算法案例(辗转相除法和更相减损术)

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算法案例

(第一课时)

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1、求两个正整数的最大公约数、(1)求25和35的最大公约数)和的最大公约数(2)求49和63的最大公约数)和的最大公约数(1)5)255357(2)7)497639

所以，和的最大公约数为的最大公约数为5所以，25和35的最大公约数为

所以，和的最大公约数为的最大公约数为7所以，49和63的最大公约数为

2、求8251和6105的最大公约数、和的最大公约数

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辗转相除法,又名“欧几里德算法”(Euclideanalgorithm)乃求两数之最大公因数算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至前300年。它首次涌现于欧几里德的《几何原本》中，而在中国那么可以追溯至东汉涌现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因数分解

欧几里德

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辗转相除法(欧几里得算法)辗转相除法(欧几里得算法)观测用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程和观测用辗转相除法求的最大公约数的过程用两数中较大的数除以较小的数，第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：8251和6105的公约数就是结论：和的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和和的公约数，和的公约数就是的公约数6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。的最大公约数，只要求出和的公约数就可以了。的最大公约数的公约数就可以了

第二步对6105和2146重复第一步的做法和重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。的最大公约数。同理和的最大公约数也是和的最大公约数

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完整的过程8251=61051+21466105=21462+18132146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0显着37是显着是148和37的最大公约和的最大公约也就是8251和6105的最数，也就是和的最大公约数

用辗转相除法求225和135的最大公约数例2用辗转相除法求和的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显着45是和的最大公约数的最大公约数，显着是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数225和135的最大公约数思索1:思索：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？算的规律是什么？S1:用大数除以小数：S2:除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，S3:重复S1,直到余数为：重复，直到余数为0

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辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，辗转相除法是一个反复执行直到余数等于停止的步骤，这事实上是停止的步骤一个循环结构。一个循环结构。

m=nq+r

用程序框图表示出右边的过程

8251=61051+21466105=21462+1813

2146=18131+3331813=3335+148

r=mMODnm=nn=rr=0?是否

333=1482+37148=374+0

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《九章算术》——更相减损术九章算术》更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减求其等也，以等数约之。损，求其等也，以等数约之。

第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。假设是，那么用第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。假设是，那么用2约简；假设不是那么执行第二步。约简；假设不是那么执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，那么这个等数就是所求的最大公约数。等数就是所求的最大公约数。

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用更相减损术求98与的最大公约数例3用更相减损术求与63的最大公约数不是偶数，以大数减小数，解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减由于不是偶数和以大数减小数98-63=35-=63-35=28-=35-28=7-=28-7=21-=