2020-2021学年乌兰察布集宁区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年乌兰察布集宁区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知M={x\x=2m—l,mEZ},N={x\x2—x—12<0,xER],则集合MAN等于()

A.{-3,-1,13}B.{1,3}C.{0,1,2,3}D.{-1,1,3)

2.设直线a%+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a—b=()

A.1B.—1C.0D.—2

3.设函数彳*°，若/[f(a)]>/[/(a)+1],则实数a的取值范围为()

A.(―I，—2]B.[-|,-2]C.[-2,0)D.[-2,0]

4.己知函数/(%)=|/+。|,aER在[-1,1]上的最大值为M(a),若函数g(%)=M(%)-|/+共有

4个零点，则实数t的取值范围为.()

A.B.(-8,-1)

C.(―8,—1)U(1])D.(―8,—1)U(1,2)

5.已知直线，1：a2x+y+2=0与直线％：bx—(a2+l)y—1=0互相垂直，则|ab|的最小值为()

A.5B.4C.2D.1

6.定义：若平面点集4中的任一个点(%o，y0),总存在正实数丁，使得集合8=

{(.y)l—%o)2+(y-yo)?<7}uA，则称“为一个开集，给出下列集合：

①{Q,y)|/+y2=1}

@{(x,y)||x+y+2|>1]

③-131+\y\<1}

④{(x,y)|0<x2+(y-l)2<1}

其中是开集的是()

A.③④B.②④C.①②D.②③

7.圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()

A.36兀B.18兀C.45兀D.12兀

“、logx0<x<1

8,若函数f(x)=]fl二_―、在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围

、(4a)x3X+1%>1

是()

A.(1,4)B.[|.4)C.(1,|1D.

9.已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()

A.长方体

B.圆柱

C.四棱锥

D.四棱台

10.设圆就:-尊V+金*期皂=研窗演吸上有且仅有两个点到直线俯视图

趣七一笔朋=额的距离等于1,则圆半径r的取值范围是()

A.察:中/普B.t<y».：:i§C.r>4D.

11.在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为()

C兀

A•平BnaD.—

•16•2781

12.已知关于％的方程+或)+1=4?n(%+》有三个不同的根，分别为久1，%2，%3，则久1+%2+

%3=()

A.3B.5C.3mD.5m

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知直线L3%+my—1=0与直线1：—2y+2=0互相垂直，则实数6=.

14.已知"X)=『：］作"Q口，其中a<0,e为自然对数的底数,若g(x)=/［〃>)］在R上有3个不同

_L,XCL

的零点，贝ija取值范围是.

15.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2V6,AC=AB=4,且AC1AB,则该三棱锥外接球

的表面积为.

16.已知函数/r(%)=2因-sin(§+%)，对于任意的X］，x2E［-n,Ti\,有如下条件：

①戏〉蟾；②Xi>%2；③％|>%2；④>|%2入

其中能使/'Qi)>/(%2)恒成立的条件序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合A={x\y=ln(2—%)},B={x|2x>AC\B=M,N={x\2a—1<%<a+5].

⑴求M；

(2)在①MnN=M,②MCN=0两个条件中任选一个，补充在问题中，求a的取值范围

18.(1)化简求值：(要求答案最简).匈5•仞2+(32)2—1g：—511。如2+(/0。35+log^(logz21+

109253)

(2)求下列不等式的解：10g(2x-l)X<2：

3

⑶若函数/'(X)=log2(ax-12)与函数g(x)=log2(x-8)的图象有交点，求实数a的取值范围.

19.如图，矩形4BCD的两条对角线相交于点M(2,0),边所在直线的方程为

%—3y—6=0,点在4D边所在直线上.

(1)求4D边所在直线的方程；

(2)求矩形48CD外接圆的方程；

⑶过点N(-2,0)的直线［与矩形力BCD的外接圆相交于P,Q两点，求

I^PI-lWl-

20.已知函数，真嘘=d普翻”既障：1#W，【獭€薄j

(1)若.fl墟是偶函数，求嬲的值。

(2)设式堂=睾，东e轴,求盛烧的最小值。

21.已知圆C经过。(0,0)和叭—号点，且圆心在y轴上.

(I)求圆C的标准方程;

(n)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA,P8是圆C的两条切线，A,B是切点,

若四边形P4CB的最小面积是2,求k的值.

22.已知函数/'(x)=loga(l-2x)-loga(l+2x)(a>0,a1).

(I)求/(%)的定义域；

(n)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(皿)若关于％e[0,],恒有"X)>loga(2工+1;3-2百成立，求小的取值范围-

参考答案及解析

L答案：D

解析：解：由N中不等式变形得：(％-4)(久+3)<0,

解得：一3<%<4,即N=(—3,4),

M=(x\x=2m—l,mEZ},

；.MCN={-1,1,3).

故选：D.

集合M表示奇数集，求出N中不等式的解集确定出N,找出M与N的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：C

解析：解：由s讥a+cosa=0,得tcma=-1,

・•・直线a%+by+c=0的斜率k=-^=-1,

即a=b,

a—h=0.

故选：C.

由已知三角等式求出tcma,即直线的斜率，再由左=-蓝得到a=b,贝！可求.

本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.

3.答案：A

解析:解：函数/(0)在(-8,0]、(0,+8)均单调递增，

且/⑶~2+2^1-

当/(a)20,即a2—2时,则/[/(a)]</[/(a)+1],不合题意；

同理：当/即a<—|时，也不合题意.

当/'(久1)>f(久2)时，一l<f(a)<0，0<f(a)+1<1,

则2<4,1<+1]<2,成立.

故选：A.

根据函数的单调性，通过讨论a的范围判断函数值的大小，从而确定a的具体范围即可.

本题考查了函数求值问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题.

4.答案:C

解析：解：当a=0时，/(%)=+a|=|/|为偶函数,此时最

大值为M(a)=M(-l)=M(l),

当a>0时，函数在［—1,1］上的最大值为M(a)=/(I)=|l+a|=

a+1,

当a<0时，函数在［—1,1］上的最大值为M(a)=/(-I)=|-1+

a\=1—a,

Rn.,,、rtz+1,ci>0

一(.1-a,a<0

“、(x+l,x>0

•••M(x)=L

11—x,x<0

由g(x)=M(x)—|x2+t|=0得M(x)=\x2+t|,

设函数M(x),m(x)=\x2+t|,

作出两个函数的图象如图：

①若t<0,要使g(x)=M(x)-|x2+t|有4个零点，

则两个图象的交点个数有4个，此时满足m(0)>M(0),

即|t|>1,解得t<-1.

②若t>0,则m(x)=|x2+t\=x2+t,

当抛物线过点(0,1)时，t=l.

当抛物线与直线相切时，当x>0时，

,fy=%+1,,,„

由F此时产—X+(t—1)=0，

由判别式4=l-4(t-l)=5-4t=0,

解得t="

要使g(x)=M(x)-|x2+订有4个零点，

则两个图象的交点个数有4个，此时满足

1<t<-.

4

综上t<-1或1<t<l-

故选：C.

根据条件求出函数M(a)的表达式,然后由g(%)=0得M(%)=\x2+力|,利用函数g(%)=M(x)-\x2+

t|有4个零点，建立条件关系即可求出t的取值范围.

本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出M（a）的表达式

是本题的难点.注意对t要进行分类讨论.综合性较强，难点交大.

5.答案：C

解析：解：由题有，直线%与G的斜率存在，且两直线垂直，

•••a2b-（a2+1）=0,

>a2+l、

b———>0n,

az

当a>0时，\ab\=ab=a+^>2,当且仅当a=1时取等号；

当a<0时，\ab\=—ab=—a-->2,当且仅当a=—1时取等号，

综上，|ab|的最小值为2.

故选C.

由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a,b关系，然后求出|ab|的最小值.

此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满

足的关系是解本题的关键.

6.答案：A

解析：

本题主要考查学生的阅读能力和对新定义的理解，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该

是不含边界的平面区域.本题的难点在于对新定义的理解.

根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案.①表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上

任意取点（%o，yo），即可判断；②表示两条平行直线之外的区域（含两直线），在直线上任取一点（而，火），

即可判断；③表示中心为原点的正方形的内部（不含边界），在该正方形中任取一点（而，丫0），即可判

断；④表示以（0,1）为圆心，1为半径，除去圆心和圆周的圆的内部.在该平面点集4中的任一点（%0，%），

即可判断.

解：①｛（x,y）|久2+必=1｝表示以原点为圆心，1为半径的圆，

则在该圆上任意取点（%o，y。），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足

｛（x，y）l一％o）2+（y—Vo）2<r｝cA,

故①不是开集；

@｛（x,y）||x+y+2|>1｝表示两条平行直线久+y+1=0,x+y+3=0之外的区域（含两直线），

在直线上任取一点（久o，yo），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足

｛（x,y）17（%-%o）2+（y-yo）2<r｝QA,

故②不是开集；

③{®y)||x|+|y|<l}表示中心为原点,顶点为(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)的正方形的内部(不

含边界)，

在该正方形中任取一点。0,%)，则该点到正方形边界上的点的最短距离为乙

取r=d,则满足{(x,y)|—x0)2+(y-y。)？<r}=4.

故③是开集；

④{(x,y)|0</+(y-1)2<1}表示以(0,1)为圆心，1为半径，除去圆心和圆周的圆面.

在该平面点集4中的任一点(久°,%)，设该点到圆周上的点的最短距离为d,到圆心的最短距离为p,

取厂=min{d,p}

满足{Q,y)|J(x—Xo)2+0—yo)2<r}QA,

故④是开集.

故选:A.

7.答案：D

解析：解：如图所示，。为底面的圆心，则P。J■底面.

在RtAPOB中，由勾股定理得P。=V52—理=4.

1O

V圆锥=-x7TX3X4=127T.

故选：D.

先画出图形，根据勾股定理求出底面上的高，据圆锥的体积公式计算出即可.

要计算圆锥的体积，计算底面上的高是解决问题的关键.

8.答案：C

解析：略

9.答案：A

解析：试题分析：由几何体的三视图都是矩形，知该几何体是长方体.解：••・该几何体的三视图都是

矩形，该几何体是长方体，如图所示.故选4

考点：三视图还原几何体

点评：本题考查由几何体的三视图还原几何体，是基础题.解题时要认真审题，注意等价转化思想

的合理运用

10.答案：B

解析：解析:

试题分析：如图所示圆心到直线的距离感=惨刎一叙G'零一%所以r>4并且r<6.即选股

度

考点：1.圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离.2.点到直线的距离公式.

11.答案：C

解析：解：设内接圆柱的底面半径为r,高为八

,,ra-h

则在AAOS中，T-=—,解得h=a—2r

・••内接圆柱的体积为P=Jir2h=aTir2-27rr3(0<r<|a)

V'=2anr—671T2—2nr{a—3r)

-1-i-i

0<r<时，V'>0；-a<r<3a时，<0.

由此可得U在(0[a)上是增函数，©a弓a)上是减函数

・•.当r=1a时，圆柱的最大体积为=吟

故选C

设内接圆柱的底面半径为小高为八，在A20S中利用线段成比例，算出/i=a-2r,从而得到内接圆

柱的体积为U=aa"2—2"3,再用导数讨论函数的单调性，可得在(0《a)上单调增，©a,|a)上单

调减，得出当r=1a时，该内接圆柱的最大体积为嚓.

本题给出底面直径与高相等的圆锥，求它的内接圆柱的最大体积，着重考查了旋转体的体积公式和

利用导数研究函数的单调性等知识属于基础题.

12.答案：B

解析：解：令t=%+3te(―8,—2]u[2,+8),

如图示:

令/(%)=m(x2+或)+1—4m(%+》=双％+J?—2m—4mt+1,

即7nt2—4mt—2m+1=0,要使/(%)有不同的零点，则m/—47nt-2m+1=0有2个不同的根,

则与=2,t2>2或/<—2,或口=—2,t2>2或r<—2,

故当久>0时，tmin=2,当tv0时，tmax=-2,

故关于t的方程的其中1个根必须为2或-2,

此时直线t=2或直线£=-2时刚好与函数t=%+%目切，

X

当?n=。时,不合题意，故-2)2-6t+1=0得(力-2/=6-，

若6-工<0,则该方程无解，不合题意，

m

=

由(t—2/=6—A，得：0=2—16-gt22+16一/

当=2,此时《2=2,不合题意，

-1

当匕=-2,此时《2=6,解得：m=

-1-1

由1=%+-，当％+-=t1，解得：%】=一1,

XXxx

当％+[=力2，整理得久2-6%+1=0,故%2+%3=6,

故与+外+%3=5,

故选：B.

令t=x+根据方程欣2一4mt-2m+1=0的根的情况，结合t=%+工的根进行讨论.

XX

本题考查了方程根的情况，考查分类讨论思想，考查数形结合思想，是难题.

13.答案：0

解析：解：直线乙：3%+my-1=0与直线"：mx-2y+2=0互相垂直，

•••3m—2m=0,

解得实数m=0.

故答案为：0.

利用直线与直线互相垂直的性质直接求解.

本题考查实数值的求法，考查直线与直线互相垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

14.答案：［―夜,0)

解析：

本题考查了函数的零点、分段函数、分类讨论思想.属难题.

先按照％<a和x>a两种情况求出/Q),再对％2—4和/-1分别各按照两种情况讨论求出/(/(乃),

最后令/(/(久))=0,求出函数9(%)的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围

即可.

解：(1)当xWa时，/(%)=x2-4,

①当/-4<a时，由/(/(%))="-4)=(%2—4)2-4=0得％=-V2;

2

②当/一4>a时，由/■(/■(%))=/(%-4)=e--4_1=。得刀=_2

(2)当x>a时，/(x)=ex-1,

①当1―l<a时，由)(/(%))=-1)

=(ex-I)2-4=0,得e*=-1无解，

②当e'-l>a时，由f(f(x))=f(峭—1)

=e姨T—1=0,解得％=0,

因为9(%)=/(/(%))在R上有三个不同的零点，

-V2<a

所以,一2Wa，

0>a

解得：—/<a<0,

故答案为：［-夜,0).

15.答案：367r

解析:

本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题.取BC中点D,连结AD,PD,推导

出PD=4,PD1平面4BC,该三棱锥外接球的球心。在P0上，设球半径为R,贝ijOP=。4=R,由

此求出R=3,从而能求出该三棱锥外接球的表面积.

解：取BC中点D,连结4D,PD,

,•,在三棱锥P-ABCdp,PA=PB=PC=2V6,AC=AB=4,

5.AC1AB,

PD1BC,AD1BC,AD=BD=CD=2&,

PD=y/PB2-BD2=V24-8=4，

•••PD2+AD2=AP2,PDX.AD,

又PD1BC,BCCtAD=D,

：.PD_L平面ABC,

则该三棱锥外接球的球心。在PD上，设球半径为R,

则。P=OA=R,

R=y/AD2+OD2=J8+(4—R)2,

解得R=3,

该三棱锥外接球的表面积为S=4兀/?2=367T.

故答案为36兀.

16.答案：①④

解析：解:/(%)=2因—sin(Y+久)=2团—cosx,

/(—X)=2n-cos(—%)=2⑶-cosx=/(%),

函数/(%)=2因一cosx为偶函数，

.../(-%)=/(|x|)；

又x£［0,兀］时，2团=2"递增，—cosx递增，

f(x)=2因-cos%在［0,兀］上单调递增，且在［-兀,0］上单调递减.

①中,>%2,BPkii>|%2|>

结合偶函数的性质得/>/(|%2|)>

•••/(^1)>f(x2)；

④中,>|x2|,即%|>%|，

于是也有f01)>f(%2)；

②③中，取人=o,%2=一1，可知/(/)<y(x2)；

故答案为：①④.

化简/(%)后可判断/(%)的奇偶性、单调性，借助偶函数的性质可判断①④的正确性；举反例可说明

②③的错误.

本题考查函数〃吟的奇偶性与单调性，得到;"(“)为偶函数，在[0,扪上单调递增是关键，考查分析转

化能力，属于中档题.

17.答案：解：(1)•••a={x|x<2},B={x\x>-1],

M=xnS={x|-1<%<2]；

(2)选择条件①：

由MnN="可知McN,

・••fkL'T,解得-3<a<0,

・•.a的取值范围为[—3,0)；

选择条件②：

1)若N=。贝1J2a-1>a+5,解得a>6；

a<6Q

{a+5<-L或2a-lN2,解得a<一6或者a<6,

综上所述，a的取值范围为(-8,—6)U[|,+8).

解析：(1)可求出集合4B,进行交集的运算即可求出M={x[—l<x<2}；

(2)选择条件①：根据MCN="可得出MUN,从而得出{:;\!1―％选择条件②：N=0时，

2a-l>a+5；N4。时，然后解出a的范围即可.

本题考查了描述法的定义，交集及其运算，对数函数的定义域，指数函数的单调性，子集的定义，

分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题.

io43

18.答案：解：⑴原式=lg2ags+匈2)+仞5—5+5^+(log35+ilog35)(3/o55+jlog53)=

lg2+^5-^+|log5x|log3=1-；+Y=5；

41Z3Z544

(2).•”og(2x-i)x<2=/og(2x-i)(2x-l)2

•••分两种情况:

①当0<2x-1<1时，即之<尤<1,此时由函数的性质可知，

%>0

•(2%-1)2>0,解得:<%<1且X#|.

x>(2%—I)2

•••比的取值范围为c，i).

%>0

②当2%-1>1时，即x>l,此时由函数的性质可知•(2%-1产>0,解得％>1或0<x<；

%<(2%—I)2

所以%>1,

综上：工的取值范围为(|,1)u(1,+8),

33

(3)因为函数f(%)=log2(ax-12)与函数g(%)=log2(x一8)的图象有交点，所以ax-12=%-8

有解，

因为%3—8>0>所以％>2,12>0,所以a>一,a=%2H—,

CLX—XX

X2所以X>2,令0(%)=%2+±“(%)=2%一2=更三>0,

所以g(x)在(2,+oo)上单调递增，所以a>4.

解析：(1)主要是由对数的运算性质进行化简求值；

(2)解对数不等式，关键是底数要进行分类讨论；

3

⑶由函数f(x)=log2(ax-12)与函数g(x)=log2(x-8)的图象有交点，转化为真数相等有解.

因为矩形4BCD两条对角线的交点为M(2,0).

所以“为矩形4BCD外接圆的圆心.

又=J(2—0)2+(0+2尸=2V2.

从而矩形48CD外接圆的方程为。-2)2+y2=8.

（/〃）过点N作圆的切线，切点为S,

贝H衲.|而|=而『=|丽|2一闻|2=8.

解析：（/）由4。与垂直，求出直线20的斜率，由此能求出4D边所在直线的方程.

。/）由仁二二:‘解得点"（°，一2），因为矩形A8C0两条对角线的交点为M（2,0）.所以M为矩形

力BCD外接圆的圆心.由此能求出矩形4BCC外接圆的方程.

（〃/）过点N作圆的切线，切点为S,由此利用切割线定理能求出结果.

本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的求法，解题时要认真审题，注

意直线性质的灵活运用.

20.答案：（1）碉，=，.iL；（2）爵色=7.虱"%唠=筝嬴+■«：-1.—-CK。

二01输

解析：试题分析：（1）因为,蕤勒是偶函数，所以爪—1=0,即m=l。

当Am<16时，翻烧I=K--H---H-瞬41在、，八届|上是单调递减的，在卜隔月［上是单调递增的，

31®连:4

所以敏微:遇=,道标3=乐嬴特蹴:1;

当mW0时，勰制=需#-#瞬勺在义用I上是单调递增的，所以域磁翻=域当=物T-

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