版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题3导数中的差值比值问题完成了外函数分而治之那,么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面于,完成了外函数分而治之那,么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面于,f(x1)-f(x2)极值之差问题,还有fx1)fx2)极值之和问题,这里我们会简单介绍一下极值偏移和拐点偏移的原理。关于X1X2的比值代换,甚至需要切线夹放缩的X1—X2这些题起源于高考,反复演变,正在逐渐取代之前传统的利用导数求函数单调性和极值的问题。,知识反复更新和迭代的过程中,我们确实需要更新数学模型和方法.第一讲极值之差例1.(2020•攀枝花一模)已知函数f(x)=x—1—alnx(agR).x(I)求曲线y=f(x)在点(e,-1)处的切线方程;e(II)若函数g(x)=x2-f(x)+2lnx-ax(其中f(x)是f(x)的导函数)有两个极值点x、x,且x<x<e,12 12求g(x)-g(x)的取值范围.12x,其中x21<x.
2例2.(2019•广东期末)已知函数f(x)=2lnx+x2-ax(agx,其中x21<x.
2(I)求实数a的取值范围;(II)当a>22+马时,求f(x)-f(x)的最小值.■ve 1 2例3.(2020•绵阳模拟)己知函数f(x)=2lnx+1x2-ax,其中agR.2(1)讨论函数f(x)的单调性;3(2)设函数f(x)有两个极值点x,x(其中x>x),若f(x)-f(x)的最大值为2ln2——,求实数a的1 2 21 2 1 2取值范围.例4.(2018•四川模拟)已知函数f(x)=1x2-ax+Inx(agR).2(1)当a=-1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;12(2)若函数f(x)有两个极值点x,x(x<x),求a的取值范围,并证明f(x)-f(x)<a2+2ln—.1 2 1 2 1 2 2 ae例5.(2019•长沙期末)已知f(x)=x2-2ax+Inx.(I)当a=1时,求f(x)的单调区间;x(x<x),求2f(x)-f(x)的最小值.21 2 1 2x(x<x),求2f(x)-f(x)的最小值.21 2 1 21例6.(2019•芜湖校级模拟)已知函数f(x)=(ax-1)lnx+x2.2(口)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程;
(口)设函数g(%)=f(x)有两个极值点x,x,其中xg(0,e],求g(x)-g(x)的最小值.12 1 1 2例7.(2019•新课标DDE知函数f(x)=2x3-ax2+2例7.(1(1)讨论f(x)的单调性;(2)例(2)例8.(1)讨论函数f(x)的单调性;当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.(2019•和平区校级月考)已知函数f(x)=-x2+aln(1-x),a为常数.2(2)例(2)例9.(1)讨论函数f(x)的单调性;若函数f(x)有两个极值点x,x,且x<x,求证:f(x)-x〉-3+1n41 2 12 2 1 8(2020•遂宁模拟)已知函数f(x)=alnx-ax+1(2)若函数g(x)=f(x)+-x2-1有两个极值点x,x(x中x).且不等式g(x)+g(x)<九(x+x)恒成立,2 1 21 2 1 2 1 2求实数入的取值范围.第二讲极值之和极值之和问题最早出现在2014年湖南高考自主命题卷中,解决问题的关键就是将f(xi)+f(x2)转化为统一参数a后,构造新函数h(a)求出极值之和取值范围.2x例10.(2014•湖南)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-三匚.x+2(口)讨论f(x)在区间(0,+8)上的单调性;TOC\o"1-5"\h\z(口)若f(x)存在两个极值点x,x,且f(x)+f(x)>0,求a的取值范围.12 1 2例11.(2020•郑州一模)已知函数f(x)=ax2-x-ln1.x(口)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行,求f(x)在点(1,f(1))的切线方程;(口)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x,x,求证:f(x)+f(x)<2ln2-3.12 1 2例12.(2019•湖南期末)已知函数f(x)=lnx+1-2a-x+a有两个不同的极值点x,x.x 12(1)求a的取值范围.(2)求f(x)的极大值与极小值之和的取值范围.(3)若mg(0,2),ng(2,+8),则f(m)-f(n)是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,说明理由.M秒杀秘籍:极值之相,极值点和初点於点取景值
根据琴生(Jensen)不等式,当f"(x)<0时f(x)+f(x)根据琴生(Jensen)不等式,当f"(x)<0时f(x)+ff(x)+f(x2)Nf(x1+x2), 1 2 2,我们称之为下凹数,二四象限的反比例函数均为上凸函数;当f"(x)>0时函数,通常指数函数,开口向上二次函数均为下凹函数.极值偏移:若f(x)有极值f(x) =f(x),若存在f(x)=f(x),当'土匕〉x时,称为极大值左偏,当max0 1 2 2 0q2<x时,称为极大值右偏;同理,若f(x)有极值f(x) =f(x),若存在f(x)=f(x),当'土匕〉x20 min0 1 2 2 0时,称为极小值左偏,当x土屋<x时,称为极小值右偏.20由于篇幅关系,本篇不做极值偏移的详细介绍,我们近期将推出一本导数的专题新书,会系统介绍极值偏移和拐点偏移的解题方法。图1图2移和拐点偏移的解题方法。图1图2极值点左偏:x+%>2xn,x=土乜处切线与X轴不平行;(图1)12 0 2若f(x)上凸(f(x)递减),则f(x^+x2]<fXx0)=0,若f(x)下凸(fXx)递增),则f\x^+x2]>f'(x0)=0.TOC\o"1-5"\h\zI2J \27极值点右偏:x+X<2X,x=x1上处切线与X轴不平行;(图2)12 0 2…. …......若f(x)上凸(f(x)递减),则f-1--2>f'(x0)=0,若f(x)下凸(f(x)递增),则f-1--2<f'(xo)=0.I2J I2J极值偏移的本质:函数f",(x)>0时,则极大值左偏,极小值右偏;函数f",(x)<0时,则极大值右偏,极小值左偏(正负号由极小值偏移方式决定,极大值则相反方向偏移);例13.(2018•浙江)已知函数f(x)=v--lnx.(口)若f(x)在x=x,x(x中x)处导数相等,证明:f(x)+f(x)>8-8ln2;1 21 2 1 2(口)若a<3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.第三讲比值函数最早出现在2014天津卷,涉及参变分离和基础找点比大小,有关xi+x2,要转化为xi+txi来进行构造成h(t)的函数,之前在证明对数平均不等式用到比值换元函数,比值换元一般用在对数函数里面,指数函数都需要转化为对数来进行构造,类似于指数平均不等式可以用对数来证明一样。我们先看几个例题.例14.(2014•天津)设f(x)=x-aex(agR),xgR,已知函数y=f(x)有两个零点x,x,且x<x.1 2 12(口)求a的取值范围;(口)证明:丸随着a的减小而增大;x1(口)证明x+x随着a的减小而增大.12例15.(2019•邢台期末)已知函数f(x)=x2-2aex+b(a,bgR),若f(x)有两个极值点x,x(x<x),且TOC\o"1-5"\h\z1 21 2x<2x,则a的取值范围是( )211 ln2 ln21 ln2A.(0,—) B.(—8, )C.(,一) D.(0,-)e 2 2e 2例16.(2018•武昌区校级模拟)已知函数f(x)=lnx+m—1(mgR),其中无理数e=2.718….ex(1)若函数f(x)有两个极值点,求m的取值范围.11 x(2)若函数g(x)=(x—2)ex—3mx3+2mx2的极值点有三个,最小的记为x1,最大的记为x2,若f的最大2值为1,求x+x的最小值.e12第四讲切线夹放缩解决X2-x1问题最早出现切线夹放缩在2015年天津高考卷,我们先来看一下这一文一理两题,然后逐步寻找这类题背后的逻辑.例17.(2015•天津)已知函数f(x)=4x—x4,xgR.(口)求f(x)的单调区间;(口)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)<g(x);1(口)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x,x,且x<x,求证:x—x< +43.1 2 12 21 3例18.(2015•天津)已知函数f(x)=nx—xn,xgR,其中ngN,且n>2.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)<g(x);(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x,x,求证:Ix—xl<—+2.1 2 2 1 1—n1x2例19.(2020・合肥一模)已知函数f(x)= (e为自然对数的底数).ex(1)求函数f(x)的零点x,以及曲线y=f(x)在x二x处的切线方程;00(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x,x,求证:Ix-xk2-m(1+—).12 1 2 2eM秒杀秘籍;切依夹数箱,初点是关健例题19虽然是根据执果索因得出要证明当j:2<x<1时,f(x)<1-x,但是再解完题反思的过程2中,我们发现f(x)=x2-2x-1,f"(x)=-x2+4x-1=0ox=2±<3,显然x=2-、小(1-X;2,1),也就ex ex是说在x1e(-1,1-v2)这个区间,没有拐点,函数的切线斜率一直递减,故在x=-1处取得的切线就一定恒在函数f(x)上方;但x2e(1-%:2,1)这个区间有了一个拐点,斜率先减后增,所以在x=1处的切线方程不满足恒在函数f(x)上方,所以转化为函数f(x)过点(1,0)处的切线方程,即构造切线不等式f(x)<1-x.例20.已知函数f(x)=ax-1,g(x)=Inx-1(aeR);(1)设函数F(x)=f(x)-g(x),若在定义域内F(x)>0恒成立,求a的取值范围;xem(2)当a=1时方程f(x)-g(x)-m=0(0<m<1)有两个实数根x,x且x<x.证明:f< (1+ )1 2 1 2 x1-me-11达标训练(2019•新课标0)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.(2019•思明区校级月考)已知函数f(x)=1x2+mx+Inx.2(1)若m=-3,讨论函数f(x)的单调性,并写出单调区间;3•宜(2)若f(x)有两个极值点x,x(x<x),且m< ,求f(x)-f(x)的最小值.1 21 2 2 1 2(2018•开封三模)已知函数f(x)=x+lnx,g(x)=f(x)+—x2-bx与直线x+2y=0垂直.2(I)求f(x)在x=1处的切线方程;(II)当b=4时,求函数g(x)=f(x)+1x2-bx的单调递减区间;27(III)设x,x(x<x)是函数g(x)的两个极值点,若b>一,求g(x)-g(x)的最小值.1 21 2 2 1 2(2019•乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=1x2-ax+aInx(a丰0).2(I)求函数f(x)的单调区间;9(II)右a>,且x,x(x<x)是函数f(x)的两个极值点,求f(x)-f(x)的最小值.
2 1 21 2 1 2(2019•浙江模拟)已知函数f(x)=x2-bx+aInx(a>0,bgR).(I)设b=a+2,若f(x)存在两个极值点x,x,且Ix-xl>1,求证:If(x)-f(x)l>3-4ln2;1 2 12 1 2(II)设g(x)=xf(x),g(x)在[1,e]上不单调,且2b+-<4e恒成立,求a的取值范围.(e为自然对数的a底数)(2020•镇江一模)已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)(agR).(1)当a=0,证明:f(x)<x-1;(2)如果函数f(x)有两个极值点x,x(x<x),且f(x)+f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围;1 21 2 1 2(3)当a<0时,求函数f(x)的零点个数.(2018•菏泽期末)已知函数f(x)=4x-aInx-1x2-2,其中a为正实数.2(1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2,求a的值;(2)求函数y=f(x)的单调区间;(3)若函数y=f(x)有两个极值点x,x,求证:f(x)+f(x)<6-Ina.12 1 2(2019•湖南月考)已知函数f(x)=x2-2x+aInx(agR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x,x(x<x),且不等式f(x)>mx恒成立,求实数m的取值范围.
1 21 2 1 2(2019•烟台期中)已知函数f(x)=mlnx-x+m(mgR).x(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x,x,不等式f(x1)+f(x2)<a恒成立,求实数a的取值范围.1 2 x2+x212(2019•崂山区校级期中)已知函数f(x)=一ex一,其中a>0.bgR.e为自然对数的底数.ax2+bx+1(1)若b=1,且当x>0时,f(x)>1总成立,求实数a的取值范围;3(2)若b=0,且f(x)存在两个极值点x,x,求证:1+ <f(x)+f(x)<e.1 2 2a 1 2(2018•海淀区校级三模)已知函数f(x)=-lnx-ax2+x在点(1,f(1))处的切线斜率为负值.
(I)讨论f(x)的单调性;TOC\o"1-5"\h\z(II)若f(x)有两个极值点x,x,求证:f(x)+f(x)>3-2ln212 1 2(2019•宁乡市模拟)已知函数f(x)=mx2+1,其中mgR.ex(1)当m=2时,讨论f(x)的单调性;4 4m(2)若m>1,并且f(x)存在两个极值点x、x,求证:一<f(x)+f(x)<——.12 e 1 2e(2019秋•常德期末)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)讨论f(x)的极值点的个数;(2)当a=1时,若存在实数x,x,使得f(%)+辛=lnx2,求x-x的最小值.1 2 2e4e2 2 21(2018•合肥三模)已知函数f(x)=ex-1x2-ax有两个极值点x,x(e为自然对数的底数).2 12(I)求实数a的取值范围;(II)求证:f(x)+f(x)>2.12已知函数f(x)=a.ex-1x2-b(a,bgR,e是自然对数的底数).2(1)若函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x-1,求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在x和x处取得极值,且x2>2,求实数a的取值范围.12 x1(2019•和平区校级月考)已知函数f(x)=lnx-mx,mgR.(I)求f(x)的极值;(II)证明:m=0时,ex>f(x+2)x(III)若函数g(x)=(x-e)f(x)有且只有三个不同的零点,分别记为x,x,x,设x<x<x且t的最TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 123x12(e2+1)大值是e2,证明:xix3<ee2-1.A.a>1e已知函数f(x)=x-aex有两个零点x,x,且x<A.a>1ex-x随着a的增大而减小12xx<1 D.x+x随着a的增大而增大12 1 2(2019•郑州二模)已知函数f(x)=aex-1x2-b(a,bgR),若函数f(x)有两个极值点x,x,且x2>2,2 12x1则实数a的取值范围是
(2019•岳麓区校级模拟)已知函数f(x)=ln-—依2+x.2x(I)当a〉0时,讨论函数f(x)的极值点的个数;(II)若f(x)有两个极值点x,x,证明:f(x)+f(x)>3-4ln2.12 1 2(2019•天心区校级月考)已知函数f(x)=lnx-ax有两个零点x,x,且x<x.1 2 12(1)求a的取值范围;(2)证明:x2随着a的增大而减小;x1(3)证明:xx随着a的增大而减小.12(2019•上虞区二模)已知f(x)=ae-x+x与g(x)=—x2+x-b(a,bgR).2(I)若f(x),g(x)在x=2处有相同的切线.求a,b的值;(II)设F(x)=f(x)-g(x),若函数F(x)有两个极值点x,x(x>x),且3x-x>0,求实数a的取值范1 21 2 1 2围.(2019•吴江区月考)已知函数f(x)=(x-m)lnx(x>0),m>0.(1)当m=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当xg[1,e]时,恒有f(x)<0成立,求满足条件的m的范围;(3)当m=e时,令方程f(x)=t有两个不同的根x,x,且满足x<x,求证:x-x<-e~+e-1.1 2 1 2 2 1e-1(2017•深圳一模)已知函数f(x)=xInx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e-2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)>X(x-1)在(0,+8)上恒成立,求实数入的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x,x,求证:Ix-xl<2a+1+e-2.1 2 12(2019•南开区校级月考)已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)在点(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 第19课 科学技术的重大成果课件
- 2024年专业电工施工协议典范
- 中国特色社会主义基本原理(上)
- 2024年度层电梯厅装潢协议模板
- 2024年无薪实习劳动协议
- 2024年仓库租赁法律协议细则
- 2024年型车辆采购协议
- 2024届安徽省合肥高升学校高三八校第一次适应性考试数学试题试卷
- 2024建筑业劳务施工协议文本
- 2024年全职劳务雇佣协议范本
- 东北黑土地保护利用“北安模式”及推广建议
- 2024简易租房合同下载打印
- 2024年西安陕鼓动力股份有限公司招聘笔试冲刺题(带答案解析)
- 组织行为与领导力智慧树知到期末考试答案2024年
- 四川省公需科目2024年度数字经济与驱动发展考试题库及答案
- 京瓷哲学培训课件
- 部编版三年级语文(上册)标点符号专项训练题(含答案)
- 工程测量部分案例分析
- 工程审计在矿山的作用
- 金融公司介绍PPT展示材料(带内容)
- 美国各州地图ppt模板
评论
0/150
提交评论