2020届中考数学考点专项突破考点17特殊的平行四边形（含解析）

2020届中考数学考点专项突破

考点17特殊的平行四边形

&知识整告

一、矩形的性质与判定

i.矩形的性质:

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长X宽=2SA46D=4SAAO8.（如图）

2.矩形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；

（2）有三个角是直角；

（3）对角线相等的平行四边形.

二、菱形的性质与判定

1.菱形的性质：

（1）四边相等；

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角;

（3）面积=底、高=对角线乘积的一半.

2.菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形；

（3）四条边都相等的四边形.

三、正方形的性质与判定

1.正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长X边长

2.正方形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形:

（2）一组邻边相等的矩形；

（3）一个角是直角的菱形；

（4）对角线相等且互相垂直、平分.

（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都

是直角.

五、中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

也重点考向.

考向一矩形的性质与判定

1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角;

矩形的对角线相等.

2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半.

3.矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.

典例引领

典例1（2019•陕西初三期中）如图，矩形A8C。的对角线交于点O,若/氏4。=55。，则等

于

【答案】B

【解析】•.,四边形ABC。是矩形，：.OA=OB.：.ZBAO=ZABO=55°.

：.ZAOD=ZBAO+ZABO=550+55°=\10°.故选B.

典例2（2019.阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形ABCO的对角线AC与数轴重合（点C在正

半轴上），AB=5,BC=12,点A表示的数是-1,则对角线AC、8。的交点表示的数

A.5.5B.5C.6D.6.5

【答案】A

【解析】连接8。交AC于应如图所示：

•.•四边形ABCD是矩形，NB=90,AE=LAC,

2

AC=>]AB2+BC2=V52+122=13,•■­AE=6.5，

•.•点4表示的数是T,...04=1,，OE=AE-OA=5.5,...点E表示的数是5.5,

即对角线AC、8。的交点表示的数是5.5；故选A.

变式拓展

1.（2019•陕西师大附中初三月考）如图，四边形A8C。的对角线互相平分，要使它成为矩形，那

么需要添加的条件是

A.AB=BCB.AC垂直BOC.ZA=ZCD.AC=BD

2.（2019•云南初二期中）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BD交于点O,并且

ND4C=60°,NAO3=15°,点E是边上一动点，延长EO交于BC点F，当点E从点。

向点A移动过程中（点E与点。，A不重合），则四边形ARCE的变化是

A.平行四边形T菱形一平行四边形T矩形一平行四边形

B.平行四边形T矩形T平行四边形T菱形一平行四边形

C.平行四边形一矩形T平行四边形一正方形T平行四边形

D.平行四边形一矩形一菱形一正方形一平行四边形

考向二菱形的性质与判定

1.菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等;

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

2.菱形的判定：

四条边都相等的四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

典例引领

典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.一组邻边相等D.对角线互相平分

【答案】C

【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A,B,D两者均具有，而C只有

菱形具有平行四边形不具有，故选C.

【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件

,使四边形ABC。成为菱形.（只需添加一个即可）

【答案】BO=DO（答案不唯一）

【解析】四边形A8CO中，AC、8。互相垂直，若四边形A8C。是菱形，需添加的条件是：AC.BD

互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）.故答案为：BO=DO（答案不唯一）.

变式拓展

3.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为

A.45°,135°B.60°,120°

C.90°,90°D.30°,150°

4.如图，在△ABC中，是NBAC的平分线，交AB于E,。尸〃交AC于F,求证:

四边形AEDF是菱形.

nr

考向三正方形的性质与判定

1.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.

2.正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相

垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱

形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形.

典例引领

典例5（2020・宁夏初二期中）面积为9cm2的正方形以对角线为边长的正方形面积为

A.18cm2B.20cm2

C.24cm2D.28cm2

【答案】A

【解析】；正方形的面积为9cm1.♦.边长为3cm,根据勾股定理得对角线长=律淳=3及cm,

A以3行为边长的正方形的面积=（3&『=18cm?.故选A.

典例6（2019•重庆初三期中）如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=BC=4,把△ABC绕点A逆时针

旋转45。得到△4OE,过点C作CFLAE于凡OE交CF于G,则四边形AOGF的周长是

A.8B.4+40C.8+->/2D.80

【答案】D

【解析】如图，连接AG,

VZB=90°,AB=BC=4,：.ZCAB=ZACB=45°,AC=4近，；把△ABC绕点A逆时针旋转45。得到

△AOE,：.AD=AB=4,N£4。=/048=45°,/.ZMB=90°,CD=AC-AD=4^2-4,

；/8=90°=/F48,CFLAE,二四边形ABCF是矩形，且A8=8C=4,

，四边形A8CF是正方形，：.AF=CF=AB=4=AD,NAFC=/FC8=90。，

/.ZGCD=45°,且/GQC=90°,:.NGCD=NCGD=45。,；.CO=G£>=4血-4,

'：AF=AD,AG=AG,:.Rt4AGF经Rt4AGD(HL),：.FG=GD=4^2-4,

/.四边形ADGF的周^=AF+AD+FG+GD=4+4+4Q-4+40-4=80,故选D.

变式拓展

5.（2019•山东初三期中）如图，在正方形A8C。内一点E连接BE、CE,过C作CFLCE与BE

延长线交于点尸，连接。尸、DE.CE=CF=l,DE=瓜,下列结论中：①ACBE也△COP；②B尸

1DF；③点。到CF的距离为2；④S㈣.DECL0+1.其中正确结论的个数是

6.（2020・陕西初三期末）如图，在正方形ABCC中，BE=FC,CF=2FD,AE、BF交于点G,

下列结论中错误的是

A.AELBFB.AE=BF

4

C.BG=—GED.S四边形C£GF=SABG

考向四中点四边形

1.中点四边形一定是平行四边形;

中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.

典例引领

典例7如图，任意四边形ABCO中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,D4上的点，对于四边形

EFG〃的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是

A.当E,F,G,H是各边中点，且AC=8O时，四边形EFGH为菱形

B.当E,F,G,，是各边中点，且ACLBO时，四边形EFGH为矩形

C.当E,F,G,”不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E,F,G,”不是各边中点时，四边形EFG”不可能为菱形

【答案】D

【解析】A.当E,F,G,”是四边形488各边中点，且AC=B。时，存在EF=FG=GH=HE,故

四边形EFGH为菱形，故A正确；

B.当E,F,G,”是四边形A8CD各边中点，且ACL8O时，存在NEFG=NFGH=NGHE=9。：

故四边形EFG/7为矩形，故B正确；

C.如图所示，当E,F,G,，不是四边形各边中点时，若E/〃HG,EF=HG,则四边形E尸GH

为平行四边形，故C正确；

D.如图所示，当E,F,G,H不是四边形48CZ）各边中点时，若EF=FG=GH=HE,则四边形EFG”

为菱形，故D错误，故选D.

E___?

A

H

C

G

B

变式拓展

7.顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.梯形

8.如图，我们把依次连接任意四边形ABCO各边中点所得四边形EFG4叫中点四边形.若四边形

ABCQ的面积记为与，中点四边形EFG”的面积记为S2,则，与S2的数量关系是

A.SI=3S2B.2sI=3S2

C.SI=252D.3SI=4S2

、声点冲交

1.如图，矩形ABC。的对角线AC与BD相交于点O,ZADB=30°,A8=4,贝I」0C=

A.5B.4C.3.5D.3

2.（2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,BD交于点

O,已知NAO£>=120。，AC=16,则图中长度为8的线段有

3.如图，在长方形ABC。中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折叠，使点C与点4重合，则折痕EF

的长为

4.如图，菱形ABC。的对角线交于点O,AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为

5555

5.（2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱形A8CO中，NADC=72°,AO的垂直

平分线交对角线8。于点P,垂足为E,连接CP,则/CP8的度数是

A.108°B.72°C.90°D.100°

6.（2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别在边BC,

C。上，且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是

A.AE=BF

C.NAEB+NBFC=90°D.AE1.BF

7.如图，矩形ABC。中将其沿E尸翻折后，。点恰落在B处，ZBFE=65°,则.

8.(2018•陕西初三期末)如图，尸为正方形ABCQ内一点，且8P=2,PC=3,ZAPB=135°,将

绕点8顺时针旋转90。得到ACPB,连接PP,贝UAP=_______.

9.如图，在ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.

(1)求证：四边形A8CZ)是矩形;

(2)求8。的长.

10.(2020•内蒙古初三期末)如图，4ABC中，AB=AC=\,ZBAC=45°,AAEF是由AABC绕点A

按顺时针方向旋转得到的，连接BE,CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACQE为菱形时，求5。的长.

BC

11.(2020.呼和浩特市第十三中学初二期中)如图，AABC中，点。是AC边上的一个动点，过点

O作直线MN//BC,交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由：

(2)当点。运动到何处时，四边形AEC尸是矩形？并说出你的理由：

(3)在(2)的条件下，当AABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形.直接写出答案，

不需说明理由.

直通中考

1.(2019•重庆)下列命题正确的是

A.有一个角是直角的平行四边形是矩形

B.四条边相等的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形

D.对角线相等的四边形是矩形

2.（2019•天津）如图，四边形ABCO为菱形，A，8两点的坐标分别是（2,0）,（0,1）,点C,

。在坐标轴上，则菱形A8CD的周长等于

A.75B.4>/3C.475D.20

3.（2019•安徽）如图，在正方形中，点E,尸将对角线AC三等分，且AC=12,点尸在正

方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

4.（2019•湖北孝感）如图，正方形A8CZ）中，点EF分别在边CD,AO上，BE与CF交于点G.若

BC=4,OE=AF=1,则GF的长为

5.（2019•天津）如图，正方形纸片43co的边长为12,我是边CO上一点，连接AE.折叠该

纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点5,得到折痕BE,点F在AD上.若OE=5,

则GE的长为.

6.（2019•浙江杭州）如图，把某矩形纸片ABCZ）沿EF、G”折叠（点E、H在AO边上，点F、

G在3c边上），使得点8、点C落在AO边上同一点尸处，A点的对称点为4点，。点的对称

点为以点，若？FPG90?,八4丘的面积为4,△£）中”的面积为1,则矩形ABCD的面积等

于.

7.（2019•湖北十堰）如图，己知菱形A8CD的对角线AC,8。交于点O,E为BC的中点，若OE=3,

则菱形的周长为

8.（2019•湖南长沙）如图，正方形ABCD,点E,尸分别在A。，CD±.,且。E=CF,4尸与BE相

交于点G.

（1）求证：BE=AF；

(2)若A8=4,DE=1,求AG的长.

9.（2019•湖南怀化）已知：如图，在。ABCD中，AELBC,CFLAD,E,尸分别为垂足.

（1）求证：△ABE0XCDF；

（2）求证：四边形AEC尸是矩形.

10.（2019•湖南岳阳）如图，在菱形4BC。中，点E.F分别为AD.C。边上的点，DE=DF,求证:

Z1=Z2.

11.（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、上的一点，KDF=BE.求证:

AF=CE,

12.(2019•江西)如图，四边形ABCD,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求

证：四边形ABC。是矩形.

13.(2019•浙江宁波-10分)如图，矩形E/G”的顶点E,G分别在菱形ABC。的边AD,BC上,

顶点F,”在菱形ABC。的对角线BO上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若E为A。中点，FH=2,求菱形ABCQ的周长.

1.【答案】D

【解析】结合选项可知，添加AC=BZ),

1•四边形ABCD的对角线互相平分，•••四边形ABCD是平行四边形,

•：AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，.•.四边形A8CD是矩形,故选D.

2.【答案】A

【解析】点E从。点向A点移动过程中，当NE0ZX15。时，四边形A尸CE为平行四边形，当N

及2=15。时，ACLEF,四边形AFCE为菱形，

当15。＜/后0£＞＜75。时，四边形AFCE为平行四边形，

当/EOO=75。时，ZAEF=90°,四边形AFCE为矩形，

当75。＜/£'。。＜105。时，四边形AFCE为平行四边形，故选A.

3.【答案】B

【解析】如图，由题意知AB=8C=4C,

•••AB=BC=AC,^ABC为等边三角形，即ZB=60。，根据平行四边形的性质，

ZBAD=186—66102故选B.

4.【解析】,..QE〃AC,DF//AB,

四边形AEDF为平行四边形，

：.ZFAD=ZEDA,

是N84C的平分线，：.4EAD=4FAD,：.ZEAD=ZEDA,

：.AE=ED,二四边形尸是菱形.

5.【答案】B

【解析】•.,四边形A8CO是正方形，.••BCnCQ,ZBCD=90°,

•：CF1CE,：.ZECF=ZBCD=90°,:.NBCE=NDCF,

BC=CD

在ABCE与ADCF中，,NBCE=NDCF,.•.△BCE段ADCF(SAS),故①正确；

CE=CF

VABCE^ADCF,AZCBE=ZCDF,：.ZDFB=ZBCD=90°.：.BF±ED,

故②正确，

过点。作。交CF的延长线于点M,

'1M

B

：/EC尸=90°,FC=EC=l,；.NCFE=45°,

VZDFM+ZCFB^90°,：.ZDFM=ZFDM^45°,：.FM=DM,，由勾股定理可求得：EF=0,

.•.由勾股定理可得：。尸=2,

•/E舁+BE2=2BE2=BF2,二DM=FM=近,故③错误,

△BC%△QCF,SXBCE=S&DCF,

故④错误，故选B.

6.【答案】C

【解析】在正方形A8CO中，AB=8C,/A8E=/C=90,

又〈BE=CF,:.△ABE^ABCF(SAS),：.AE=BF,NBAE=NCBF,

：.ZFBC+ZBEG=ZBAE+ZBEG=90°,：.ZBGE=90°,J.AEVBF.故4、B正确；

AB3

CF=2FD,：.CF:CD=2:3,,:BE=CF,AB=CD,：.—=一，

BE2

ZEBG+ZABG^ZABG+ZBAG=90°,：.NEBG=NBAG,

BGAD3

VZ£GB=ZAB£=90°,:.△BGEs^ABE,：.—•=•—==，故C不正确，

GEBE2

/\ABE^/S.BCF,；.SA48E=SA8FC,；•SAA8E-SABEG=SA/LSA8EG,二5四边道CEG/=SAA8G，

故。正确.故选c.

7.【答案】C

【解析】•••顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形,

当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C.

8.【答案】c

【解析】如图，设AC与E”、FG分别交于点N、P,BD与EF、"G分别交于点K、Q,

是4B的中点，F是BC的中点，：.EF//AC,

同理可证:AEBKs/\ABM,/\AEN^/\EBK,

S&EBK10c.S四边形£KMN1ete—r4HS四边形KQM1

-=—,SAAEN=S&EBK，••------------=—,I可理nJfJ----------=—

'△ABM48M2'ABCM2

S四边形QGPM1S四边形HQMN1.S四边形EFGH1

=

,，,•-Q=

^ADCM2S&DAM3四边形A8CO2

•..四边形A8c。的面积记为SI,中点四边形EFG”的面积记为S2,则Si与$2的数量关系是

SI=2S2.故选C.

考点冲关

------

1.【答案】B

【解析】•••四边形A8c。是矩形，；.AC=8。，OA^OC,N8W=90。，•/ZADB=30°,工

AC=BD=2AB=S,；.0C=LC=4.故选B.

2

2.【答案】D

【解析】：AC=16,四边形A8CD是矩形，

ADC^AB,BO^DO=-BD,A0=0C=-AC=8,BD=AC,

22

，BO=OD=AO=OC=8,

VZAOD^\20°,：.ZAOB=600,，△4B0是等边三角形，

：.AB=AO=S,：,DC=S,即图中长度为8的线段有A。、CO、BO、DO、AB、DC共6条,故选D.

3.【答案】B

【解析】如图，连接4E根据折叠的性质，得E尸垂直平分AC,则AF=CE设AF=x,则

25

BF=4-x,在中，根据勾股定理，得f=9+(4—x)2,解得了=彳.

O

在RtAABC中，根据勾股定理，得AC=5,贝i」AO=2.5.

在RtZXAOR中，根据勾股定理，得。尸=称，

O

根据全等三角形的性质，可以证明OE=OF,则七/=£.故选B.

4.【答案】B

【解析】,菱形A8CD的对角线AC=8cm,BP=6cm,：.AC±BD,04=—AC=4cm,0B=一

22

80=3cm,根据勾股定理，AB=yJOA'+OB2=742+32=5(cm).设菱形的高为力，则菱

11?424

形的面积=AB/=—ACB。，即5〃=—x8x6,解得。=——，即菱形的高为一cm.故选B.

2255

5.【答案】B

【解析】如图，连接4尸，..•在菱形ABCZ)中，ZADC=12°,8。为菱形A8CZ)的对角线，

I

ADP=NCDP=-ZADC=36°.

2

的垂直平分线交对角线8。于点P,垂足为E,；.PA=PD.

，ZDAP=ZADP=36°.：.ZAPB=ZDAP+ZADP=72°.

又•.,菱形ABCD是关于对角线8。对称的，NCP8=/APB=72。.故选B.

D

6.【答案】C

【解析】：AO//3C,:.NDAE=NAEB,'：BE=CF,AB=BC,NABE=NBCF,.♦.△ABE安LBCF,

：.AE=BF,NDAE=NBFC,；NFBC+NBFC=90°,NAEB=NBFC,：.ZFBC+AEB^90°,：.AE

±BF,所以A、B、。三个选项正确，NAEB=NBFC,故C选项错误，故选C.

7.【答案】50°

【解析】如图所示，

由矩形A8C。可得AD〃8C,；.N1=NBFE=65°,由翻折得/2=/1=65。，

/.ZAEB=180°-Z1-Z2=180°-65o-65o=50°.故答案为：50°.

8.【答案】1

【解析】•.•△BP'C是由ABPA旋转得到，二乙4尸B=NCP'8=135°,NABP=NCBP',BP=BP,AP=CP',

：NA8P+/P8c=90。，：.ZCBP'+ZPBC^°,即/F8/>=90。，二△8PP是等腰直角三角形，

ZBP'P=45°,,.,/A/'8=/CP'8=135°,ZPP'C=90°,VHP=2,：.PP'=^BP2+BP'272-

；PC=3,CP'=Jpc?_ppQ==I,：,AP^CP'=\,故答案为1.

B

P'

9.【解析】（1）；A8=6,8c=8,AC=10,J.AB^B^AC2,：.ZABC^90°,

•.•四边形ABC。是平行四边形，A8CO是矩形.

（2）•..四边形ABCD是矩形，：.BD=AC=\O.

10.【解析】（1）•.•△4E尸是由△A8C绕点4按顺时针方向旋转得到的，

：.AE=AB,AF^AC,/EAF=NBAC,

：.ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,BPZEAB=ZFAC,

AC=AB

在AAC/7和AABE中，＜ZCAF=NBAE,：.^ACF^/\ABE,

AF^AE

：.BE=CF.

（2）•.,四边形ACDE为菱形，A8=AC=1,:.DE=AE=AC=AB=1,AC//DE,

：./AEB=NABE,NABE=NBACH5°,NAE8=/ABE=45°,

.••△/18后为等腰直角三角形，；.8£'=&4。=&,；.8/：＞=8F-。后=夜—1.

11.【解析】（1）OE=OF,理由如下：

因为CE平分NAC8,所以N1=N2,又因为MN〃BC,所以N1=N3,所以N3=/2,所以EO=CO,

同理，FO=CO,所以OE=O只

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如卜；

因为OE=OR点。是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为C尸平分NBC4的

外角，所以N4=N5,又因为N1=N2,所以Nl=/2,Z2+Z4=-xl80°=90°,即NECF=90°,

2

所以平行四边形AEC尸是矩形.

（3）当△A8C是直角三角形时，即NAC8=90。时，四边形AECF是正方形，理由如下：

由（2）证明可知，当点。运动到AC的中点时，四边形力ECF是矩形，又因为/AC8=90。，CE,

CN分别是乙4cB与NACB的外角的平分线，所以Nl=/2=/3=N4=N5=45。，所以ACLMN,

所以四边形AECF是正方形.

直通中考

-----

1.【答案】A

【解析】A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B.四条边都相等的四边形是

菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误：对角线相等且相互平分

的四边形是矩形，则D错误；故选A.

【名师点睛】本题考查J'矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形：

2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相

等的平行四边形是矩形.

2.【答案】C

【解析】•••菱形A8CO的顶点4,8的坐标分别为(2,0),(0,1),

：.AO=2,OB=\,AC1BD,

由勾股定理知：AB=y/BCP+OA2=Vl2+22=V5-

•.•四边形A8CD为菱形，

:.AB=DC=BC=AD=y/i,

菱形ABC。的周长为：475,故选C.

【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长足解

题关键.

3.【答案】D

【解析】如图，过E点作关于48的对称点则当D,P,F三点共线时PE+P尸取最小值，

VZEAP=45°,：.^EAE'=90°,

^'：AE=EF=AE'=4,

•■PE+PF的最小值为E'F=^AF2+AE'2=A/82+42=780，

••♦满足陪"=9=庖，

在边AB上存在两个尸点使PE+PF=9,

同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，

•••满足PE+PF=9的点P的个数是8,故选D.

【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运

用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.

4.【答案】A

【解析】正方形A8CZ)中，；BC=4,

：.BC=CD=AD=4,ZBCE=ZCDF=90Q,

\"AF=DE=\,:.DF=CE=3,:.BE=CF=5,

BC=CD

在和△€!)尸中，＜ZBCE=ZCDF,

CE=DF

:./XBCE刍4CDF(SAS),:.NCBE=NDCF,

'：ZCBE+ZCEB=ZECG+ZCEB=90°=ZCGE,

BCCG

cosZCBE=cosZECG=-----=,

BECE

4CG121213

一=-----，CG——，GF-CF-CG-5--=—,

53555

故选A.

【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函

数，证明△8CEZ4CDF是解本题的关键.

49

5.【答案】—

13

【解析】如图，令AE与B尸的交点为死

在正方形A8CD中，NBAD=ND=90°,

H

，ZBAM+ZFAM=90°,

在RtA4DE中，AE=7AD2+DE2=A/122+52=13'

,/由折叠的性质可得△ABE&AGM，

：.AB=BG,NFBA=NFBG,

...8尸垂直平分AG,

；.AM=MG,NA仞8=90°，

ZBAM+ZABM=9Q°,

ZABM=ZFAM,

l\ARMs△FAO.

AMAB.AM12

^E~~AE513

60120

•AM=—,.".AG------

1313

120_49

GE=13

1T-T3

【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定

和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

6.【答案】675+10

【解析】"：A'E//PF,：.ZA'EP=ZD'PH,

又,.•/A=NA'=90°,ND=NO'=90°,/.ZA'=ZD',，△AEP〜△OP”,

乂；A8=C£>,AB^A'P,CD^D'P,：.A'P^DP,

设A'P=D'P=x,

12

：SA/VEP：SAZ>PH=4：1,：.A'E=2D'P=2x,：.S&AEP=-XAExA'P-x2xxxx4,

22

X>0.，x=2,：.A'P=D'P=2,：.A'E=2D'P=4,

•*-EP=+A产="2+2?=2后-

APH=-EP=>f5,：.DH=D'H=-A'P=\,

22

/.AO=AE+EP+PH+£>"=4+2石+石+1=5+35

AB=A'P=2，

S矩形4g8=A8XAZ)=2X(3^5+5)=6^5+