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文档简介
2020届中考数学考点专项突破
考点17特殊的平行四边形
&知识整告
一、矩形的性质与判定
i.矩形的性质:
(1)四个角都是直角;
(2)对角线相等且互相平分;
(3)面积=长X宽=2SA46D=4SAAO8.(如图)
2.矩形的判定:
(1)定义法:有一个角是直角的平行四边形;
(2)有三个角是直角;
(3)对角线相等的平行四边形.
二、菱形的性质与判定
1.菱形的性质:
(1)四边相等;
(2)对角线互相垂直、平分,一条对角线平分一组对角;
(3)面积=底、高=对角线乘积的一半.
2.菱形的判定:
(1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形;
(2)对角线互相垂直的平行四边形;
(3)四条边都相等的四边形.
三、正方形的性质与判定
1.正方形的性质:
(1)四条边都相等,四个角都是直角;
(2)对角线相等且互相垂直平分;
(3)面积=边长X边长
2.正方形的判定:
(1)定义法:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形:
(2)一组邻边相等的矩形;
(3)一个角是直角的菱形;
(4)对角线相等且互相垂直、平分.
(5)相邻两边相等;(6)有一个角是直角,相邻两边相等;(7)四边相等;(8)有三个角都
是直角.
五、中点四边形
(1)任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
(2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
(3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
(4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
也重点考向.
考向一矩形的性质与判定
1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外,还具有自己单独的性质,即:矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等.
2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜
边的一半.
3.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.
典例引领
典例1(2019•陕西初三期中)如图,矩形A8C。的对角线交于点O,若/氏4。=55。,则等
于
【答案】B
【解析】•.,四边形ABC。是矩形,:.OA=OB.:.ZBAO=ZABO=55°.
:.ZAOD=ZBAO+ZABO=550+55°=\10°.故选B.
典例2(2019.阜阳市第九中学初二期中)如图,矩形ABCO的对角线AC与数轴重合(点C在正
半轴上),AB=5,BC=12,点A表示的数是-1,则对角线AC、8。的交点表示的数
A.5.5B.5C.6D.6.5
【答案】A
【解析】连接8。交AC于应如图所示:
•.•四边形ABCD是矩形,NB=90,AE=LAC,
2
AC=>]AB2+BC2=V52+122=13,•■AE=6.5,
•.•点4表示的数是T,...04=1,,OE=AE-OA=5.5,...点E表示的数是5.5,
即对角线AC、8。的交点表示的数是5.5;故选A.
变式拓展
1.(2019•陕西师大附中初三月考)如图,四边形A8C。的对角线互相平分,要使它成为矩形,那
么需要添加的条件是
A.AB=BCB.AC垂直BOC.ZA=ZCD.AC=BD
2.(2019•云南初二期中)如图,在平行四边形ABC。中,对角线AC、BD交于点O,并且
ND4C=60°,NAO3=15°,点E是边上一动点,延长EO交于BC点F,当点E从点。
向点A移动过程中(点E与点。,A不重合),则四边形ARCE的变化是
A.平行四边形T菱形一平行四边形T矩形一平行四边形
B.平行四边形T矩形T平行四边形T菱形一平行四边形
C.平行四边形一矩形T平行四边形一正方形T平行四边形
D.平行四边形一矩形一菱形一正方形一平行四边形
考向二菱形的性质与判定
1.菱形除了具有平行四边形的一切性质外,具有自己单独的性质,即:菱形的四条边都相等;
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
2.菱形的判定:
四条边都相等的四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
典例引领
典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等
C.一组邻边相等D.对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较,可发现A,B,D两者均具有,而C只有
菱形具有平行四边形不具有,故选C.
【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
典例4如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件
,使四边形ABC。成为菱形.(只需添加一个即可)
【答案】BO=DO(答案不唯一)
【解析】四边形A8CO中,AC、8。互相垂直,若四边形A8C。是菱形,需添加的条件是:AC.BD
互相平分(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).故答案为:BO=DO(答案不唯一).
变式拓展
3.已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为
A.45°,135°B.60°,120°
C.90°,90°D.30°,150°
4.如图,在△ABC中,是NBAC的平分线,交AB于E,。尸〃交AC于F,求证:
四边形AEDF是菱形.
nr
考向三正方形的性质与判定
1.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.
2.正方形的判定:以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相
垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱
形,再根据相应判定方法证明四边形是正方形.
典例引领
典例5(2020・宁夏初二期中)面积为9cm2的正方形以对角线为边长的正方形面积为
A.18cm2B.20cm2
C.24cm2D.28cm2
【答案】A
【解析】;正方形的面积为9cm1.♦.边长为3cm,根据勾股定理得对角线长=律淳=3及cm,
A以3行为边长的正方形的面积=(3&『=18cm?.故选A.
典例6(2019•重庆初三期中)如图,在△ABC中,ZB=90°,AB=BC=4,把△ABC绕点A逆时针
旋转45。得到△4OE,过点C作CFLAE于凡OE交CF于G,则四边形AOGF的周长是
A.8B.4+40C.8+->/2D.80
【答案】D
【解析】如图,连接AG,
VZB=90°,AB=BC=4,:.ZCAB=ZACB=45°,AC=4近,;把△ABC绕点A逆时针旋转45。得到
△AOE,:.AD=AB=4,N£4。=/048=45°,/.ZMB=90°,CD=AC-AD=4^2-4,
;/8=90°=/F48,CFLAE,二四边形ABCF是矩形,且A8=8C=4,
,四边形A8CF是正方形,:.AF=CF=AB=4=AD,NAFC=/FC8=90。,
/.ZGCD=45°,且/GQC=90°,:.NGCD=NCGD=45。,;.CO=G£>=4血-4,
':AF=AD,AG=AG,:.Rt4AGF经Rt4AGD(HL),:.FG=GD=4^2-4,
/.四边形ADGF的周^=AF+AD+FG+GD=4+4+4Q-4+40-4=80,故选D.
变式拓展
5.(2019•山东初三期中)如图,在正方形A8C。内一点E连接BE、CE,过C作CFLCE与BE
延长线交于点尸,连接。尸、DE.CE=CF=l,DE=瓜,下列结论中:①ACBE也△COP;②B尸
1DF;③点。到CF的距离为2;④S㈣.DECL0+1.其中正确结论的个数是
6.(2020・陕西初三期末)如图,在正方形ABCC中,BE=FC,CF=2FD,AE、BF交于点G,
下列结论中错误的是
A.AELBFB.AE=BF
4
C.BG=—GED.S四边形C£GF=SABG
考向四中点四边形
1.中点四边形一定是平行四边形;
中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
典例引领
典例7如图,任意四边形ABCO中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,D4上的点,对于四边形
EFG〃的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=8O时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,,是各边中点,且ACLBO时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,”不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,”不是各边中点时,四边形EFG”不可能为菱形
【答案】D
【解析】A.当E,F,G,”是四边形488各边中点,且AC=B。时,存在EF=FG=GH=HE,故
四边形EFGH为菱形,故A正确;
B.当E,F,G,”是四边形A8CD各边中点,且ACL8O时,存在NEFG=NFGH=NGHE=9。:
故四边形EFG/7为矩形,故B正确;
C.如图所示,当E,F,G,,不是四边形各边中点时,若E/〃HG,EF=HG,则四边形E尸GH
为平行四边形,故C正确;
D.如图所示,当E,F,G,H不是四边形48CZ)各边中点时,若EF=FG=GH=HE,则四边形EFG”
为菱形,故D错误,故选D.
E___?
A
H
C
G
B
变式拓展
7.顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是
A.平行四边形B.菱形
C.矩形D.梯形
8.如图,我们把依次连接任意四边形ABCO各边中点所得四边形EFG4叫中点四边形.若四边形
ABCQ的面积记为与,中点四边形EFG”的面积记为S2,则,与S2的数量关系是
A.SI=3S2B.2sI=3S2
C.SI=252D.3SI=4S2
、声点冲交
1.如图,矩形ABC。的对角线AC与BD相交于点O,ZADB=30°,A8=4,贝I」0C=
A.5B.4C.3.5D.3
2.(2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在矩形ABC。中,对角线AC,BD交于点
O,已知NAO£>=120。,AC=16,则图中长度为8的线段有
3.如图,在长方形ABC。中,AB=3,BC=4,若沿折痕EF折叠,使点C与点4重合,则折痕EF
的长为
4.如图,菱形ABC。的对角线交于点O,AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为
5555
5.(2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在菱形A8CO中,NADC=72°,AO的垂直
平分线交对角线8。于点P,垂足为E,连接CP,则/CP8的度数是
A.108°B.72°C.90°D.100°
6.(2018•贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在正方形ABC。中,点E,尸分别在边BC,
C。上,且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是
A.AE=BF
C.NAEB+NBFC=90°D.AE1.BF
7.如图,矩形ABC。中将其沿E尸翻折后,。点恰落在B处,ZBFE=65°,则.
8.(2018•陕西初三期末)如图,尸为正方形ABCQ内一点,且8P=2,PC=3,ZAPB=135°,将
绕点8顺时针旋转90。得到ACPB,连接PP,贝UAP=_______.
9.如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10.
(1)求证:四边形A8CZ)是矩形;
(2)求8。的长.
10.(2020•内蒙古初三期末)如图,4ABC中,AB=AC=\,ZBAC=45°,AAEF是由AABC绕点A
按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACQE为菱形时,求5。的长.
BC
11.(2020.呼和浩特市第十三中学初二期中)如图,AABC中,点。是AC边上的一个动点,过点
O作直线MN//BC,交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由:
(2)当点。运动到何处时,四边形AEC尸是矩形?并说出你的理由:
(3)在(2)的条件下,当AABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形.直接写出答案,
不需说明理由.
直通中考
1.(2019•重庆)下列命题正确的是
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
2.(2019•天津)如图,四边形ABCO为菱形,A,8两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,
。在坐标轴上,则菱形A8CD的周长等于
A.75B.4>/3C.475D.20
3.(2019•安徽)如图,在正方形中,点E,尸将对角线AC三等分,且AC=12,点尸在正
方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是
4.(2019•湖北孝感)如图,正方形A8CZ)中,点EF分别在边CD,AO上,BE与CF交于点G.若
BC=4,OE=AF=1,则GF的长为
5.(2019•天津)如图,正方形纸片43co的边长为12,我是边CO上一点,连接AE.折叠该
纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点5,得到折痕BE,点F在AD上.若OE=5,
则GE的长为.
6.(2019•浙江杭州)如图,把某矩形纸片ABCZ)沿EF、G”折叠(点E、H在AO边上,点F、
G在3c边上),使得点8、点C落在AO边上同一点尸处,A点的对称点为4点,。点的对称
点为以点,若?FPG90?,八4丘的面积为4,△£)中”的面积为1,则矩形ABCD的面积等
于.
7.(2019•湖北十堰)如图,己知菱形A8CD的对角线AC,8。交于点O,E为BC的中点,若OE=3,
则菱形的周长为
8.(2019•湖南长沙)如图,正方形ABCD,点E,尸分别在A。,CD±.,且。E=CF,4尸与BE相
交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若A8=4,DE=1,求AG的长.
9.(2019•湖南怀化)已知:如图,在。ABCD中,AELBC,CFLAD,E,尸分别为垂足.
(1)求证:△ABE0XCDF;
(2)求证:四边形AEC尸是矩形.
10.(2019•湖南岳阳)如图,在菱形4BC。中,点E.F分别为AD.C。边上的点,DE=DF,求证:
Z1=Z2.
11.(2019•福建)如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、上的一点,KDF=BE.求证:
AF=CE,
12.(2019•江西)如图,四边形ABCD,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求
证:四边形ABC。是矩形.
13.(2019•浙江宁波-10分)如图,矩形E/G”的顶点E,G分别在菱形ABC。的边AD,BC上,
顶点F,”在菱形ABC。的对角线BO上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为A。中点,FH=2,求菱形ABCQ的周长.
1.【答案】D
【解析】结合选项可知,添加AC=BZ),
1•四边形ABCD的对角线互相平分,•••四边形ABCD是平行四边形,
•:AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形,.•.四边形A8CD是矩形,故选D.
2.【答案】A
【解析】点E从。点向A点移动过程中,当NE0ZX15。时,四边形A尸CE为平行四边形,当N
及2=15。时,ACLEF,四边形AFCE为菱形,
当15。</后0£><75。时,四边形AFCE为平行四边形,
当/EOO=75。时,ZAEF=90°,四边形AFCE为矩形,
当75。</£'。。<105。时,四边形AFCE为平行四边形,故选A.
3.【答案】B
【解析】如图,由题意知AB=8C=4C,
•••AB=BC=AC,^ABC为等边三角形,即ZB=60。,根据平行四边形的性质,
ZBAD=186—66102故选B.
4.【解析】,..QE〃AC,DF//AB,
四边形AEDF为平行四边形,
:.ZFAD=ZEDA,
是N84C的平分线,:.4EAD=4FAD,:.ZEAD=ZEDA,
:.AE=ED,二四边形尸是菱形.
5.【答案】B
【解析】•.,四边形A8CO是正方形,.••BCnCQ,ZBCD=90°,
•:CF1CE,:.ZECF=ZBCD=90°,:.NBCE=NDCF,
BC=CD
在ABCE与ADCF中,,NBCE=NDCF,.•.△BCE段ADCF(SAS),故①正确;
CE=CF
VABCE^ADCF,AZCBE=ZCDF,:.ZDFB=ZBCD=90°.:.BF±ED,
故②正确,
过点。作。交CF的延长线于点M,
'1M
B
:/EC尸=90°,FC=EC=l,;.NCFE=45°,
VZDFM+ZCFB^90°,:.ZDFM=ZFDM^45°,:.FM=DM,,由勾股定理可求得:EF=0,
.•.由勾股定理可得:。尸=2,
•/E舁+BE2=2BE2=BF2,二DM=FM=近,故③错误,
△BC%△QCF,SXBCE=S&DCF,
故④错误,故选B.
6.【答案】C
【解析】在正方形A8CO中,AB=8C,/A8E=/C=90,
又〈BE=CF,:.△ABE^ABCF(SAS),:.AE=BF,NBAE=NCBF,
:.ZFBC+ZBEG=ZBAE+ZBEG=90°,:.ZBGE=90°,J.AEVBF.故4、B正确;
AB3
CF=2FD,:.CF:CD=2:3,,:BE=CF,AB=CD,:.—=一,
BE2
ZEBG+ZABG^ZABG+ZBAG=90°,:.NEBG=NBAG,
BGAD3
VZ£GB=ZAB£=90°,:.△BGEs^ABE,:.—•=•—==,故C不正确,
GEBE2
/\ABE^/S.BCF,;.SA48E=SA8FC,;•SAA8E-SABEG=SA/LSA8EG,二5四边道CEG/=SAA8G,
故。正确.故选c.
7.【答案】C
【解析】•••顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形,
当对角线相等时,所得图形一定是菱形,故选C.
8.【答案】c
【解析】如图,设AC与E”、FG分别交于点N、P,BD与EF、"G分别交于点K、Q,
是4B的中点,F是BC的中点,:.EF//AC,
同理可证:AEBKs/\ABM,/\AEN^/\EBK,
S&EBK10c.S四边形£KMN1ete—r4HS四边形KQM1
-=—,SAAEN=S&EBK,••------------=—,I可理nJfJ----------=—
'△ABM48M2'ABCM2
S四边形QGPM1S四边形HQMN1.S四边形EFGH1
=
,,,•-Q=
^ADCM2S&DAM3四边形A8CO2
•..四边形A8c。的面积记为SI,中点四边形EFG”的面积记为S2,则Si与$2的数量关系是
SI=2S2.故选C.
考点冲关
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1.【答案】B
【解析】•••四边形A8c。是矩形,;.AC=8。,OA^OC,N8W=90。,•/ZADB=30°,工
AC=BD=2AB=S,;.0C=LC=4.故选B.
2
2.【答案】D
【解析】:AC=16,四边形A8CD是矩形,
ADC^AB,BO^DO=-BD,A0=0C=-AC=8,BD=AC,
22
,BO=OD=AO=OC=8,
VZAOD^\20°,:.ZAOB=600,,△4B0是等边三角形,
:.AB=AO=S,:,DC=S,即图中长度为8的线段有A。、CO、BO、DO、AB、DC共6条,故选D.
3.【答案】B
【解析】如图,连接4E根据折叠的性质,得E尸垂直平分AC,则AF=CE设AF=x,则
25
BF=4-x,在中,根据勾股定理,得f=9+(4—x)2,解得了=彳.
O
在RtAABC中,根据勾股定理,得AC=5,贝i」AO=2.5.
在RtZXAOR中,根据勾股定理,得。尸=称,
O
根据全等三角形的性质,可以证明OE=OF,则七/=£.故选B.
4.【答案】B
【解析】,菱形A8CD的对角线AC=8cm,BP=6cm,:.AC±BD,04=—AC=4cm,0B=一
22
80=3cm,根据勾股定理,AB=yJOA'+OB2=742+32=5(cm).设菱形的高为力,则菱
11?424
形的面积=AB/=—ACB。,即5〃=—x8x6,解得。=——,即菱形的高为一cm.故选B.
2255
5.【答案】B
【解析】如图,连接4尸,..•在菱形ABCZ)中,ZADC=12°,8。为菱形A8CZ)的对角线,
I
ADP=NCDP=-ZADC=36°.
2
的垂直平分线交对角线8。于点P,垂足为E,;.PA=PD.
,ZDAP=ZADP=36°.:.ZAPB=ZDAP+ZADP=72°.
又•.,菱形ABCD是关于对角线8。对称的,NCP8=/APB=72。.故选B.
D
6.【答案】C
【解析】:AO//3C,:.NDAE=NAEB,':BE=CF,AB=BC,NABE=NBCF,.♦.△ABE安LBCF,
:.AE=BF,NDAE=NBFC,;NFBC+NBFC=90°,NAEB=NBFC,:.ZFBC+AEB^90°,:.AE
±BF,所以A、B、。三个选项正确,NAEB=NBFC,故C选项错误,故选C.
7.【答案】50°
【解析】如图所示,
由矩形A8C。可得AD〃8C,;.N1=NBFE=65°,由翻折得/2=/1=65。,
/.ZAEB=180°-Z1-Z2=180°-65o-65o=50°.故答案为:50°.
8.【答案】1
【解析】•.•△BP'C是由ABPA旋转得到,二乙4尸B=NCP'8=135°,NABP=NCBP',BP=BP,AP=CP',
:NA8P+/P8c=90。,:.ZCBP'+ZPBC^°,即/F8/>=90。,二△8PP是等腰直角三角形,
ZBP'P=45°,,.,/A/'8=/CP'8=135°,ZPP'C=90°,VHP=2,:.PP'=^BP2+BP'272-
;PC=3,CP'=Jpc?_ppQ==I,:,AP^CP'=\,故答案为1.
B
P'
9.【解析】(1);A8=6,8c=8,AC=10,J.AB^B^AC2,:.ZABC^90°,
•.•四边形ABC。是平行四边形,A8CO是矩形.
(2)•..四边形ABCD是矩形,:.BD=AC=\O.
10.【解析】(1)•.•△4E尸是由△A8C绕点4按顺时针方向旋转得到的,
:.AE=AB,AF^AC,/EAF=NBAC,
:.ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,BPZEAB=ZFAC,
AC=AB
在AAC/7和AABE中,<ZCAF=NBAE,:.^ACF^/\ABE,
AF^AE
:.BE=CF.
(2)•.,四边形ACDE为菱形,A8=AC=1,:.DE=AE=AC=AB=1,AC//DE,
:./AEB=NABE,NABE=NBACH5°,NAE8=/ABE=45°,
.••△/18后为等腰直角三角形,;.8£'=&4。=&,;.8/:>=8F-。后=夜—1.
11.【解析】(1)OE=OF,理由如下:
因为CE平分NAC8,所以N1=N2,又因为MN〃BC,所以N1=N3,所以N3=/2,所以EO=CO,
同理,FO=CO,所以OE=O只
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,理由如卜;
因为OE=OR点。是AC的中点,所以四边形AECF是平行四边形,又因为C尸平分NBC4的
外角,所以N4=N5,又因为N1=N2,所以Nl=/2,Z2+Z4=-xl80°=90°,即NECF=90°,
2
所以平行四边形AEC尸是矩形.
(3)当△A8C是直角三角形时,即NAC8=90。时,四边形AECF是正方形,理由如下:
由(2)证明可知,当点。运动到AC的中点时,四边形力ECF是矩形,又因为/AC8=90。,CE,
CN分别是乙4cB与NACB的外角的平分线,所以Nl=/2=/3=N4=N5=45。,所以ACLMN,
所以四边形AECF是正方形.
直通中考
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1.【答案】A
【解析】A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件;B.四条边都相等的四边形是
菱形,故B错误;C有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C错误:对角线相等且相互平分
的四边形是矩形,则D错误;故选A.
【名师点睛】本题考查J'矩形的判定,矩形的判定方法有:1.有三个角是直角的四边形是矩形:
2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;3.有一个角为直角的平行四边形是矩形;4.对角线相
等的平行四边形是矩形.
2.【答案】C
【解析】•••菱形A8CO的顶点4,8的坐标分别为(2,0),(0,1),
:.AO=2,OB=\,AC1BD,
由勾股定理知:AB=y/BCP+OA2=Vl2+22=V5-
•.•四边形A8CD为菱形,
:.AB=DC=BC=AD=y/i,
菱形ABC。的周长为:475,故选C.
【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质,勾股定理以及坐标与图形的性质,得出AB的长足解
题关键.
3.【答案】D
【解析】如图,过E点作关于48的对称点则当D,P,F三点共线时PE+P尸取最小值,
VZEAP=45°,:.^EAE'=90°,
^':AE=EF=AE'=4,
•■PE+PF的最小值为E'F=^AF2+AE'2=A/82+42=780,
••♦满足陪"=9=庖,
在边AB上存在两个尸点使PE+PF=9,
同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件,
•••满足PE+PF=9的点P的个数是8,故选D.
【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径,有一定难度,巧妙的运
用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.
4.【答案】A
【解析】正方形A8CZ)中,;BC=4,
:.BC=CD=AD=4,ZBCE=ZCDF=90Q,
\"AF=DE=\,:.DF=CE=3,:.BE=CF=5,
BC=CD
在和△€!)尸中,<ZBCE=ZCDF,
CE=DF
:./XBCE刍4CDF(SAS),:.NCBE=NDCF,
':ZCBE+ZCEB=ZECG+ZCEB=90°=ZCGE,
BCCG
cosZCBE=cosZECG=-----=,
BECE
4CG121213
一=-----,CG——,GF-CF-CG-5--=—,
53555
故选A.
【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函
数,证明△8CEZ4CDF是解本题的关键.
49
5.【答案】—
13
【解析】如图,令AE与B尸的交点为死
在正方形A8CD中,NBAD=ND=90°,
H
,ZBAM+ZFAM=90°,
在RtA4DE中,AE=7AD2+DE2=A/122+52=13'
,/由折叠的性质可得△ABE&AGM,
:.AB=BG,NFBA=NFBG,
...8尸垂直平分AG,
;.AM=MG,NA仞8=90°,
ZBAM+ZABM=9Q°,
ZABM=ZFAM,
l\ARMs△FAO.
AMAB.AM12
^E~~AE513
60120
•AM=—,.".AG------
1313
120_49
GE=13
1T-T3
【名师点睛】本题考查了正方形与折叠,勾股定理,等腰三角形的性质,以及三角形相似的判定
和性质,熟练掌握相关的知识是解题的关键.
6.【答案】675+10
【解析】":A'E//PF,:.ZA'EP=ZD'PH,
又,.•/A=NA'=90°,ND=NO'=90°,/.ZA'=ZD',,△AEP〜△OP”,
乂;A8=C£>,AB^A'P,CD^D'P,:.A'P^DP,
设A'P=D'P=x,
12
:SA/VEP:SAZ>PH=4:1,:.A'E=2D'P=2x,:.S&AEP=-XAExA'P-x2xxxx4,
22
X>0.,x=2,:.A'P=D'P=2,:.A'E=2D'P=4,
•*-EP=+A产="2+2?=2后-
APH=-EP=>f5,:.DH=D'H=-A'P=\,
22
/.AO=AE+EP+PH+£>"=4+2石+石+1=5+35
AB=A'P=2,
S矩形4g8=A8XAZ)=2X(3^5+5)=6^5+
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