

对于C，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以C错误;

对于D,棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的

两部分，所以。正确.

故选：D.

5.直线/经过原点。和点A(1,-1),则直线/的倾斜角是(

A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°

解：根据题意，设直线/的倾斜角为8,

直线/经过原点。和点A(1,-1),则直线/的斜率上-1,

1-0

则有tan8=-l,又0°We<180°,

所以。=135°；

故选：B.

6.两圆C1:尤2+y2=l与C2：(尤-3)2+y2=4的公切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

解：圆Cl：x2+y2=i的圆心为C1(0,0),半径为n=1,

圆(x+3)2+y2=4的圆心为C2(-3,0),半径为念=2；

且|CQ|=3,n+r2=3,

所以|。1。2|=n+/2,

所以两圆外切，公切线有3条.

故选：C.

7.直线x+3y+3=0与直线-4=0垂直，则根的值为()

22

A.-6nD.一C.6D.

3百

解：・・,直线x+3y+3=0与直线3+2y-4=0垂直,

lXw+3X2=0,求得6,

故选：A.

8.两直线〃与Z?是异面直线，b//c,则〃、c的位置关系是()

A.平行或相交B.异面或平行

C.异面或相交D.平行或异面或相交

解：在正方体AG中，

AB和。Di是异面直线，DDM/BBi,ABCBBi=B；

AB和。Di是异面直线，DD1//CC1,48与CG是异面直线.

，两直线a与6是异面直线，b//c,则a、c的位置关系是异面或相交.

故选：C.

yCl,

9.如果实数无，y满足条件，x-y-l&O,,贝!1z=2x+y的最大值为()

x+y-l^O,

A.1B.2C.5D.6

解：由约束条件作出可行域如图，

联立|7-1,A(2,1),

Ix-y-l=O

由z=2尤+y,得y=-2无+z,由图可知，当直线y=-2x+z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5.

故选：C.

10.a,b,c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题:

①若a〃M,b//M,则a〃岳

②若阵M,a//b,则a〃跖

③若a_Lc,6J_c,则a〃b；

④若a_LM,bLM,则a〃4

其中正确的命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

解：对于①，平行于同一平面的两直线平行a与b可以是任何位置关系，错误；

对于②，中可以au〃，错误；

对于③，中正方体从同一点出发的三条线，也错误；

对于④，空间垂直同一平面的两条直线平行，正确，

故选：B.

11.若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体

的外接球的表面积（）

俯视图

A.3B.3TTC.9D.9Tt

解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1,且AB,AC,

AD两两垂直.

把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线港，

因此这个空间几何体的外接球的表面积S=4冗亭）2=311.

故选：B.

12.若当xe[-2,2]时，不等式依-恒成立，则实数人的取值范围是

()

A.[-2,2]B.[-73,V3]

c.(-8,-^3]U[73,+8)D.[-1,1]

解：当疣[-2,2]时，不等式欧-｛「2+6|2/卜2+]恒成立,

即为Ikx-尸+6|%,①

令丫=4八2,可得上半圆C：N+y2=4,

上式①表示上半圆C上的点到直线kx-y+6=0的距离的最小值不小于1,

6LL

则/9-221,解得-旧W收火.

Vk+1

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线/i：x-my+l=0,h：2x-6y+5=0,且/i〃3则m的值为3

解：二•直线/i：x-my+l=0,fc：2x-6y+5=0,且/i〃&,

故答案为：3.

,10

14.已知直线ax+by-1=0(〃>0,Z?>0)平分圆(x-2)2+(y-1)2=16的圆周，则一+—

ab

的最小值为8.

解：二•直线ax+by-1=0平分圆(%-2)2+(厂1)2=16的圆周，

・•.圆心(2,1)在直线-1=0上，可得2〃+b=l.

又：。>0,b>0,/.—+—=(―(2。+万)=4+—+^^4+2J-=8.

abababVab

当且仅当已用，即6=2a时等号成立.

ab

故答案为：8.

15.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1、。2,过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面

是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为16TT

解：设圆柱的底面半径为广，

因为轴截面是面积为16的正方形，

所以(2r)2=16,解得r=2,

所以圆柱的底面半径为2,高力=2r=4,

则该圆柱的体积为V=Ttr2/z=iTX22X4=16TT.

故答案为：16m

16.已知尸(。，b)为圆O：彳2+俨=9上第二象限的一动点，直线PA,网与圆。的另一个

交点分别为A,B,且直线PA,P8的斜率之和为0,则直线A8的斜率是包.

-b-

解:如图，

J

设P4的斜率为七尸A的中点为M(xo,yo)，，则尸5的斜率为-上

再设尸(。，b),4V0,Z?>0,

则PA：y-b=k(x-a),联立P4与圆0,

可得(1+F)N+2左(Z?-ak)x+(b-ak)2-9=0.

.、.।_2k(ka-b)

令A(xi,yi),则+a=，

1+k9，

._xl+a_k(ka-b)、.—7~i(入i…b-ak

b-akkJ+kh

——7),同理求得尸8中点N(K心〉,

b+ka_b-ka2ka

1+k2l+k?Ma

••l<ABK-MNn9-

ka+kbka-kb2kbb

l+k21+k21+k2

故答案为：—.

b

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，长方体ABC。-481Goi中，A7=3,BC=2,BBi=l,求线段8。的长.

解：因为在长方体A8CD-421clz)i中，AB=3,BC=2,BBi=l,

连接8£),在中，有瓦^二人^+人疗二胎，

又因为在长方体ABC。-481C1G中，3£>1_L平面ABCD,

所以£>£>i_LB。，在RtZ\2r>Di中，BD\2=BD2+DDi2=14,

则2£>I=JBD2+DD[2=71^.

18.已知△ABC的顶点坐标为A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3).

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求4C边上的高所在直线的方程.

解：(1)•.•直线的斜率为其餐=2，直线BC的斜率为至L=-2,

-1+52-2+1

二直线AB和直线BC的斜率之积等于-1,故ABL2C,

...△ABC为直角三角形.

(2)因为直线AC的斜率为与工=《，所以，AC边上高线所在直线的斜率为

-1+534

故AC边上的高所在直线的方程是y-1=-—(x+1),即3x+4y-1=0.

4

19.如图，直三棱柱ABC-421G中，ZCAB=60°,AC^AB=AAi,且。，E分别是BC,

CG的中点.

(1)求证：C4〃平面AOBi；

(2)求证：BEmADBi.

【解答】证明：（1）如图，连接48,交于O,连接OD,

则。为48的中点，因为。为8C的中点，

所以0D为△AIC的中位线，所以4C〃。。，

又OOu平面ABiD,ACC平面ABiD,

所以AC〃平面ASD；

（2）因为NCA8=60°,AC=AB=AAi,

。为BC的中点，所以AOLBC,

因为ABC-481C1为直棱柱，所以23」平面ABC,ADu平面ABC,

所以

所以平面BCCM

因为BEu平面BCCiBi,

所以BELAD,

因为ABiBDsABCE,NBBID=NCBE,/BBID+/BDBI=9Q°,

所以NCBE+/BD8i=90°,即BElBiD,

因为AOnBi£）=。，

所以BE_L平面ADBi.

20.在锐角△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边，且J§sinC=cos(AC)+cosB.

（1）求角A的大小;

(2)若〃=2«,△ABC的面积是3«,求。+c

解：(1)在锐角△ABC中，A+B+C=ir,0<A〈三，

则，由^/§5吊。=85(A-C)+COSB,

可得V§sinC=cos(A-C)+cos8=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,

得sinA=山

2

则在锐角△ABC中，A=^.

(2)由(1)知一=[■,且&A5c=gcsinA=3«,得bc=12,

由余弦定理得-2bccosA,又a=2j^,

那么a2—b2+c2-2bccosA—b-+c2-be—(6+c)2-3bc,

贝!J(6+c)2=a2+3i>c=48,可得>+c=4，^.

21.设数列｛斯｝的前“项和攻,且S,=〃2(weN*),数列｛瓦｝满足6i=2,bn+i=3b„+2.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；并证明：数列求“+1｝是等比数列;

(2)设数列｛Cn｝满足Cn=。,/(瓦+1),求数列｛Cn｝的前"项和为7k

解：(1)当”=1时，ai=Si=l.

22

当〃》2时,an=Sn-Sni=n-(n-1)=2n-1.

检验，当”=1时ai=l=2X1T符合.所以a”=2"-1(neN*)；

证明：当w22时，因为加1=3d+2,

bn+1+13b+2+l

则r,=」।=3而6i+l=3,

bn+lbn+l

所以数列｛d+1｝是等比数列，且首项为3,公比为3.

(2)由(1)得瓦+l=3X3"i=3",ca=an'(瓦+1)=(2w-1)*3",

所以刀尸C1+C2+C3+…+C,-1+Cn,

即4=1X3+3X32+5X33+…+(2〃-3)・3片1+(2n-1)•3B,①

34=1X32+3X33+5X34+…+(2n-3)・3"+(2n-1)«3n+1,②

由①-②得：-27;:=lX3+2(32+33+…+3〃r+3")-(2w-l)・3"+i,

-2G=1X3+2・9(1二3“「)..-(2/7-1)«3,!+1=-6-(2n-2)«3"+1,

1-3

则4=3+(n-1)・3"+i.

另解：因为Cn=4"(b”+l)(2w-l)・3"=[(n+1)-2]«3n+1-(w-2)・3”,

设d”=(n-2)*3n,则Cn=d〃+i-

所以G=Cl+C2+C3+…+C〃-1+Cn=(6?2_6?1)+(th-d2)+…+(da+1-d”)

—dn+i-d\—[(〃+l)-2]*3/,+1-(1-2)・3i=3+(n-1)*3,1+1,

n+1

所以Tn=3+(H-1)«3.

22.已知过原点的动直线/与圆Ci：―+俨-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆Ci的圆心坐标；

(2)求线段A8的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数上