2024年广东省广州市番禺区仲元中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省广州市番禺区仲元中学中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．32．（3分）化简+的结果是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．2.3 B． C． D．5．（3分）点P（﹣4，3）到直线y＝﹣1的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，BF分别交CD边于点E，F．若AD＝3，则AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．77．（3分）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣28．（3分）如图，某办公区东、西两栋办公楼的高度均为30m．下午3时，东楼二层离地面3m的阳台、西楼的楼顶与太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼之间的距离为（）A．m B．m C．m D．m9．（3分）如图，电路图上有4个开关S1，S2，S3，S4，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（）A． B． C． D．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点M（m，0），N（m+2，0），其中m为常数（）A．a B． C． D．﹣a二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）单项式mn2的次数是．12．（3分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且，若△ABC的面积为5．13．（3分）已知点A（a，y1），B（2a+1，y2）在双曲线上，若y2＜y1＜0，则a的取值范围是．14．（3分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律．15．（3分）如图是相同的边长为1的菱形组成的网格，已知α＝60°，点A，B（网格线的交点）上，且点B在上，则的长为．三、解答题（一）：本大题共4小题，第16，17题各5分，第18，19题各7分，共24分．16．（5分）计算：．17．（5分）解不等式组：18．（7分）2024年3月12日，某校组织九年级300名学生开展植树活动，活动结束后，将统计结果分成四种类型：A．3棵，B．4棵，D．6棵，并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）被抽查学生每人植树数量的中位数是棵；（3）估计九年级300名学生共植树多少棵．19．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC（1）尺规作图：在菱形ABCD的边AD上方找一点E，使得△AED≌△BOC；（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断四边形AODE的形状，并给出证明．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．20．（9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．21．（9分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P为劣弧AB上一点，PB，PC（1）求证：PC平分∠APB；（2）求证：BD是⊙O的切线．22．（9分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（2）如图（2），根据（1）的计算过程．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．（12分）课本再现我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形．定理证明（1）请你证明“三角形的内角和是180°”．已知：△ABC（如图（3））．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．深入探究（2）三角形的内角和是180°，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论．结论应用（3）如图（5），在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D为AC的中点，且∠CDE+∠B＝180°，求AE的长．24．（12分）综合应用如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝﹣x与抛物线在第二象限交于点M，若动点N在OM上运动，线段CN绕点N顺时针旋转，在点N运动过程中，判断∠CND的大小是否发生变化？并说明理由．（3）在（2）的条件下，连接CD1，记△CND的外接圆的最大面积为S2，试求S2﹣S1的值（结果保留π）．

2024年广东省广州市番禺区仲元中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3【解答】解：将这些数在数轴上表示出来：∴﹣3＜﹣2＜﹣7＜0＜3，∴比﹣2小的数是﹣3，故选：C．2．（3分）化简+的结果是（）A． B． C． D．【解答】解：+＝＝．故选：D．3．（3分）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；B、该图能找到这样的一个点，所以是中心对称图形；C、该图不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；D、该图不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．故选：B．4．（3分）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．2.3 B． C． D．【解答】解：∵2.3是有理数，≈1.414，，≈2.236，由图可知，点P表示的数为无理数，∴点P表示的无理数可能是，故选：D．5．（3分）点P（﹣4，3）到直线y＝﹣1的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为点P坐标为（﹣4，3），所以点P到直线y＝﹣3的距离为：3﹣（﹣1）＝8．故选：C．6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，BF分别交CD边于点E，F．若AD＝3，则AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD＝BC＝3，∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，∵AE，BF分别是∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，∴ED＝AD＝3，FC＝BC＝5，∴EF+DF+FC＝ED+FC＝3+3＝8，∵EF＝1，DF+FC＝CD＝AB，∴1+AB＝7，∴AB＝5，故选：B．7．（3分）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+2）×（﹣1）＞0，且a+3≠0，4+8（a+1）＞0，且a≠﹣8，4（a+1）＞﹣7，a+1＞﹣1，a＞﹣2，∴实数a的最小整数值0，故选：B．8．（3分）如图，某办公区东、西两栋办公楼的高度均为30m．下午3时，东楼二层离地面3m的阳台、西楼的楼顶与太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼之间的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：如图：过点B作BC⊥AE，垂足为C，由题意得：BD＝CE＝3m，AE＝30m，∴AC＝AE﹣CE＝30﹣3＝27（m），在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，∴BC＝≈（m），∴这两栋办公楼之间的距离为m，故选：C．9．（3分）如图，电路图上有4个开关S1，S2，S3，S4，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：S1S2S8S4S1（S7，S2）（S1，S3）（S1，S4）S7（S2，S1）（S6，S3）（S2，S2）S3（S3，S3）（S3，S2）（S2，S4）S4（S4，S1）（S4，S5）（S4，S3）共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：（S6，S3），（S1，S7），（S2，S3），（S4，S4），（S3，S2），（S3，S2），（S2，S1），（S4，S5）．共8种，∴小灯泡发光的概率为．故选：A．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点M（m，0），N（m+2，0），其中m为常数（）A．a B． C． D．﹣a【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点M（m，6），0），∴抛物线为y＝a（x﹣m）[x﹣（m+2）]＝a[x3﹣（2m+2）x+m（m+6）]＝a[x﹣（m+1）]2﹣a．∴该抛物线顶点的纵坐标为﹣a．故选：D．二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）单项式mn2的次数是3．【解答】解：单项式mn2的次数是3．故答案为：8．12．（3分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且，若△ABC的面积为520．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝2，∴△ABC与△DEF的位似比为1：6，∵△ABC的面积为5，∴△DEF的面积为20，故答案为：20．13．（3分）已知点A（a，y1），B（2a+1，y2）在双曲线上，若y2＜y1＜0，则a的取值范围是﹣1＜a＜﹣．【解答】解：∵k＝3＞0，∴双曲线在一，在每个象限y随x增大而减小，∵y2＜y1＜2，∴点A（a，y1），B（2a+3，y2）在第三象限，∴，解得﹣1＜a＜﹣，故答案为：﹣1＜a＜﹣．14．（3分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律n2．【解答】解：由图片可知，第1个图形的点数为：17＝1；第2个图形的点数为：82＝4；第4个图形的点数为：32＝8；⋯第n个图形的点数为：n2；故答案为：n2．15．（3分）如图是相同的边长为1的菱形组成的网格，已知α＝60°，点A，B（网格线的交点）上，且点B在上，则的长为π．【解答】解：∵网格由相同的边长为1的菱形组成，∴AB和BC的垂直平分线相交于格点O，如图，∵α＝60°，∵∠AOB＝2∠ACB＝60°，∠BOC＝4∠BAC＝60°，∵△AOC＝120°，∵AC＝3，∴OA＝AC＝，∴的长度为＝π．故答案为：π．三、解答题（一）：本大题共4小题，第16，17题各5分，第18，19题各7分，共24分．16．（5分）计算：．【解答】解：＝﹣5+（2﹣）+8＝﹣2+7﹣+2＝．17．（5分）解不等式组：【解答】解：，解①得，x＜7，解②得，x＞﹣，∴不等式组的解集为﹣＜x＜3．18．（7分）2024年3月12日，某校组织九年级300名学生开展植树活动，活动结束后，将统计结果分成四种类型：A．3棵，B．4棵，D．6棵，并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）被抽查学生每人植树数量的中位数是4棵；（3）估计九年级300名学生共植树多少棵．【解答】解：（1）总人数为：9÷36%＝25（人），故C组人数为：25﹣6﹣3﹣3＝7（人），补全条形统计图如下：（2）被抽查学生每人植树数量的中位数是8棵．故答案为：4；（3）300××（2×3+9×5+7×5+8×6）＝1284（棵），答：估计九年级300名学生大约共植树1284棵．19．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC（1）尺规作图：在菱形ABCD的边AD上方找一点E，使得△AED≌△BOC；（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断四边形AODE的形状，并给出证明．【解答】解：（1）如图，以点A为圆心，再以点D为圆心，两弧相交于点E，DE，则点E即为所求．（2）四边形AODE为矩形．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∴∠AOD＝90°．∵△AED≌△BOC，∴AE＝BO，DE＝OC，∴AE＝DO，DE＝AO，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠AOD＝90°，∴四边形AODE为矩形．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．20．（9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．【解答】解：（1）若m≥35，则35名学生的总费用为：35×150+300＝5550（元）＜5700元，∴m＜35，根据题意得：300+150m+180（35﹣m）＝5700，解得：m＝30，答：甲旅行社一次最多能接待30人；（2）当0＜x≤30时，150x+300≤165x，解得：x≤20，∴20≤x≤30；当x＞30时，300+150×30+180（x﹣30）≤165x，解得：x≤40，∴30＜x≤40；综上所述，每批组织人数x的合理范围为20≤x≤40．21．（9分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P为劣弧AB上一点，PB，PC（1）求证：PC平分∠APB；（2）求证：BD是⊙O的切线．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，∴弧BC＝弧AC，∴∠BPC＝∠APC，∴BP平分∠APB．（2）连接OB，OC，∵AB＝BC，OB＝OB，∴△BOA≌△BOC（SSS），∴∠CBO＝∠ABO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∵BD∥AC，∴半径BO⊥BD，∴BD是⊙O的切线．22．（9分）综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（2）如图（2），根据（1）的计算过程n＝．【解答】解：（1）圆锥的底面半径为＝15（cm），设侧面展开图的圆心角为n°，则＝2π×15，解得n＝216°，∴216°×＝24°答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°；（2）∵圆锥的底面半径为，∴＝2π，∴n＝．故答案为：n＝．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．（12分）课本再现我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形．定理证明（1）请你证明“三角形的内角和是180°”．已知：△ABC（如图（3））．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．深入探究（2）三角形的内角和是180°，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论．结论应用（3）如图（5），在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D为AC的中点，且∠CDE+∠B＝180°，求AE的长．【解答】（1）已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：过点A作直线EF∥BC，如图，∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°．（2）解：四边形的内角和是360度，理由：连接AC，如图，∵三角形