北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解

北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解第一章习题选解.习题1－11．若，求．解：因为，所以.2．下列各题中，函数与是否相同？为什么？（1），；解：因为的定义域为，而的定义域为，所以与定义域不同，因此与不相同．（2），；解：因为与定义域相同，对应法则相同，故与相同．（3），；解：由解出的定义域为，而由解出的定义域为，所以与定义域不同，因此与不相同．（4），．解：因为与定义域相同，对应法则相同，故与相同．3．设，求，，，，．解：，，，，．4．设函数是以T>0为周期的周期函数，证明是以为周期的周期函数，并求出函数的周期．证：因为，所以是以为周期的周期函数。因为sinx、cosx都是以为周期的函数，所以sin3x、cos2x分别是以、为周期的函数，它们的公约数为，所以的周期为。5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？（1）；解：因为，于是，所以原函数为奇函数．（2）；解：因为，于是，不等于或，所以原函数为非奇非偶函数．（3）；解：因为，于是，所以原函数为奇函数。（4）；解：因为，于是，所以原函数为奇函数．（5）；解：因为，于是，所以原函数为偶函数．（6）；解：因为，于是，所以原函数为偶函数．（7）；解：因为，于是，所以原函数为奇函数．（8）；解：因为，于是，不等于或，所以原函数为非奇非偶函数．（9）；解：因为，于是，所以原函数为偶函数．（10）．解：因为，于是，所以原函数为奇函数．6．对于下列函数与，求复合函数和，并确定它们的定义域．（1）；解：；．（2）；解：；．（3）．解：．．7．设，满足，且，求．解：因为，得，当时，，与矛盾；所以，，此时，，由知，，故．8．设，试将表示成的函数．解：．9．指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的．（1）；解：由复合而成．（2）；解：由复合而成．（3）；解：由复合而成．（4）．解：由复合而成．10．以下各对函数与中，哪些可以复合成复合函数？哪些不能复合？为什么？（1）；解：因为不在的定义域内，所以与不能复合成复合函数．（2）；解：因为在的定义域内，所以与能复合成复合函数．（3）；解：因为不在的定义域内，所以与不能复合成复合函数．（4）．解：因为与的定义域交集非空，所以与能复合成复合函数．11．设的定义域为，问（1）；（2），（3）；（4）的定义域各是什么？解：（1），即，所以的定义域为；（2），即，所以的定义域为，（3），即，所以的定义域为．（4）且，即且，所以的定义域为：若，则为；若，则为空集．习题1－21．设，证明：，并举例说明反之未必成立.证因为，所以，由知，当时，有成立，由定义知．例如，所以，，但易知不存在.2．根据数列极限的定义证明（1）；（2）；（3）；；（4）．证（1）由于，所以，取，当时，有成立，由定义知；（2）要使，只要即可．所以，取，当时，有成立，由定义知；（3）要使，只要即可．所以，取，当时，有成立，由定义知；（4）要使，只要即可．所以，取，当时，有成立，由定义知．3．设，问求出，使时，与其极限之差的绝对值小于0.0001．证，显然．要使，只要，当，就有4．设数列有界，又，证明：．证因为数列有界，故，使得对一切，有，又，故当时，有，于是，当时，有，由定义知．5．对于数列，若，，证明：证因为，，所以，，使得当时，有，成立，令，则当时，有，由定义知．习题1－31．根据函数极限的定义证明（1）；（2）．证（1），要使，只要即可．于是取，则当时，就有，由定义知．（2），，要使，只要即可．于是取，则当时，成立，由定义知．2．设，讨论时的左、右极限．解：，．3．当时，，问应为何值，才能使时，？解：要使，只要即可．故取，当时，有．4．证明函数当时极限为零．证：因为，所以，，取，当时，有，由定义知5．证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则．证：因为及时，函数的极限都存在且都等于，所以，，，当时，有；又，当时，有．取，当时，就有成立，由定义知，．6．设存在，证明：存在正数及，使得当时，有．证：由于，所以对于，，当时，有，于是当时，有，取，则当时，有．习题1－42．用定义证明：（1）当时为无穷小；证：由于，所以，取，当时，有，即当时为无穷小．（2）当时为无穷小．证：由于，所以，取，当时，有，即当时为无穷小．3．用定义证明：函数当时为无穷大．证：由于．所以，要使，只要即可．取，则当时，就有，故．4．函数在内是否有界？这个函数当时是否为无穷大？为什么？解：显然，函数在内无界，但时不是无穷大，因为对，无论多么大，小于任意的正数．习题1－51．计算下列极限．（1）；（2）；（5）；（6）；（9）；（12）；（14）（16）．解：（1）；（2）；（5）；（6）；（9）；（12）因为，所以；（14）（16）．2．计算下列极限（1）；解：；（2）；解：；(3)；解：；(4)．解：．3．已知，求与的值．解：由题意知，，得；又由知，．习题1－61．利用两个重要极限计算下列函数的极限．（2）；（5）；（6）；（10）；（11）；（15）．解：（2）．（5）．（6）；（10）；（11）；（15）．2．利用极限存在准则证明：（1）；证：因为，且，由极限存在准则知，；（2）．证：因为，且，由极限存在准则知，．3．设，，，证明数列的极限存在，并求．证：由于，设，则，所以对一切成立，即数列有上界；又，即数列单调增加，由极限存在准则知，数列的极限存在．设，则由得，，解得，所以．习题1－71．证明：当时，是比高阶的无穷小．证：因为，所以，当时，是比高阶的无穷小．2．证明：当时，有（3）．证：因为，所以，当时，有．3．利用等价无穷小的性质，求下列函数的极限．（1）；解：（2）解：当时，；当时，；故当时，．（3）；解：．（4）；解：．（5）；解：．（6）．解：．习题1－83．求的连续区间，并求极限．解：因为初等函数在其定义区间内均连续，由，即，因此连续区间为4．求下列函数的间断点，并说明该间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数定义使之连续．（1）；解：因为，所以是无穷间断点（3）；解：，故，而在处无定义；，所以是可去间断点，补充，则在处连续；是第二类无穷间断点。（5）；解：因为，且，所以是一类跳跃间断点．5．设，问为何值时，函数在其定义域内连续？为什么？解：因为，，所以，故时函数在其定义域内连续．6．求下列函数的极限（1）；解：因为在处是连续的，所以。（4）；解：．（5）．解：．（6）；解：习题1－91．证明：方程在内必有实根．证：设，则在上连续，