2018年高考理数真题试题（全国Ⅰ卷）(+答案+解析)

2018年高考理数真题试卷(全国工卷)

一、选择题：

1.设z=g+2i，则\z\=()

A.0B.-C.1D.V2

2

2.已知集合A={x\x2-x-2>0],则CRA=()

A.{x|-1<%<2}B.{x|-1<%<2]

C.{x\x<-1}U{x\x>2}D.{x\x<-1}U{x\x>2]

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济

收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是()

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3s3=S?+54,%=2,则a5=()

A.-12B.-10C.10D.12

5.设函数/(x)=x3+(a-l)x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则说=()

^-AB--AC3.-AB--ACC.-AB+-ACD,-AB+-AC

44444444

7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱

表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()

A

B

A.2Vo17B.2V5C.3D.2

8.设抛物线C-.y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为|的直线与C交于M,N两点，则前•丽=()

A.5B.6C,7D.8

9.已知函数/(x)=，5(x)=/(x)+X+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+河c.[―1,+叼D.[1,+叼

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角

三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为工,黑色部分记为口,其余部分记为

田，在整个图形中随机取一点，此点取自工、口、□!的概率分别记为PI，P2，P3，则()

A.Pi—P2B.pi=p3C.p2=P3D.Pi=P2+P3

11.已知双曲线C:次-y2=i,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分

别为M,N.若A0MN为直角三角形，贝!J\MN\=()

A.1B.3C.2V3D.4

12.己知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积

的最大值为()

A.逋B.2C.这D.在

4342

二、填空题

x—2y—240,

13.若x,y满足约束条件｛x-y+120,贝[Jz=3久+2y的最大值为.

y<0,

14.记Sn为数列｛an｝的前n项的和，若S“=2an+1,则$6=.

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.(用数字填写答案)

16.已知函数/(X)=2sinx+sin2K,则f(x)的最小值是.

17.在平面四边形ABCD中，NADC=90°,ZA=45。，AB=2,BD=5.

(1)求cos^ADB;

(2)若DC=2V2,求BC.

18.如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起，使点

C到达点P的位置，且PF1BF.

(1)证明：平面PEF1平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

19.设椭圆C：y+y2=1的右焦点为尸，过F得直线1与。交于A,B两点，点M的坐标为

(2,0).

(1)当［与无轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：/DMA=/OMB.

20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不

合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下

的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品P(0<p<l)，且各件产品是否为不合格品相互独

立。

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求f(p)的最大值点po

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的po作为p的值。已知每件

产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21.已知函数/(%)=--x+alnx

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若/(%)存在两个极值点均,乂2，证明：黑慧)<a_2

三、选考题［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y^k\x\+2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0

(1)求G的直角坐标方程

(2)若Q与有且仅有三个公共点，求G的方程

四、选考题［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/(%)=|x+1|—\ax-1|

(1)当a=1时，求不等式/(%)>1的解集

(2)若%e(0,1)时，不等式f(%)>%成立，求a的取值范围

答案解析部分

一、选择题：

I.【答案】C

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

【解析】【解答】解：z=号+2i=+2i=9+2i=i|z|=l,

l+l211

故答案为：C。

【分析】先由复数的乘除运算求出复数Z,再由几何意义求模.

2.【答案】B

【考点】补集及其运算

【解析】【解答】解：A=(x\x2—x—2>0]—{x\x>2或x<—1}，

CRA={X|-1<X<2},

故答案为：B.

【分析】先解二次不等式求出集合A,再进行补集运算.

3.【答案】A

【考点】概率的应用

【解析】【解答]解:经济增长一倍，A中种植收入应为2aX37%>aX60%,

二种植收入增加，则A错。

故答案为：A

【分析】设建设前的经济收入为1,则建设后的经济收入为2,由建设前后的经济收入饼图对比,对各选项分析

得到正确答案.

4.【答案】B

【考点】等差数列的性质

【解析】【解答】解：3s3=S2+S46+3a3=a3+a4qa2=5az+a3=4a2=a3，又ai=2,

d=-3.

则的=%+4d=2—12=-10,

故答案为：Bo

【分析】由等差数列的的前n项和公式将条件列出关于公差d的方程，求出d,得到通项公式，再求值.

5.【答案】D

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：</(%)=%3+(a-I)%2+ax,且f(x)是奇函数，

a-l=00a=l,/(%)=/+%=//(%)=3x2+1.

:广(0)=1.

:y-0=x-00y=x.

故答案为：D.

【分析】由函数f(x)是奇函数，求出a=l得到函数的解析式，再由导数的几何意义求在点(0,0)处的切线方

程。

6.【答案】A

【考点】平面向量的基本定理及其意义

【解析［［解答］解：eB=AB-AE=AB-^AD^^AB-^AC,

故答案为：Ao

【分析】以向量屈和左为基底向量，由点E是AD的中点将向量藐表示为,再由点D是BC

的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.

7.【答案】B

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解：画出圆柱侧面展开图如图：

MN=46+4=2V5,

故答案为：Bo

【分析】侧面上MN的最短距离就是圆柱的侧面展开图MCDE中的MN,其中MC=2,CN=4,在直角三角形MCN

中求出MN.

8.【答案】D

【考点】抛物线的应用

2

【解析】【解答】解：设｛‘MN：y=Kx+2)n/一5%+4=0,

y2=4x

:与=1,%2=4，即月=2,%=4，

™=(xi-l,yj前=(x2-l,y2),

~FM-FN(%1-1)(久2-1)+y，2=8,

故答案为：D»

【分析】将直线方程代入到抛物线方程中，消去y得到关于x的二次方程，结合韦达定理,由平面向量的数量

积的坐标运算求出值.

9.【答案】C

【考点】分段函数的应用

【解析】【解答】由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函数f(x)和丫=«r的图象如图:

当直线y=-x-a的截距-avi,即a2-l时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，

故实数a的取值范围是+8),

故答案为：C

【分析】作出分段函数的图象，函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形

得到a的范围.

10.【答案】A

【考点】几何概型

【解析】【解答】解：记三角形区域面积为Si，黑色部分面积为S2,AB=a,AC=b,BC=c.则C2=az+b2,

Si=1ab,S2=，喳:+祗—里二砌』.

即S1=S2,

故答案为：A.

【分析】先求出三个部分的面积，再由几何概型概率公式求出概率，再比较大小.

11.【答案】B

【考点】双曲线的应用

【解析】【解答】解：双曲线C：9—y2=i的渐近线方程为g二士白羽渐近线夹角为60。，/MON=60。，

不妨设NOMN=90°,/MNO=30°/FON=30。，即\FN\=2,\MF\=1,

\MN\=|FN|+\MF\=2+1=3,

故答案为：B.

【分析】由于/MON不是直角，则只可能NOMN,-ONM为直角，则由渐近线的方程求出斜率，得到

MN的斜率，求出直线MN的方程，与渐近线方程联立求出M,N的坐标，再求|MN|.

12.【答案】A

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】解：如图截面，S=6x(¥)2xf=W,

故答案为：A.

【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面a所成的角相等，得到平面a与其中一条对角线垂直,此时截

面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值.

二、填空题

13.【答案】6

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】解：z=3x+2y,过点A(2,0)时，Zmax=3X2+2X0=6.

【分析】作出平面区域，平移目标直线，得到最优解，求出最大值.

14.【答案】-63

【考点】数列的求和，数列递推式

【解析】【解答】解：:Sn=2an+1,令n=1,%=—1.

^^n-i=2a九一1+1，作差，

••—2a九2a九一1—。九=2a八_］，

n-1

「.an=-2,

一26-l_

••Sf.=-1-----=-63o

b2-1

【分析】将n换成n；得到另一个式子，两式相减得到数列的递推关系式，得到数列｛%J为等比数列，求出

通项公式求再求Sn.

15.【答案】16

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】，没有女生入选有盘=4种选法，

从6名学生中任意选3人有俏=20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，

故答案为：16.

【分析】由至少有女生不入选，分成1女2男和3男两类，由组合数公式求选法种数.

16.【答案】-逋

2

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，三角函数的最值

【解析】【解答】解：由题意得：T=2n是/(%)=2sin%+sin2%的一个周期。

只需要考虑函数在［0,2兀)上的值域，

先求该函数在［0,2凡)上的极值点

/(%)=2sinx+sin2x=f/(%)=2(2cos2%+cosx—1)=2(cosx+l)(2cosx—1)，

令//(%)=0可得：cos%=1或cosx=-1

此时x=g或早

y=2sinx+sin2%的最小值只能在点x=三，兀或号和边界点x=0中取到，计算可得/(；)=

手，"兀)=0/(争=一子,f(0)=0

函数的最小值为：

2

【分析】求出函数的导数，由导数研究函数的单调性求出最值.

pn

17.【答案】(1)解：在AABD中，由正弦定理得一-=

sin""

由题设知，>OB，所以sin4DB=?•

sin45sin-MBsin5

由题设知，/ADB<90°,所以COS^ADB=I1--=-

(2)解：由题设及(1)知，^ZBDC=^ZADB=—.

crossin5

在ABCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD•DC•CGS/BDC

lV2

—25+8-2x5x2A/2X—

——25.

所以BC=5.

【考点】三角形中的几何计算

【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出sin^ADB，再由同角关系式求出cos/ADB；(2)

由/4。。=90。，求出cosBDC，再在/BDC中由余弦定理求出BC.

18.【答案】(1)解：由已知可得，BF±PF,BF±EF,又PFCEF=F,

：.BF_L平面PEF.

又BFu平面ABFD,

平面PEF_L平面ABFD.

(2)解：作PH_LEF,垂足为H.由(1)得，PH_L平面ABFD.

以H为坐标原点，ffF的方向为y轴正方向，|即|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得，DE_LPE.又DP=2,DE=1,所以PE=V3.又PF=LEF=2,故PEJ_PF.

可得PH=—,EH=--

22

则H(0,0,0),P(0,0,y),0(-l,-|,0),©P=游=(0Q净为平面ABFD的法向量・

3r-

设DP与平面ABFD所成角为3,则8=|q％|=与=宜.

Sin1\HP\-\DP\1V34

,DP与平面ABFD所成角的正弦值为—.

4

【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角

【解析】【分析】⑴在翻折过程中，作PHLEF于H,由PF1BF得到PH1面ABCD，从而得到面面垂

直;(2)DP与平面所成的角就是/PDH，在三角形中求其正弦值.

19.【答案】(1)解：由已知得F(l,0),I的方程为x=l.

由己知可得，点A的坐标为(1净或(1,一当.

所以AM的方程为y=-y%+/或y=yx-V2.

(2)解：当I与x轴重合时，ZOMA=NOMB=0。.

当I与x轴垂直时，0M为AB的垂直平分线，所以^OMA=NOMB.

当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y=旗久一l)(k40),401，乃),3(久2，%)，

则刀1<鱼,久2</，直线MA,MB的斜率之和为即14+k“B=[]+潦^.由V1=或1一/£,丫2=

kx-k得1+k=士+：：)+..将y=k(_1)代入式+2=1得(21+l)x2-4k2X+

2MB[•X]—Z八%2—勾x2

2k2—2=0.所以，+%2=2：；+J%久2—,则2kxig—3k(%i+x2)+4k=

4fc3-4fc-12fc3+8fc3+4fc八

------^71------=0'

从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补，所以^OMA=/OMB.

综上，ZOMA=/OMB.

【考点】椭圆的应用

【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标，得到直线1的方程，代入椭圆方程中求出点A,B的坐标，再求出

直线AM的方程;(2)^OMA=NOMB等价于直线MA,MB的斜率互为相反数，设出直线I的方程代入到椭

圆的方程中，消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线MA,MB的斜率的和为0,得证.

2

20.【答案】(1)解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=c^0p(l-p)】8.因此

f'(P)=c机2P(1-p)18-18P2(1_p)17]=2自p(l-p)17(l=lOp).

令/''(p)=0,得p=0.1.当pe(0,0.1)时，/(p)>0;当pe(0.1,1)时，,(p)<0.

所以f(P)的最大值点为p0=0.1.

(2)解：由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知丫〜8(180,0.1),X=20x2+25Y,

即X=40+25y.

所以EX=£(40+25Y)=40+25£Y=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【解析】【分析】⑴由20件产品恰有2件不合格的产品,则其余18件产品合格，得到f(p)的表达式,由导数

研究函数的单调性求出最值乂2)由题意得到X的可能取值为2,27,求出X=2和X=27时对应的概率，得到分布

列,再求期望值;(3)由于对每一箱产品都检验时费用为400元，由(2)中期望值为依据，则费用为900元,由此作

出决定.

21.【答案】(1)解：/(X)的定义域为(0,+河，/'(%)=—9—1+?=—三箸1.

若aW2,贝U,<0，当且仅当a=2,久=1时广(切=0，所以f(x)在(0,+叼单调

递减.

若a>2,令f'(x)=o得，％=匕尹或尢=51三.

z

iiz,一/八a—Va"—4、,,a+va—4,、n-4-「),、„

=1XG(0,---)U(z---,+°°)时，f(x)<0;

当(匕苧三,小岁)时，,(切>0.所以/(%)在(0,匕宇),(=三,+8)单调递减，在

上亚m”也三单调递增.

'2'2'

2

(2)解：由(1)知，/(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于/(x)的两个极值点xlfx2满足%-

ax+1=0,所以的％2=1，不妨设%i<x,则x>1.由于=一_二_1+加心厂静=

4242%1一%2%1%2%1—％2

-2+。符1-帚2=-2+a2^1

%1一%2-x2-%2，

所以"X1)-"X2)<a—2等价于5一冷+21n比2<。.

%1-％2X2

1

设函数9(%)=--%+2lnx,由(1)知，g(%)在(0,+8)单调递减，又g(l)=0,从而当％G(1,+

―)时,g(x)<0.

所以工一叼+21nx2<0,即"%)一"加<a-2.

%2%1-％2

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】⑴求出函数的导数，对a分类讨论研究函数的单调性;(2)当函数f(x)存在两个极值点时，则

函数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根，求出a的范围，不等式左边即相当于函数的导数，从而

证明不等式.

三、选考题［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.【答案】(1)解:由x=pcos0,y=Psin。得心的直角坐标方程为

(x+I)2+y2=4.

(2)解：由(1)知C2是圆心为4(—1,0),半径为2的圆.

由题设知，6是过点5(0,2)且关于y轴对称的两条射线.

记y轴右边的射线为h,y轴左边的射线为12.

由于B在圆C2的外面，

故G与。2有且仅有三个公共点等价于Z