大学数学竞赛辅导 导数、微分及其应用

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第二讲导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数yf*

dyd*

f

y

f*lih0

*h

h

f*

对于多元函数zf*,y

z*

f*h,yf*,y

h

对于函数微分

f**,ylim

h0

yf***

z

z**

zyy

dy*

dz

2

注：留意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1〕能娴熟运用求导公式、运算法那么计算导数、偏导数和微分；2〕隐函数、参数方程的导数

3〕高阶导数：特别要留意莱布尼茨公式uv

n

n

C

k0

kn

u

knk

v的运用。

例1：求函数yarcsin*在*0处的n

阶导数。

解：y

,y

，所以有2

*y1*

〔1〕y

利用莱布尼茨公式对〔1〕两边求n2阶导数得*y

n1

Cn2y

1

n2

1*

2

y

n

n

Cn22*y

1

n1

Cn22y

2

n2

当*0时，n2y

n2

0

n

y

0n2n3y

2

n2

0

y由此可得y

2n

0n2

2

y

n2

0

02n22n4

2

2y00

2

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y

2n1

02n12n3

11*

2

22

1y02n1

2

2

2n3

1

2

2

例2：求f*解：f*

n

的n阶导数。

i

n

n1

11*12i

2

111

2i*i*

n1

f

*

1

n

n!*i1n!*i

1nn!

2i1*

2

n1

*i

n1

*i

n1

设*ircosisin,*ircosisin其中，rf

n

*

2

,arccot*，那么有

*

1nn!

2i1*

2

n1

*

2

n1

2isinn1arccot*

1nn!

*2

n1

sinn1arccot*

注：计算时留意一阶微分不变性的应用。4〕方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1〕达布定理：设f*在a,b上可导，假设fafb那么对介于fa,fb的一切值c，必有a,b，使得fc。

证明：f*在a,b上可导，那么f*在a,b上肯定有最大值和最小值。1、假如fa,fb异号，无妨设fa0,fb0，由于falim

h0

fahfa

h

,fblim

h0

fbhfb

h

，由极

限的保号性，当*充分接近a时有f*fa；当*充分接近b时有f

*fb，这就说明fa,fb不可能是f*在a,b上的最大值，

所以肯定存在a,b，使得f是f*在a,b上的最大值，由费马定理可得f0。

2、对于一般的fafb的情形，设c是介于fa,fb的值，考虑函

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数F*f*c*，那么有Fafac,Fbfbc异号，由前面的证明可得，存在a,b有Ffc0，即fc。

2〕罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

f*f*0f*0**0

n1

f*02!*0

**0

2

f

n

*0

n!

**0nRn*

其中Rn*

f

*

n1!

n1

，这里在*与*0之间的某个值。

3〕一元函数的单调性及极值、最值4〕一元函数的凹凸性：

f*在区间I上凹：*1,*2I和1,2R，假设121，那么f1*12*21f

*1

2

f；*

2

f*在区间I上凸：*1,*2I和1,2R，假设121，那么f1*12*21f

*1

2

f；*

2

性质：1、假如f*在区间I上是凹的，那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR，假设12n1，肯定有*f1*12*2nn

1f

*1

2f

*2

nfn；*

2、假如f*在区间I上是凸的，那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR，假设12n1，肯定有*f1*12*2nn

1f

*1

2f

*2

nfn*

*n11

证明：由于1*12*2n*n1*111

2

11

211

*2

n

其中

n

11

1，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：假设a1,a2,,an0，那么有

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证明：考虑函数f*ln*f*

1*

a1a2an

n

*0，由于

,

f*

1*

2

0,*0

所以*0时，f*是凹函数。因此对于a1,a2,,an0由性质有ln

a1a2an

n

1n

lna1lna2lnan

ln

ln

a1a2an

nn

a1a2an

5〕多元函数几何应用

6〕多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设f*在a,b上连续，在a,b上可导，fafb0。又g*在

a,b上连续，证明：至少存在一点a,b使得fgf。

证明：由于g*在a,b上连续，所以g*在a,b上存在原函数G*，即有G*g*。

考虑函数F*e

G*

f*,*a,b，那么有FaFb0，由罗尔中值定

理可得至少存在一点a,b使得Fe

G

fge

G

f0

因此至少存在一点a,b使得fgf。例5：设函数f*在[a,)上连续，在a,上可导，

〔1〕假如falimf*，证明：至少存在一点a,，使得f0。

*

〔2〕假如fa1，且对一切*a有f*ea*，证明：至少存在一点a,，使得fe

a

。

证明：〔1〕假如函数f*在[a,)上是常数，那么对于任意的a,都有f0。下面设f*不是常数，此种情形下存在ca,使得fafc，

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无妨设f

afc，取

f

cfa

2

，由于f

a

*

limf*，所以存在

*0，当**时有

f*fa

fcfa

2

f*

fafc

2

fc

因此我们有f*fc，由此我们可得f*在a,*上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点a,*a,使得f0(2)由于lime

*

a*

0，0f*ea*，由夹逼准那么得

0

lifm*

limf*

*

*

考虑函数F*f*e

a*

，那么有F*在[a,)上连续，在a,上可导，

并且FalimF*0，由〔1〕的结论可得至少存在一点a,，使得

*

Ffe

a

a

0fe。

例6：设函数f*在区间0,1上可微，f00,f11，1,2,n是n个正数，且12n1，证明：存在*1,*2,,*n0,1使得

1f*1

2f*2

nf*n

1

证明：利用介值定理，存在c1,c2,,cn0,1使得fc11,fc212fc3123,,fcn112n1，无妨我们设c00,cn1，

对函数f*分别在以ci,ci1,i0,1,,n1为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在*i1在ci,ci1,i0,1,,n1之间使得f*i1

fci1fcici1ci

i1ci1ci

i1f*i1

ci1ci

i0,1,,n1

因此我们有

1f*1

2f*2

nf*n

c1c0c2c1cncn1cnc01

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例7：设f*在,上可导，f00,f*f*，证明：f*0。证明：1〕设f*在0,内的最大值为f*0，那么有

2f*0f*0f0*0f

这就得到在0,

1

上有f2

1

12

f

*0

f

*0

0

*0，特别是f

1

0；2

2〕设f*在

k1k

上有f,22

*0，设设f*

在

k1k2

内的

2,2

最大值为f*1，那么有f*1f*1f

kk1

*f1

22

f

*

f

*10

这就得到在

k1k2

上有f

2,2

*0，

由数学归纳法可得在[0,)上有f*0。同理可得在(,0]上有f*0。

例8：设f*在a,b上有二阶导数，证明：存在a,b，使得

ba

abf*d*baf

2

ba

f

24

ab2

3

证明：设F*

*a

ftdt，将F*在点

处展成三阶泰勒公式

23Fabab

**

262

ab

F

ababab2F*FF*2222

当*a时，

abF

ababab20FF

2222

abf

abab2

ftdtf

222

23F1abab

262

23f1abab

〔1〕

622

ab

0

2a

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当*b时，

abF

ababba2FbFF

2222

23F2baba

622

ba

ab

ftdt

2a

ab

f23fbaba2abba2

ftdtf(2)

222262

21得

ba

13f1f2ab

ftdtfbaba

2422

由于f*在1,2可导，且

f1f2

2

在f1,f2之间，由达布定f1f2

2

3

理可得，存在1,2a,b使得f

，此时即有

ba

ab

f*d*baf

2

ba

f

24

例9：设f*在a,b上二阶可导，证明：对于*a,b，存在a,b使得

f

ba2

*fa

*

t*ab

a

2222

1111

bf*f

b

f

*

ft

t*ab

证明：构造函数Ft

fff

*ab

，那么有FaF*Fb0，利用罗

尔中值定理，存在1a,*,2*,b有F1F20，再利用一次罗尔中值定，存在1,2a,b使得F0，又由于

ft

Ft

fff

2t*ab

222

1*ab

0111

,Ft

ftfff

2*ab

222

0*ab

0111

*ab*ab

fta*b*ba2b*faf*2a*fbf*

由此可得

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fa*b*ba2b*faf*2a*fbf*0

f即有

fba2

fba2

af*

a

*

bf*f

b

*

*fa

*

a

bf*f

b

f

*

1

1。2

例10：设函数f*在0,1连续，在0,1内可微，且f0f10,f

1

证明：〔1〕存在

,1使得f；2

〔2〕存在0,使得ff1。证明：〔1〕考虑函数F*f**，由于F

1

,1使得f；2

*

11

0,F110，由零22

点定理，存在

〔2〕考虑函数G*f**e存在0,使得Ge

，由于G00,G0，由罗尔中值定理，

f1ef0，即有

ff1。

四、练习题

1〕求函数y

112*4*

2

的n阶导数。

k

2〕设f*在a,b上有n1阶导数，且f证明：存在a,b，使得f

n1

a

f

k

b0

,k0,1,2,,n，

f。

3〕设f*在a,b上有二阶导数，fafb0且存在ca,b使得fc0证明：存在a,b，使得f0。

4〕设f*在区间1,1上三次可微，证明：存在1,1，使得

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f6

f1f1

2

f0

5〕设函数f*在,上是导数连续的有界函数，f*f*1，证明：f*1

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