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文档简介

例题线性方程组增广矩阵解:②+(-3)*①,③+(-2)*①,④+2*①,④+1*②,(-1/5)*③,②<->③,③+7*②,(-1/6)*③,梯形方程组行阶梯形矩阵回代得解，行最简形矩阵初等行变换：交换两行()；以数乘某一行的所有元素()；把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去()。同样可以定义初等列变换：行列(r->c)。矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换。初等变换是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：的逆变换就是其本身；的逆变换是；的逆变换是。矩阵之间的等价关系：矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，称A与B行等价()；矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，称A与B列等价()；矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，称A与B列等价()。等价关系的性质：反身性：；对称性：；传递性：。注：1.任何矩阵行梯形或行最简形矩阵；2.任意矩阵标准形，其中r=行梯形矩阵中非零行的个数。初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。注：1.初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵都是同一类型的初等矩阵：性质1设A是矩阵，则对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；性质2方阵A可逆<==>存在有限个初等矩阵，使得。定理1设A和B是矩阵，则<==>存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B;<==>存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B;<==>存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B;推论方阵A可逆<==>求逆矩阵的初等变换法：设A可逆，也可逆，则求解矩阵方程AX=B，其中A是可逆矩阵：例1设，证明A可逆，并求.解因，故A可逆，且.例2求解矩阵方程AX=A+2X，其中.解由AX=A+X得(A-2E)X=A.若A-2E可逆，则X=(A-2E)-1A.这里.矩阵的秩子式：在矩阵A中，任取k行k列（），位于这些行列交叉处的个元素按照原来顺序组成的一个k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。矩阵的秩：设在矩阵A中存在一个k阶子式D，而所有k+1阶子式（若存在）=0，则称D为A的最高阶非零子式，数k称为A的秩，记为R(A)=k，r(A)=k或秩(A)=k。例题注：1.；2.对于一般的矩阵，应用定义求秩很麻烦。然而行梯形矩阵的秩=非零行的个数；例题3.我们注意到初等变换可以把矩阵化为行梯形矩阵。定理2若，则，即初等变换不改变矩阵的秩.推理若存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=B,则.注：利用初等变换把矩阵化为行梯形矩阵并求得行梯形矩阵的秩，从而确定原矩阵的秩。例1设，求A的秩，并求A的一个最高阶非零子式.解.所以R(A)=3.矩阵中存在一个3阶非零子式：.今计算A的第一、二、四行构成的子式.因此这个子式为A的一个最高阶非零子式.定理n阶方阵A可逆<==>R(A)

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