2024年中考数学模拟试题解直角三角形

2024年中考数学模拟试题解直角三角形选择题1、（2024苏州二模）如图，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长.(精确到1mm，参考数据:)答案：解：长方形卡片周长为200mm.2、（2024齐河三模）在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是()A．45°B．60°C．75°D．105°答案：D3.(2024·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OA=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故②正确；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=AB，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．二、填空题1、（2024齐河三模）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_____米.答案：62、（2024齐河三模）将一副三角尺按如图所示方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是_____．答案：75°3.（2024·广东深圳·一模）如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为10米．（保留根号）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】如图，因为60°的角是△ABC的一个外角，且∠B为30°已知，所以根据三角形外角和可知∠CAB=30°，即AC=BC=10m，从而利用△ABD求出BD的长，即可求出CD，利用30°角的余弦值，进而求出AB．【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．∵∠B=30°，∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠CAB，∴∠CAB=30°．∴BC=AC=10m，在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=10×0.5=5m，∴BD=15．∴在Rt△ABD中，AB=BD÷cos30°=15÷=10m．故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4.（2024·湖南湘潭·一模）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为（参考数据：20°≈0.342，20°≈0.940，40°≈0.643，40°≈0.766．精确到0.1,可用科学计算器）．答案：14.15.（2024·黑龙江大庆·一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，tan∠B=，BC=30，D为BC中点，射线DE⊥AC．将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A’，点B的对应点为B’），射线A’B’分别交射线DA、DE于M、N．当DM=DN时，DM的长为________．第1题答案：5+解答题1．(2024·重庆铜梁巴川·一模）如图，高36米的楼房AB正对着斜坡CD，点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即∠DCG）为30°，AB⊥BC．（1）若点A、B、C、D、E、G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，问点A、E之间的距离AE长多少米？（精确到十分位）（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）【分析】（1）延长FE交AB于M，设ME=x，根据直角三角形函数得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根据tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的长，然后通过余弦函数即可求得AE；（2）根据BM=NG=DN，得到DN的长，然后解直角三角形函数求得EN和FN，进而求得EF和DF的长，然后根据题意列出方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）延长FE交AB于M，∵EF∥BC，∴MN⊥AB，MN⊥DG，设ME=x，∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，∵AB=36，∴tanα•x+tanβ•x=36，∴tan37°x+tan24°x=36，0.75x+0.45x=36，解得x=30，∴AE==≈37.5（米）；（2）延长EF交DG于N，∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，∴DN=GN=13.5（米），∵∠DCG=30°，∴∠DEN=30°，∴EN=DN•cot30°=13.5×，∵=，∴∠DFN=60°，∴∠EDF=30°，FN=DN•cot60°=13.5×，∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×，∴EF+DF=27×=18，设施工队原计划平均每天修建y米，根据题意得，=+2，解得x=3（米），经检验，是方程的根，答：施工队原计划平均每天修建3米．2．(2024·山西大同·一模）（1）如图，在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD（保留作图痕迹，不写作法）.（2）图中的实线表示从A到B需经过C点的公路，且AC=10km，∠CAB=25°，∠CBA=37°.现因城市改造需要在A、B两地之间改建一条笔直的公路。问：公路改造后比原来缩短了多少千米？(参考数据：sin25°≈0.41，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，结果精确到0.01)答案：（1）图略（2）在Rt△ACD中CD=ACsin25°=4.2AD=ACcin25°=9.1在Rt△BCD中BD=CD÷tan37°=5.6AB=AD+DB=4.7BC=CD÷sin37°=7.0∴AC+BC-AB=2.33．(2024·四川峨眉·二模）如图，两座建筑物与，其地面距离为米，为的中点，从点测得的仰角为，从处测得的俯角为，现准备在点与点之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子的长度.（结果保留一位小数，，）答案：解：连结，∵=，为的中点，∴．在中，，，∴．在中，，∴．在中，，∴，∴（米）．答：绳子的长度大约为米。4．(2024·重庆巴蜀·一模）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：．（1）求通道斜面AB的长；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45）【分析】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM=CM=CD=3，则AN=DM=3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：，得出BN=AN=6，然后根据勾股定理求出AB；（2）先解Rt△MED，求出EM=DM=3，那么EC=EM﹣CM=3﹣3，再根据BE=BC﹣EC即可求解．【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=CD=3，∴AN=DM=3，∵通道斜面AB的坡度i=1：，∴tan∠ABN==，∴BN=AN=6，∴AB==3≈7.4．即通道斜面AB的长约为7.4米；（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，∴EM=DM=3，∴EC=EM﹣CM=3﹣3，∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3≈4.9．即此时BE的长约为4.9米．5．(2024·重庆巴南·一模）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=24m，DC=EF=1.6m，从而求出BC．（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，∴∠EBD=45°，∴BD=ED=FC=24m，∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=25.6（m），答：建筑物BC的高度为25.6m．（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°，∴AD=ED•tan52°≈24×1.28≈30.8，∴AB=AD﹣BD=30.8﹣24=6.8．答：旗杆AB的高度约为6.8m．5．（22）（2024·天津北辰区·一摸）（本小题10分）如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度.甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200m.甲小组测得山顶D的仰角为45°，山坡B处的仰角为30°；乙小组测得山顶D的仰角为58°.求山CD的高度（结果保留一位小数）．第1题C30°B第1题C30°BA58°45°D解：过B作BE⊥AC，BF⊥DC，E，F为垂足.第1题C30°BA58°第1题C30°BA58°45°DEF∠DBF=58°，AB=200.∵BE⊥AC，BF⊥DC，DC⊥AC，∴四边形BECF是矩形.∴，.…2分设BF=，则CE=BF=.在Rt△ABE中，，，∴，.…5分在Rt△DBF中，，∴.…7分在Rt△DAC中，∠DAC=45°，∴AC=DC.即∴.解得，.∴.答：山高约为295.2m..…10分6．（2024·天津市和平区·一模）在一次军事演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为60°，求潜艇C离开海平面的下潜深度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=60°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD===x，在Rt△BCD中，BD=CD•tan60°，∴1000+x=x•tan60°解得：x=500，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为500米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解．7．（2024·天津市南开区·一模）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】几何图形问题．【分析】过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（2024·天津五区县·一模）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）9、（2024青岛一模）如图，一艘客轮以30km/h的速度由A码头出发沿北偏东53°方向航行至B码头，已知A、B两码头所在的河岸均为东西走向，河宽为16km，求该客轮至少用多长时间才能到达B码头？（结果精确到0.1h，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】首先过点A作AE⊥BD于点E，由题意可得：cos53°=，进而得出AB的长即可得出答案．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，由题意可得：AE=16km，∠EAB=53°，故cos53°===，解得：AB=，∵客轮的速度为30km/h，∴÷30=≈0.9（h），答：该客轮至少用0.9h才能到达B码头．10、（2024齐河三模）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．答案：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴，即，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米11、（2024泰安一模）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．12、（2024枣庄41中一模）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+GD的值．【解答】解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在Rt△AFB中，∠B=45°，则∠BAF=45°，∴BF=AF=5，∵AP∥BD，∴∠D=∠DPH=30°，在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，∴GD=5，则BD=BF+FG+GD=5+20+5=25+5（km）．答：飞机的飞行距离BD为25+5km．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．【解答】解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，在Rt△ADE中，AE===18∴BE=AE﹣AB=18﹣18，在Rt△BCE中，CE=BE•tan60°=（18﹣18）=54﹣18，∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．13.(2024·浙江丽水·模拟)（本题6分）如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动2m(即BD＝2m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝45°，求梯子的长．解：解设OB=x,则OD=x+2∵∠OBA=60°∴cos∠OBA=∴AB=2x∵∠ODA=45°∴cos∠ODA=∴CD=∵AB=CD,即2x=∴x=∴梯子的长AB=14.（2024·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）（本题8分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．解：（1）过B作BG⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10．答：宣传牌CD高20﹣10米．15．(2024·浙江镇江·模拟)从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB=50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）解：作AD⊥BC于点D，∵∠MBC=60°，∴∠ABC=30°，∵AB⊥AN，∴∠BAN=90°，∴∠BAC=105°，则∠ACB=45°，在Rt△ADB中，AB=1000，则AD=500，BD=，在Rt△ADC中，AD=500，CD=500，则BC=．……4分答：观察点B到花坛C的距离为米．16．(2024·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】应用题．【分析】高速公路是否会穿过居民区即是比较点A到MN的距离与半径的大小，于是作AC⊥MN于点C，求AC的长．解直角三角形ACM和ACB．【解答】解：作AC⊥MN于点C∵∠AMC=60°﹣30°=30°，∠ABC=75°﹣30°=45°设AC为xm，则AC=BC=x在Rt△ACM中，MC=400+x∴tan∠AMC=，即解之，得x=200+200∵＞1.5∴x=200+200＞500．∴如果不改变方向，高速公路不会穿过居民区．【点评】怎么理解是否穿过居民区是关键，与最近距离比较便知应作垂线，构造Rt△求解．17．(2024·云南省·一模)如图，某同学站在旗杆正对的教学楼上点C处观测到旗杆顶端A的仰角为30°，旗杆底端B的俯角为45°，已知旗杆距离教学楼12米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1.≈1.732，≈1.414）（参考数据：sin30°=，cos30°=，tan30°=，sin45°=，cos45°=，tan45°=1）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．【解答】解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴tan30°=，∴=，∴AD=4m，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=12m，∴AB=AD+BD=34+12（m）．答：旗杆AB的高度为34+12m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．(2024·郑州·二模)图l是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由EN位置运动到与地面垂直的EM位置时的示意图．已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝18°（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）（1）求AB的长（精确到0.01米）（2）若测得EN＝0.8米，计算小明头顶由N点运动到M点的路径eq\o(\s\up11(⌒),\s\do4(MN))的长度（结果保留π）【解答】解：（1）作AF⊥BC于点F．∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠AFC=∠ADC=90°.∴四边形ADCF是矩形.∴FC=AD.∴BF=BC﹣CF=BC﹣AD=0.64-0.24=0.4米，∴AB=BF÷sin18°=0.4÷0.31≈1.29米；（2）∵∠NEM=90°+18°=108°，19.（2024·广东河源·一模）一测量爱好者在海边测量位于其正东方向的小岛高度AC.如图所示，他先在点B测得小岛的顶点A的仰角是，然后沿正东方向前行62m到达点D，在点D测得小岛的顶点A的仰角为（B，C，D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计)．求小岛的高度AC。(结果精确到1m，参考数据：，)解：设AC＝xm，在Rt△ACD中，，∴.在Rt△ABC中，，∴由，得，解得∴小岛的高度AC约为53m.20.（2024·广东深圳·联考）2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨。梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树38°C被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所38°C示）。E23°DFA60°=3m。E23°DFA60°（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度。（结果保留根号）

答案：解：（1）延长BA交EF于一点G，则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，则Rt△ADH中，∵∠ADC=60°，∠AHD=90°，∴∠DAH=30°，∵AD=3，∴DH=，AH=．Rt△ACH中，∵∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°，∴∠C=45°，故CH=AH=，AC=．故树高++（米）．21.（2024·广东深圳·联考）如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠DPF的值．答案：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．（2）解：延长BF，作DH⊥PH于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，∠DFH=30°，∵AD=6，AF=4，∴DF=1，∵DH⊥PH，∠DFH=30°，∴∴FH=，∴在Rt△APF中,PF=AFcos30°=，PH=∴tan∠DPF==．22.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角函数值表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）答案：解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；.........................5分（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．.........................9分23．（2024·河南三门峡·一模）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x∴0.4x=3.5，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．24.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角函数值表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）答案：解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．25．（2024·河南三门峡·一模）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x∴0.4x=3.5，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．26.（2024·吉林东北师范大学附属中学·一模）（7分）如图，在一滑梯侧面示意图中，于点，于点．，，（1）求滑道的长（结果精确到）．（2）求踏梯底端与滑道底端的距离（结果精确到）．【参考数据：】（（第20题）BDECAF答案：解：（1）在中，，（3分）（2）解法1：（5分）在中，由得又，（7分）解法2：. （5分）在中，.由得又，（7分）答：长约为3.8m，约为5.6m.评分说明：（1）计算过程中不写“”不扣分.（2）求出不扣分.（3）解法2中用代入不扣分.27.（2024·江苏常熟·一模）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．【考点】解直角三角形；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10×=5，CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．28.（2024·江苏常熟·一模）每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）【考点】解直角三角形的应用．【专题】探究型．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC=15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE=60°，AD=4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE=CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．29.（2024·江苏丹阳市丹北片·一模）（6分）如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为140cm．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1≈1.1，tanθ2≈0.4．如果安装工人已确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？θθ1θ2答案：CD=123cm30.（2024·辽宁丹东七中·一模）（10分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为多少？1．GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。答：略31．（2024·河南洛阳·一模）(9)由于发生山体滑坡灾难，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图10）．试确定生命所在点C与地面的距离．（参考数据,1.41，1.73，结果精确到0.1）过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=CD；………….3在Rt△BCD中，∠CBD=45°，BD=CD；…………….6∵AB=2，∴CD-CD=2，CD=≈2.7，生命所在点C与探测面的距离约2.7米……………..……….932．（2024·吉林长春朝阳区·一模）如图，某校教学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，用高度为1m的测量仪器CD，在距建筑物AB底部25m的C处，测得该建筑物顶部A处的仰角为∠ADE=41°，求建筑物AB的高度．（精确到0.1m）．【参考数据：sin41°=0.66，cos41°=0.75，tan41°=0.87】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：BC=DE=25m，则tan41°===0.87，解得：AE=21.75，故AB=21.75+1≈22.8（m）．答：建筑物AB的高度为22.8m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AE的长是解题关键．4．（2024·湖南省岳阳市十二校联考·一模）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】几何图形问题．【分析】先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离约100km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．33．（2024·湖南湘潭·一模）（本小题8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测车速．如图，观测点C到公路的距离CD为100米，检测路段的起点A位于点C的南偏西60°方向上，终点B位于点C的南偏西45°方向上.某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为4秒．问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度？（参考数据：≈1.4，≈1.7）23．由题意得，在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，CD=100米，∴BD=CD=100米.在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=60°，CD=100米，∴AD=CD·tan∠ACD=100(米).∴AB=AD-BD=100-100≈70(米).∴此车的速度为（米/秒）.∵17.5＞16，∴此车超过了该路段16米/秒的限制速度.34.（2024·河大附中·一模）（9分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52’，已知山高BE为80m，楼底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52’≈0.60,tan36°527≈0.75)第1题答案：35.（2024·黑龙江大庆·一模）图1为大庆龙凤湿地观光塔，游客可乘坐观光电梯进入观光层向四周瞭望，鸟瞰大庆城市风光．如图2，小英在距塔底D约200米的A处测得塔球底部平台B的仰角为45°，塔尖C的仰角为60°，求平台B到塔尖C的高度BC．（精确到个位，）第2题答案：解：在Rt△ADC中，∵AD=200，∠CAD=60°，∴DC=DA•tan60°=200；在Rt△ADB中，∠BAD=45°，∴BD=AD=200，∴BC=DC-DB=200-200≈146（米），∴平台B到塔尖C的高度BC约为146米．36.（2024·湖北襄阳·一模）（本小题满分6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC=，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．第3题答案：解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵cosC=，∴∠C=45°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，∠C=45°，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB==，AD=1，∴AB==3．∴BD==2．∴BC=BD+DC=2+1．（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=+．∴DE=CE﹣CD=﹣．∴tan∠DAE==﹣．37.(2024·陕西师大附中·模拟)（7分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据，，）第20题图【答案】解:在Rt△BAE中，，BE=162米第20题图∴在Rt△DEC中，，DE=176.6米∴∴（米）即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米38．(2024·上海闵行区·二模)如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，CE=BC•sin∠ABC=8×=4，在RT△ACE中，∵sin∠A=，∴AC===4，∴AE===8，则AB=AE+BE=8+4，故S△ABC=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；（2）过点D作DH⊥AB与点H，∵CE⊥AB，∴DH∥CE，又∵D是AC中点，∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键39．(2024·上海普陀区·一模)如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠BAD的值．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，∴AE=5+3=8，∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，∴sin∠BAD===．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键．40．(2024·上海闵行区·二模)如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA=12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i=1：，∴BE：EA=12：5，设BE=12x，则EA=5x，由勾股定理得，BE2+EA2=AB2，即（12x）2+（5x）2=262，解得，x=2，则BE=12x=24，AE=5x=10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠FAH=，∴AH=≈18，∴BF=18﹣10=8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．锐角三角函数与特殊角一、选择题1．(2024·四川峨眉·二模）如图，已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为 答案：D2．（2024·天津北辰区·一摸）的值等于（）.（A）（B） （C） （D）答案：C3．（2024·天津市和平区·一模）sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．4．（2024·天津市南开区·一模）3tan60°的值为（）A． B． C． D．3【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．5．（2024·天津五区县·一模）2cos45°的值等于（）A． B． C． D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主6.(2024·上海普陀区·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角的性质，可得∠=∠BCD，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：A、在Rt△ABD中，cosA=，故A正确；B、在Rt△ABC中，cosA=，故B正确C、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故C错误；D、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7.（2024·江苏常熟·一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，那么tanB等于（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据三角函数的定义求解，正切=．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，∴tanB=，故选：C．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．8.（2024·河北石家庄·一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（）第1题A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据正切的概念进行解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，tanα=，则BC=AC•tanα═7tanαm，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．9.（2024·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A.B.C.或D.或或第2题答案：C10.（2024·广东·一模）在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A．B．2C．1D．2答案：B11.（2024·广东深圳·联考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是B． C． D．答案：A二、填空题1、（2024枣庄41中一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=．【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．2.(2024·上海普陀区·一模)(2024·上海普陀区·一模)计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．7/2故答案为：7/2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．(2024·山东枣庄·模拟)如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC=AB，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4.（2024·河南三门峡·二模）如图，ON⊥OM，等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，边AC在OM上，将ACB绕点A逆时针旋转75°，使得点B的对应点E恰好落在ON上，则=．答案：5.（2024·江苏常熟·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO=5cm．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】利用三角函数求BD的值，然后根据勾股定理求出AD，OD的值．最后求AO．【解答】解：连接BO，设OA与BC交于点D，根据题意，得OA垂直平分BC．∵AB=AC=5cm，cosB=，∴BD=3．根据勾股定理得AD==4；OD===1．∴AO=AD+OD=5，故答案为5．【点评】考查了锐角三角函数的概念、勾股定理．6.（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，矩形ABCD的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E.则cos∠ADE=．第1题第1题答案：7.（2024·广东深圳·联考）答案：1三、解答题1.．(2024·上海浦东·模拟)（本题满分10分）计算：．解：原式=……（8分）＝1＋……（2分2．(2024·上海普陀区·一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3.（2024·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）（10分）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？答案：（10分）解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；（2）设AD=x，AE=6﹣x，∵S△ADE=AD•AE•sinA=3，即：x（6﹣x）•=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD=；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∴AD=b，AE=c，∴bc=（a+b+c），∴=﹣1．4.（2024·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=，DB=．求：（1）AB的长；（2）∠CAB的余切值．（第4（第4题图）DABCE答案：解（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD＝，∠ABC＝45°，∴BE＝DE＝3，在Rt△ADE中，sin∠DAB＝，DE＝3，∴AE＝4，∴AB＝AE＋BE＝4＋3＝7（2）作CH⊥AB，垂足为H∵AD是BC边上的中线，DB＝，∴BC＝，∵∠ABC＝45°，∴BH＝CH＝6，∴AH＝7－6＝1即在Rt△CHA中，（第21（第21题图）DABCEH5.（2024·湖北襄阳·一模）（本小题满分6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC=，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．第1题答案：解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵cosC=，∴∠C=45°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，∠C=45°，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB==，AD=1，∴AB==3．∴BD==2．∴BC=BD+DC=2+1．（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=+．∴DE=CE﹣CD=﹣．∴tan∠DAE==﹣．6.（2024·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．解：（1）如图1所示（画2个即可）．（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形．（3）如图3，点D的位置如图所示：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．7.（2024·广东东莞·联考）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，过C的直径交⊙O于点F，连接CD、BF、EF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求：tan∠BFE的值．【考点】切线的判定；解直角三角形．【专题】综合题．【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可；（2）过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，利用角之间的关系可得到AC∥BF，从而得到BH=EH=a，BE=2EH=2a，进而可得到BF的长，此时可求得FH的长，再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴BC=，∵OB=，BD=，∴BC=OB=BD，∴BC=，∴OC⊥CD，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，∵CF是⊙O直径，∴∠CBF=90°=∠ACB，∴∠CBF+∠ACB=180°，∴AC∥BF，∴∠ABF=∠A=30°，∴BH=EH=a，BE=2EH=2a，∵CE⊥AB于E，∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，∴∠ECB=∠A=30°，∴BC=2BE=4a，∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，∴BF==4a，∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a，∴tan∠BFE===．【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．要熟知直角三角形的性质并熟练掌握三角函数值的求法．8.（2024·广东深圳·一模）计算：﹣2sin45°﹣（1+）0+2﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=﹣2×﹣1+1/2=﹣1/2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．9.（2024·广东东莞·联考）计算﹣2cos45°﹣（2014﹣π）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣2×﹣1﹣2=2﹣﹣3=﹣3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．10.（2024·广东深圳·联考）计算：答案：解:原式＝＝6.图形的相似与位似选择题1、（2024齐河三模）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM:MA=1:2答案：D2、（2024齐河三模）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P1B．P2C．P3D．P4答案：B3、（2024泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质．【专题】应用题．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5．故选：A．4.(2024·浙江金华东区·4月诊断检测下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．A．B．C．D．ACB答案：B5、（2024齐河三模）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM:MA=1:2答案：D6、（2024齐河三模）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P1B．P2C．P3D．P4答案：B7、（2024泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质．【专题】应用题．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5．故选：A．8．第（6）题DCABE（2024·天津北辰区·一摸）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，，BC第（6）题DCABE（A）（B）（C）（D） 答案：C9.（2024·天津市南开区·一模）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（） D．（1，﹣1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，﹣），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．10.（2024·天津市南开区·一模）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC