机械工程图学-投影理论的基础知识平面的投影

上节课的重点：各种位置直线的投影特性及作图。

直线上点的投影特性及其判定与作图。上节课的难点：

利用直线的投影求其实长及真实倾角的直角三角形法。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

1.投影面平行线：水平线、正平线、侧平线在所平行的投影面上，投影反映实长，投影与投影轴之间的夹角表示直线与另外两个投影面之间的实际倾角；在另外两个投影面上，投影均平行于相应的投影轴。一实长、二平行

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

2.投影面垂直线：正垂线、铅垂线、侧垂线在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；在另外两个投影面上，投影均垂直于相应的投影轴，且反映实长。一积聚、二垂直一般位置直线又叫投影面倾斜线三个投影都倾斜于投影轴，其长度均小于实长；投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的实际倾角。三类似

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影该直线是水平线，其侧面投影应该平行于OYW轴。若直线平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影一直线的正面投影平行于OX轴，水平投影倾斜于OX轴，那么该直线是哪一种特殊位置直线？其侧面投影应该有什么特征？

a.反映实长且平行于相应的坐标轴。

b.小于实长且平行于相应的坐标轴。

c.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

d.小于实长且倾斜于相应的坐标轴。C.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（a）X坐标差。（b）Y坐标差。（c）Z坐标差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直线AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其实长时，（1）若以ab为一直角边，则另一直角边应为端点A、B的（2）若以a′b′为一直角边，则（可多选）

（a）另一直角边为端点A、B的Y坐标差。（b）X坐标差。（c）斜边为AB的实长。（d）斜边与a′b′的夹角为AB对V面的倾角β

。简述直线上点的投影特性。

（1）直线上的点的三面投影，必在该直线的同面投影上。（2）点分割直线成定比。（c）（d）（b）（a）作业《机械工程图学基础教程习题集》

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2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影不在同一直线上的三点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●平行两直线abca

b

c

●●●●●●相交两直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX用几何要素表示平面2.3.3平面的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-24平面的表示方法

正面迹线(V面迹线）PV：平面P与V面的交线

水平迹线(H面迹线）PH：平面P与H面的交线

侧面迹线(W面迹线）PW：平面P与W面的交线用平面的迹线表示平面

WHVOpVXZYHYWpHpwpxpypzpyP

pH

pVpw平面与投影面的交线，称为平面的迹线。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影对于一般位置的平面展开用平面的迹线表示平面对于特殊位置的平面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影（a）水平面（b）正垂面（c）铅垂面图2-24平面的表示方法（续）1.各种位置平面的投影特性垂直倾斜投影特性平面平行于投影面——投影即平面实形平面垂直于投影面——投影积聚成直线平面倾斜于投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性平行

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三个投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面投影面倾斜面（一般位置平面）特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影（1）投影面垂直面

垂直于一个投影面而与其余两个投影面皆倾斜的平面。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

图2-25投影面垂直面的立体图

垂直于水平面的平面称为铅垂面。XYYWYHOa(d)c(b)d’b’a’c’b”a”c”d”ABCDa(d)b(c)d’b’a’c’b”a”c”d”

铅垂面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

垂直于正面的平面称为正垂面。

正垂面ABCDd’(a’)c’(d’)abcdc″b″d″a″XYYWYHOd′

(a′

)c′

(d′)abcdc″b″d″a″

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影ABCDabcdd′b′a′c′a″(b″)

d″(c″)

侧垂面

垂直于侧面的平面称为侧垂面。XYYWYHOd″(c″)abcda″(b″)d′

b′a′

c′

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影c

c

投影面垂直面的投影特性abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角就是平面与另外两投影面的夹角。在另外两个投影面上的投影为类似形。（一积聚、二类似）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面垂直面投影特性的小结

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

一积聚、二类似（2）投影面平行面

平行于一个投影面的平面。必然同时垂直于另外两个投影面！

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

图2-26投影面平行面的立体图

①水平投影反映平面的实形。②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。平行于H

面的称为水平面，其投影特性为：水平面的投影特性

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

①正面投影反映平面的实形。

②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。正平面的投影平行于V面的称为正平面，其投影特性为：

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影①侧面投影反映平面的实形。

②正面投影和水平投影积聚为一条与相应轴平行的直线。侧平面的投影特性平行于W面的称为侧平面，其投影特性为：

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面平行面的投影特性（一实形、二积聚）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面平行面投影特性的小结

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

一实形、二积聚

对三个投影面都倾斜的平面称为投影面倾斜面。

投影面倾斜面的三个投影都是小于实形的类似形，也不能反映该平面与投影面的夹角。（3）投影面倾斜面（一般位置平面）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-27投影面倾斜面（一般位置平面）2.平面内的直线和点的投影位于平面上的直线应满足的条件：（1）平面内的直线的投影●●MNAB●M

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影在已知平面△ABC内求作任意一直线的方法：方法一是在直线AB上任取一点E（e、e′），在直线AC上任取一点F（f、f

′），连接E、F两点的同面投影e、f和e′、f

′即可。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

方法二是先在直线AB上任取一点G（g、g′），再过点G作直线GH平行于已知直线BC（即gh∥bc、g′h′∥b′c′）即可。图2-28在平面上取直线的方法（a）题图（b）作图过程及结果

【例2-9】试由△ABC的顶点A作出其中线AD的投影。先利用“定比性”在bc上作出中点d，并由d作投影连线求出d′；再连接同面投影即可。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-29求作三角形中线的投影（2）平面内的点的投影

先找出过此点且在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。【例】已知点K在平面ABC上，试求其水平投影。baca

k

b

●①c

平面内取点的方法：利用平面的积聚性求解通过在平面内作辅助线求解首先在面上取线k●d

d②●abca

b

k

c

k●

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-10】已知△ABC上点M的水平投影m，试求其正面投影m′。

先在H面投影中连接a、m并延长交bc于d。再过d作投影连线求得d′，连接a′d′，则m′一定在a′d′上，过m作投影连线，与a′d′的交点即为点M的正面投影m′。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影思路：先在平面内作线，再在线上求点。图2-30求平面内点的投影圆平面的投影特性（1）圆平面为投影面平行面时，在所平行的投影面上的投影为圆，另外两个投影分别积聚为直线，其长度就等于圆的直径。（一实形二积聚

）（2）圆平面为投影面垂直面时，在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，另外两个投影均为椭圆，其长轴均等于圆的直径。（一积聚二类似）（3）圆平面为一般位置平面时，其三个投影均为椭圆。（三类似

）3.圆平面的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-11】

已知圆平面为铅垂面，对V面的倾角为β，直径为D，圆心O1的两个投影为o1、o1′，试求作该圆平面的两面投影。（a）立体图

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-31圆平面的投影

过O1作长度为D的直线ab与OX轴成β角，且O1位于ab的中点。作出椭圆，即为圆的正面投影。

先过O1′作长度为直径D的铅垂线c′d′，再过O1′作水平线a′b′（=cosβ）；c′d′、a′b′即分别为椭圆的长、短轴。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-31圆平面的投影4.多边形平面的投影多边形由一些点和线（主要是直线）构成，因此，作多边形的投影图，就要用到点、直线的投影特性以及在平面内作点和直线的方法。

【例2-12】

如图2-32所示，在平行四边形平面ABCD上有一燕尾形缺口ⅠⅡⅢⅣ，已知其正面投影，试求作其水平投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影图2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影由1′、4′可直接在ab上求出Ⅰ、Ⅳ两点的水平投影1、4。延长1′2′与c′d′相交于5′，求出5，连接1、5，再由2′求出2。过2作cd

的平行线，与从3′作的投影连线相交，可求得3。连接1、2、3、4，即得到燕尾形缺口的水平投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-13】

如图2-33（a）所示，结合立体图看懂三面投影图，并完成以下内容：（3）分析平面ABGH、ABCDEF的位置。（1）在三面投影图上标出点A~H的投影。（2）分析直线AH、AB、BC的位置。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-33分析立体上的直线和平面标出点A~H的投影如图（b）所示。平面ABGH为正垂面；ABCDEF为铅垂面。直线AH为正垂线；AB为一般位置直线；BC为水平线。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-33分析立体上的直线和平面5.直线与平面相交

【例2-14】试求直线AB与铅垂面EFGH的交点。

平面处于特殊位置（即平面的投影具有积聚性）直线AB的水平投影与铅垂面水平投影的交点k，就是空间交点K的水平投影，由k可求得k′。可采用重影点法判断直线重叠部分的可见性。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

图2-34求直线与铅垂面的交点6.两平面相交【例2-15】试求矩形平面DEFG与平面△ABC的交线。其中一个平面处于特殊位置（即平面的投影具有积聚性）可直接求出平面△ABC上的直线AC、BC与矩形平面DEFG交点K、L的水平投影k、l，再求出k′和l′，连接k′l′，则KL即为所求的交线。可采用观察法判断重叠部分的可见性。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-35求两平面的交线本节课的重点：各种位置平面的投影特性及作图；

平面内的直线和点的投影的特性及其判定与作图。本节课的难点：平面内的直线和点的投影；直线与平面相交、两平面相交问题的求解。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

特殊位置平面有哪几种？各有什么投影特性？一般位置平面又有什么投影特性？

1.投影面垂直面：正垂面、铅垂面、侧垂面在所垂直的投影面上，平面的投影积聚成一条与投影轴不平行（不垂直）的直线；在另外两个投影面上，平面的投影为其类似形。一积聚、二类似

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影特殊位置平面有哪几种？各有什么投影特性？一般位置平面又有什么投影特性？

2.投影面平行面：正平面、水平面、侧平面在所平行的投影面上，平面的投影反映实形；在所垂直的其余两个投影面上，平面的投影分别积聚为直线，且与相应的投影轴平行。

一般位置平面也称为投影面倾斜面

各个投影既不