2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共12分）

1.一元二次方程/一9=。的解是（）

A.久=3B.X1=右=3

=

C.久1=遮，%2一小＞D.=3,%2=-3

2.某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9,9,x,8,若这组数据的众数与平均

数恰好相等，贝卜的值为（）

A.10B.9C.8D.7

3.对于二次函数y=Q-2）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.对称轴为直线x=-2B.最低点的坐标为（2,2）

C.与无轴有两个公共点D.与y轴交点坐标为（0,2）

4.如图，4C是O。的直径，PA,PB是。。的切线，切点分别是4

B,若4cBp=140°,贝ikP的度数为（）

A.100°

B.80°

C.75°

D.70°

5.如图，在△ABC中，DE//BC,连接⑶，若需=2

错误的是（）

,DE1

A•丽.

「△40E的周长1

,△4BC的周长3

「的面积

c-A-4-D--E--------—1

,△BCD的面积3

△的面积

n\_)---C-O--E--------=—1

•△BCD的面积3

6.二次函数y=ax2+b%+c（a,仇c为常数,且aH0）,函数y与自变量％的部分对应值如表:

X-11

y-13

下列结论：①b=2；②二次函数的图象与x轴总有两个公共点；③若a<0,则二次函数图

象顶点的纵坐标的最小值为3；④当自变量x的值满足-IWKWI时，与其对应的函数值y随x

的增大而增大，贝|0<cW2,其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①②D.①③④

二、填空题（本题共10小题，共20分）

7.已知蔡是，则丝=____.

b5b—a

8.已知B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若4C=10,贝MB=.（答案保留根号）

9.如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停

止转动时，“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为—.

10.设0是方程/+5万一2=0的两个根，则好+好的值是_.

11.用一个圆心角为150。，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

12.某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值

的平均增长率为x,则可列方程为

13.RtAABC^,乙4cB=90。，AC=6,BC=8,则它的内切圆半径是

14.如图，正五边形2BCDE内接于。。，4F是。。的直径，P是

。。上的一点（不与点B,F重合），则NBPF的度数为一°.

15.如图，在口力BCD中，以CD为直径作。。，。。经过点4且与

BD交于点E,连接4E并延长，与BC交于点F,若尸是8C的中点，AF=

6,贝！MB=—.

16.关于x的方程一一2久-1=p(p为常数)有两个不相等的正根，贝Up的取值范围是—.

三、解答题(本题共11小题，共88分)

17.解下列方程:

(1)久2—4x+1=0；

(2)(%—3)2=2x—6.

18.某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加僖迎二十大奋进新征程》演讲比赛,

如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况:

一演讲比赛成绩的拆线统i|图

成绳/分A

10*——।

9

8

6

0

比赛

根据以上信息，整理分析数据如下:

学生平均数(分)中位数(分)方差(分2)

甲8b3.6

乙a8C

(1)<2=___,b—c—

(2)根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由.

19.甲、乙、丙、丁四人进行传球训练，要求每人接球后随机传给其余三人中的一人.开始由

甲发球，随机传给其余三人中的一人，并记为第一次传球.

(1)经过第一次传球，恰好传给乙的概率是一；

(2)经过第一次传球和第二次传球，求第二次恰好传给丙的概率.

20.二次函数y=/+6久+c的图象经过4(0,一3),8(2,-3).

(1)求二次函数的表达式;

(2)该二次函数图象与久轴交于C、。两点，贝以4CD的面积为一；

(3)将该二次函数图象向上平移一个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点.

21.如图，在O。中，AB=AC.

(1)若4BOC=100°,则@的度数为一

(2)若力B=13,8c=10,求O。的半径.

22.如图，AABCSAADE,。是线段BE上一点.

⑴求证

(2)求证N4BC+ZXFC=180°.

23.商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元.经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；

售价每提高5元，销售量将减少15箱.当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是

多少元？

24.如图，道路/的正上方挂有一盏路灯M,把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路1的距

离MN为4.5机，晚上，一名身高为4B的小女孩沿着道路2散步，从4处径直向前走6根到达C处

.已知小女孩在4处影子4E的长为2爪，在C处影子CF的长为1小，求小女孩的身高.

M

/hhh、_______

IEANCF

25.已知二次函数y=x2—2mx+2m—1(租为常数).

(1)求证：不论zn为何值该函数图象与无轴必有公共点;

(2)求证：不论小为何值，该函数图象的顶点都在函数y=-(x-I/的图象上.

(3)已知点4(一3,、1),B(l,%)在二次函数图象上，若为〉为，则小的取值范围是—.

26.如图，在A2BC中，CA=CB,E为AB上一点，作EF〃BC,与AC交于点F,经过点4,

E,F的。。与BC相切于点D,连接4D.

(1)求证：4。平分NB4C；

(2)若4E=5,BE=4,求CD的长.

27.(1)如图①，在中，/.ACB=90°,CDLAB,垂足为。.求证8c2=B。•B4.

(2)已知点C在线段2B上.在图②中，用直尺和圆规作出所有的点P,使得NCP8=NP2B.(保

留作图痕迹，不写作法)

(3)如图③，在RtA4BC中，乙4cB=90。，点。在边AB上，AD=2BD,连接CD.若线段CD上

存在点P(包含端点)，使得乙BPD=NBAP,则我的取值范围是—.

答案和解析

1.【答案】D

解：%2-9=0,

则无2=9,

•••x=±3,

*,•%1=3,%2=-3,

故选：D.

利用直接开平方法解出方程.

本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.

2.【答案】A

解：••・这组数据的众数与平均数恰好相等，

众数为9,

•■-9+9+x+8=9x4,

•1•x=10.

故选：A.

先确定测试成绩的众数为9,再根据算术平均数的定义计算x即可.

本题考查了众数以及平均数，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解

题的关键.

3【答案】BC

解：：y=(久一2)2+2,

••・抛物线开口向上，对称轴为直线久=2,与x轴有两个公共点，顶点坐标为(2,2),则最低点的坐

标为(2,2)；其当％=0时，y=6,即与y轴交点坐标为(0,2),

故选项4。说法错误，选项3、C说法正确，

故选：BC.

根据二次函数的性质对各选项进行判断.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与

坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

4.【答案】B

解：连接08,

,:PB,24分别切。。于4

・•・乙PB0=乙PA0=90°,

•・•乙PBC=140°,

・•・乙OBC=乙PBC一乙PBO=140°-90°=50°,

•・•OC=OB,

・•.Z.C=(OBC=50°,

・•.Z.AOB=ZC+乙OBC=100°,

・•・乙P+乙AOB+乙PAB+乙PBA=360°,

・.・乙P=360°-90°-90°-100°=80°.

故选：B.

由切线的性质得到NPB。=^PAO=90°,由等腰三角形的性质得到NC=乙OBC=50°,由三角形

的外角性质得到乙408=/。+△。8。=100。，由四边形内角和是360。，即可求出NP的度数.

本题考查切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质定理.

5.【答案】C

解：vDE//BC,

ADE^AABC,

.DE_AD

BCAB

・•・_―~1•

BD2

AD_1

t—=—f

AB3

.竺_竺_工

••丽一屈-

修=登器，故A、B选项正确，不符合题意；

L^ABCAb3

设点4到DE的距离为h,点。到BC的距离为九1，点C到DE的距离为后，

■■-DE//BC,—

h1

***h[=29

...^ADE=^L=^h=l故。选项错误，符合题意;

S^BCD郛C.fl]BC加6

•・•DE//BC,

•••hr=h2f

也九

...S^CDE_20"=DE2=1故。选项正确，不符合题意;

「SWCD加.ft]BC%3

故选：C.

易证明△ADE〜△ABC,根据相似三角形的性质即可判断4、B选项；设点/到0E的距离为七点0

到BC的距离为加，点C到DE的距离为勾，根据平行线的性质可得意=卷以此即可判断C选项；根

据平行线的性质可得比=h2,以此即可判断。选项.

本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关

键.

6.【答案】C

解：把表格中数据代入解析式，得:

（a—b+c=-1①

[a+b+c=3（2^）

（T）—（2）>得：—2b=-4,

解得b=2,a+c=1,

故①正确；

—1<0,3>0,

••・抛物线与x轴有交点,

・•・根据抛物线的对称性得二次函数的图象与X轴总有两个公共点,

故②正确；

若a<0,则开口向下，抛物线有最大值，

故③错误；

••・当自变量x的值满足—1<x<1时，与其对应的函数值y随比的增大而增大，6=2,

fa>0fa<0

•,・一2<_1或_2>i，

12a-I2a-

0<a<1或一1<a<0,

a+c=1.

•••c=1—a,

•，.0<c<1或1<c<2.

故④错误，

综上所述，①②正确，

故选：C.

由表格可得抛物线经过(-1,-1),(1,3),代入即可得出b=2,再根据抛物线的性质及交点问题依

次判断即可.

本题考查了抛物线与％轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7.【答案】4

解：•・•？=1，

b5

设a=3k,b=5k,

...也=5k+3k=/=%

b—a5k—3k2k

故答案为：4.

利用设k法，进行计算即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键.

8.【答案】5V5-5

解：rB是线段AC的黄金分割点，AB>BC,AC=10,

•••AB=^-AC=x10=5V5-5，

故答案为：5V5-5.

根据黄金分割的定义可得4B4C，然后进行计算即可解答.

本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

9.【答案】I

解：指针指向的可能情况有6种，而其中是奇数的有3种，

・•・”指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为最

故答案为：

直接利用概率公式求解.

本题考查了概率公式：随机事件力的概率p(a)=事件4可能出现的结果数除以所有可能出现的结果

数.

10.【答案】29

解：,•,设%1，外是方程/+5%—2=0的两个根，

,b-cQ

•••%]+汽2=_%=—5,%1%2=Z=-2'

•••%1+%2=(%1+X2)2_2%1%2

=(-5)2—2X(-2)

=25+4

=29.

故答案为：29.

根据一元二次方程根与系数的关系可知久1+与=-3=-5/62=?=-2,然后将就+好变形为

2

(%1+%2)-2X1X2，代入求值即可.

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据完全平方公式变形求解，熟练掌握一元二次方程

根与系数的关系是解本题的关键.

11.【答案】5

解：扇形的弧长="鬻=10兀，

lol)

设圆锥的底面半径为R,则2TTR=10TT,

所以R=5.

故答案为：5；

根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的

弧长等于圆锥底面的周长求解.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

12.【答案】200(1+x)+200(1+久/=720

解：由题意得：200(1+x)+200(1+x)2=720；

故答案为：200(1+x)+200(1+x)2=720.

根据该公司月平均增长率为%结合一月份的产值是200万元，第二个月的产值是200(1+%)元，第

三个月的产值是200(1+久)2元，二，三月份的产值总和为720万元，即可得出关于x的一元二次方

程.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关

键.

13.【答案】2

解：如图，。。切4。于巴切BC于F,切4B于G,连OE,OF,

：.OE1AC,OF1BC,

••・四边形CEOF为正方形，

•••ZC=90°,AC=6,BC=8,

AB=10,

设。。的半径为丁，贝lJCE=CF=r,

•••AE=AG=6—r,BF=BG=8—r,

・•.AB=AG+BG=AE+BF,即6—7+8一7=10,

•••r=2.

故答案为2.

。。切"于后，切BC于F,切力B于G,连OE,OF,根据切线的性质得到OE1AC,OF1BC,则

四边形CEOF为正方形，得到CE=CF=r,根据切线长定理得力E=AG6-r,BFBG=8-r,

利用6-r+8-r=10可求出r.

本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两

条切线，切线长相等.

14.【答案】54或126

解：连接OC,0D,

•••正五边形力BCDE的五个顶点把圆五等分，

ABC=AED>

・•・Z-AOC=Z.AOD,

•••Z-COF=乙DOF,

•・•OC=OD,

・•・直径4F1CD,

・•.CF=DF^

v乙COD=1x360°=72°,

1

・•・Z,COF=^x72°=36°,

当P在瓦赤上时，连接。B，BP,FP,

1

VzBOC=1x360°=72°,

・•・Z.BOF=乙BOC+(COF=108°,

i

••・乙BPF="BOF=54°,

当p在阮*上时，

由圆内接四边形的性质得乙BPF=180°-54°=126°.

ABPF的度数是54°或126°.

故答案为：54或126.

由正五边形的性质，圆周角定理，得到“OF=NDOF,由等腰三角形的性质推出直径■1CD,

从而求出ABOF的度数，分两种情况，即可解决问题.

本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质.

15.【答案】4V3

解：连接4C,CE,

•••四边形4BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

•••尸是BC中点，

BF=FC,

BEF~ADEA,

・•・EF：EA=BF：AD=1：2,

1i

・•.EF=^AF=^x6=2,

・••CD是O。的直径，

•••乙DEC=ADAC=90°,

•••AACF=^DAC=90°,乙BEC=180°-4DEC=90°,

•••EF=BF=FC=2,BC=2EF=4,

•••AC2=AF2-FC2=62-22=32,

AB=y/AC2+BC2=V32+42=4同

故答案为：4V3.

连接AC,CE,由圆周角定理得到乙4CB,ABEC是直角，由△BEFsAD瓦4,得到EF：EA=BF；

AD=1：2,即可求出£尸的长，由直角三角形的性质得到8F=FC=FE=2,由勾股定理即可解

决问题.

本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练

掌握以上知识点是解题的关键.

16.【答案]—2<p<-1

解：x2—2x—1—p,

■■x2-2x-1-p=0,

・.・关于久的一元二次方程/-2久-1-p=0有两个不相等的正根，

A=b2-4ac=4—4(—p-1)>0,且-1—p>0,

解得：-2Vp<—1.

故答案为：-2<p<-1.

根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，再根据两根之积大于0,进而可以得到关于

P的不等式，解得即可.

本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.

17.【答案】解：(1)/—4尤+1=0,

■■■a=1,b=—4,c—1,

A=b2-4ac=16-4x1x1=12>0,

AX=-^^=4±2V3=2+

2a2一

%]=2+V3，冷=2—V3;

(2)(x—3产=2x—6.

(x-3)2-2(x-3)=0,

(x—3)(x—3-2)=0,

x—3=0或x—3—2=0,

所以%1=3,%2—5.

【解析】(1)先计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解；

(2)先移项得到(久-3)2-2(x-3)=0,再利用因式分解法把方程转化为尤-3=。或尤-3-2=

0,然后解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

18.【答案】880.8

解：(1)由题意a=1<2x7+8+2x9)=8,b=8,

c屋[2X(7-8)2+(8-8)2+2X(9-8)2]=0.8.

故答案为：8,8,0.8；

(2)从方差看，乙的成绩比较稳定，选乙比较合适.

(1)根据平均数，中位数，方差的定义解决问题即可；

(2)利用方差小成绩稳定判断即可.

本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，平均数，方差等知识，解题的关键是掌握中位数，

平均数，方差的定义，属于中考常考题型.

19.【答案】1

解：(1)经过第一次传球，恰好传给乙的概率是最

故答案为：：；

(2)如图所示:

甲

乙丙丁

/K小/1\

甲丙丁甲乙丁中乙丙

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，

，第二次恰好传给丙的概率为:

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式可得.

此题考查列树状图解决问题；根据相应规则列出示意图是解决本题的关键.

20.【答案】64

解：(1)依题意，得｛=J+c=-3,解得｛建二泰

二所求二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；

(2)令y=0,贝!J7—2%—3=0,

解得久=3或x=-1,

D(3,0),

•••CD=4,

△ACD的面积为:x4x3=6,

故答案为：6；

(3)y—x2—2x—3—(x—l)2—4,

•••开口向上，顶点为(1,-4),

该二次函数图象向上平移4个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点.

故答案为：4.

(1)把两已知点的坐标代入y=x2+bx+c,然后解关于b、c的方程组即可；

(2)令y=0,则/-2久-3=0,解方程求得C、。的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可;

(3)平移后所得抛物线恰好与坐标轴有两个公共点(抛物线开口向上，即与％轴有一个交点)，顶点

的纵坐标为0.

本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确题意

得到新抛物线的顶点纵坐标为0是解决本题的关键.

21.【答案】65

解：(1)：在。。中，ABOC=100°,

•••ABAC=50°,

■.■AB=AC>

•••AB=AC,

・•.Z.ABC=乙ACB=65°,

・•・AB=65%

故答案为：65；

-1

(2)连接力0,延长4。交BC于。，贝1|力。1BC,BD=CD=泗=5,

・•・在直角△4BD中，由勾股定理，得AD=VAB2-BD2=V132-52=12;

在直角AOBD中，由勾股定理，得。炉=(12-08)2+52,

解得08=等，即。。的半径是辱.

(1)根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB=4C,结合等腰三角形的性质解答；

(2)连接4。，延长力。交BC于D,贝"D1BC,构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即

可.

考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量

相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

22.【答案】证明：(1)■.■AABC^AADE,

・5C=血凡端=骼

Z-BAC=Z.BAD+乙DAC,Z-DAE=Z-DAC+Z-CAE,

Z.BAD=Z.CAE.

AB=AC

ADAE

ABD~&ACE；

(2)ABC-LADE,

•••Z-AEB=Z-ACB.

E

D

BC

ABD~XACE,

Z.ABD=Z-ACE.

•・•乙ABF+ABAC+LAFB=乙BEC+^ACE+乙EFC=180°,乙EFC=Z.AFB,

•••Z-BAC=Z-BEC.

•••Z.AEC=Z-AEB+乙BEC=Z-ACB+Z-BAC.

•・•/.ABC+乙ACB+ABAC=180°,

・•.Z.ABC+^AEC=180°.

【解析】(1)先利用相似三角形的性质说明AB4D=NC4E,再利用“两边对应成比例夹角相等”

说明两个三角形相似；

(2)利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理先说明N4EC=乙4CB+N82C,再利用三角形的

内角和定理得结论.

本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握三角形的内角和定理、角的和差关系及相似三角

形的判定与性质是解决本题的关键.

23.【答案】解：设每箱售价为万元，销售总利润为w元，

•••售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱，

销售量=90-15x等=(-3%+240)箱，

•1.w=(x-40)(-3%+240)

=-3%2+360%—9600

=—3Q—60)2+1200,

-3<0,图象开口向下，

.•.当久=60时，w有最大值，最大值为1200,

答：当每箱售价为60元时，销售利润最大，最大为1200元.

【解析】先根据题意求出销售量，然后写出卬与x之间的函数关系式，配成顶点式，即可求出利润

的最大值.

本题考查的是二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法.

24.【答案】解：••・小女孩的身高：小女孩的影长=Z>

路灯的高度：路灯的影长，//\

/□□1、

EANC

当小女孩在AB处时，RtAABE~RtANME,即ZB：NM=AE：NE,

当小女孩在CO处时，RtACDF〜RtANMF,即CD：NM=CF：NF,

CF：NF=AE：NE,

1_2

••CN+1―2+6—CN'

・•.CN=2,

经检验：CN=2是原方程的根.

vCD：NM=CF：NF,

即CD：4.5=1：3,

解得：AB=1.5.

答：小女孩的身高43为1.5米.

【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的

光线三者构成的两个直角三角形相似解答.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键.

25.【答案】m>-l

【解析】(1)证明：丁4=47n2_4(2m-1)

=47n2—Qm+4

=4(m—l)2>0,

所以不论加为何值，该二次函数的图象与无轴总有公共点；

(2)证明：y=x2—2mx+2m—1=(%—m)2—(m—l)2,

二次函数y=x2—2mx+2m—1的顶点坐标为(m,—(TH—l)2,

当久=zn时，y=—(%—I)2=—(m—l)2,

所以不论加为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=-(%-的图象上；

(3)y=x2—2mx+2m—l(m为常数).

va=1>0,

对称轴％=一母=一二=m,

2a2

・・•/(-3,丫1)，8(1/2)在二次函数图象上，若%>丫2，

•••m>—1.

故答案为：m>-l.

(1)计算判别式的值得到△之0,从而根据判别式的意义得到结论；

(2)利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为(m,-(m-I)2),然后根据二次

函数图象上点的坐标特征进行判断；

(3)先计算出抛物线y=，-+2m-1的对称轴.利用y随%增大而减小，得出m>-1.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,6,c是常数，a丰0)与％轴的交

点坐标问题转化为解关于久的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

26.【答案】(1)证明：连接。D,

­••BC切O。于D，

二半径OD1BC,

•••EF//BC,

・•.OD1EF,

•••DE=DF，

•••Z-BAD