《数学（上 二册）（第二版）》 课件 第6章 平面解析几何

平面解析几何第6章35目录6.1直线的倾斜角和斜率6.2直线的方程6.3两条直线的位置关系6.4曲线和方程6.5圆6.6椭圆6.7双曲线6.8抛物线366.1直线的倾斜角和斜率37如图a所示，在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，可以很好地反映直线l的倾斜程度，我们把α称为直线l的倾斜角。图b可以表示上海杨浦大桥桥塔上过同一点P的两条拉索（同一平面内）中，左侧拉索所在直线的倾斜角α1是锐角，右侧拉索所在直线的倾斜角α2是钝角。图c中的直线l垂直于x轴，它的倾斜角α是90°。图d中直线l垂直于y轴，我们规定它的倾斜角α是0°。因此，直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°（或写作α∈[0，π））。38这样，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等。当直线l的倾斜角α≠90°时，α与其正切tanα是一一对应的，因此，直线的倾斜程度也可用tanα表示。我们把直线倾斜角α（α≠90°）的正切称为直线的斜率。通常用小写英文字母k表示，即39根据正切函数的知识，可以得到直线的倾斜角α与斜率k之间的关系如下：当直线垂直于y轴时，α=0°⇔k=0；当直线的倾斜角是锐角时，0°<α<90°⇔k>0；当直线垂直于x轴时，α=90°⇔k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90°<α<180°⇔k<0。40事实上，无论直线的倾斜角α是锐角还是钝角，我们都能得到如下结论：在平面直角坐标系中，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是设向量

=（v1，v2）与直线l平行，则向量

称为直线l的方向向量。若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的两点，则向量

=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量。由直线l的斜率公式k=

（x2≠x1）可得416.2直线的方程42直线的点向式方程如图所示，如果直线l与两条坐标轴都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量

=（v1，v2），且经过点P（x1，y1），求直线l的方程。43设点C（x，y）是直线l上的不同于点P的任意一点，因为

为直线l的方向向量，且

=（x-x1，y-y1），所以方程①称为直线的点向式方程。若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则向量

=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量。如果直线l与两条坐标轴都不垂直，由点向式方程可得方程②称为直线的两点式方程。44直线的点斜式方程如图所示，已知直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k。设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，由直线的斜率公式，得将上式两边同乘以x-x0，得因为点P0的坐标（x0，y0）同样满足上述关系式，所以关系式③就是所求直线l的方程。由于这个方程是由直线l上一定点P0（x0，y0）和直线l的斜率k所确定的，所以把方程③称为直线的点斜式方程。45直线的斜截式方程与截距式方程如图所示，点P0是直线l与y轴的交点，设其坐标为（0，b），我们把b称为直线l在y轴上的截距。此时，直线l的点斜式方程为y-b=k（x-0）即46方程④是由直线l的斜率k和在y轴上的截距b确定的，所以把方程④称为直线的斜截式方程。若直线l与x轴相交于点A，设其坐标为（a，0），我们把a称为直线l在x轴上的截距。我们把方程称为直线的截距式方程。47直线的一般式方程从上述讨论可知，直线的方程无论是点斜式还是斜截式，都是关于x，y的二元一次方程。二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B不全为零）。那么，形如Ax+By+C=0（A，B不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢?我们通过下表来讨论这个问题。4849综上所述，方程Ax+By+C=0（A，B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。我们把形如的二元一次方程称为直线的一般式方程。506.3两条直线的位置关系51两条直线平行的判定如图所示，设直线l1和l2的倾斜角分别为α1和α2，斜率分别为k1和k2。52如果l1∥l2，那么直线l1与l2的倾斜角相等，即α1=α2，则tan

α1=tan

α2，即k1=k2。因此，若l1∥l2，则k1=k2。53如果直线l1与l2不重合，且k1=k2，即tan

α1=tan

α2（α1，α2∈[0，π）），则α1=α2，得到l1∥l2。因此，若k1=k2，则l1∥l2。于是，对于两条不重合的直线l1与l2，若它们的斜率分别为k1与k2，则有若它们的斜率都不存在，那么它们的倾斜角均为90°，也有l1∥l2。54两条直线垂直的判定设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2（α1，α2≠90°），l1的方程为y=k1x+b1（k1≠0），l2的方程为y=k2x+b2（k2≠0）。我们来讨论l1⊥l2时，它们的斜率k1与k2之间的关系。由图a可得α1+（180°-α2）=90°，则所以k1=-

，即k1·k2=-1。5556因此，对斜率都存在的两条直线l1与l2，当l1⊥l2时，必有k1·k2=-1。反之，当k1·k2=-1时，有则所以α1+（180°-α2）=90°，即l1⊥l2。因此，有如果两条直线l1与l2的斜率一个等于0，另一个不存在，如上图b所示，显然，这两条直线也垂直。57相交直线的交点设平面内两条不重合的直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果l1，l2不平行，则必然相交于一点，交点的坐标既满足l1的方程，又满足l2的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1与l2的交点。因此，求两条相交直线的交点，只需解以下方程组即可。这个方程组的解就是l1与l2的交点坐标。58点到直线的距离如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0。过点P0作直线l的垂线P0Q，Q为垂足，则垂线段P0Q的长度就是点P0到直线l的距离，记作d。可以证明，点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式为596.4曲线和方程60曲线和方程的概念下面以图b所示抛物线为例进行分析。二次函数y=x2的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线由所有以方程x2-y=0解为坐标的点组成的。也就是说，如果点P（x0，y0）是这条抛物线上的点，则（x0，y0）一定是这个方程的解。由此推广到一般情况：在平面直角坐标系中，如果某条曲线C（可以将其看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；同时以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么，方程F（x，y）=0称为曲线C的方程，而曲线C是这个方程F（x，y）=0的曲线。6162求曲线的方程在平面上有两定点A，B，现要寻找点P使PA⊥PB，你能求出满足条件的点P的轨迹方程吗?以线段AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标xOy。设丨AB丨=2a（a>0），则点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）。现设点P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）。所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是点P的轨迹方程。63由此，我们可以总结出已知平面曲线求曲线方程的主要步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设曲线上任意一点P（或动点）的坐标为（x，y）；（3）写出点P的限制条件，即列出等式；（4）将点P的坐标代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化简方程F（x，y）=0（此过程应为同解变形）。由于化简过程是同解变形，所以可以省略证明“以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点”的过程。64求两条曲线的交点两条曲线（包括直线）的交点坐标也就是两条曲线的公共点的坐标。由曲线上点的坐标和其方程的解之间的关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。反之，方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；若方程组无实数解，则两条曲线就没有交点。因此，求两条曲线的交点就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。656.5圆66圆的标准方程如图所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆以点C（a，b）为圆心、r为半径，设P（x，y）是圆上任意一点，则|PC|=r。由两点之间的距离公式，可以得到关于点P的坐标的关系式将上式两边平方，得67若点P（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点P的坐标满足方程①；反之，若点P的坐标（x，y）满足方程①，则表明点P到圆心C的距离为r，即点P在以点C为圆心的圆上。所以方程①就是以点C（a，b）为圆心、r为半径的圆的方程。我们称这个方程为圆的标准方程。如果圆心在坐标系的原点，这时a=0，b=0，那么圆的标准方程就是

x2+y2=r2。

①68圆的一般方程圆的方程还有一种形式。我们看一个具体的例子，图中，已知圆的圆心为C（6，-5），半径r为4。由此，我们可以写出这个圆的标准方程（x-6）2+（y+5）2=16。将上面的方程展开并整理得x2+y2-12x+10y+45=0。我们把方程x2+y2-12x+10y+45=0称为这个圆的一般方程。通常，如果形如的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程。需注意的是，与方程③类似的方程并不是都能表示一个圆。6970直线与圆的位置关系在平面几何中，我们已经学习过直线与圆的三种不同的位置关系及它们的判定方法。已知圆C的半径为r，设圆心C到直线l的距离为d。1.直线和圆有两个公共点，称为直线与圆相交，这时直线称为圆的割线。直线l与圆C相交⇔d<r。2.直线和圆有唯一公共点，称为直线与圆相切，这时直线称为圆的切线，唯一公共点称为切点。直线l与圆C相切⇔d=r。3.直线和圆没有公共点，称为直线与圆相离。直线l与圆C相离⇔d>r。71以上应用了几何方法判定直线与圆的位置关系。在平面直角坐标系中，圆的圆心为C（a，b），直线l的方程为Ax+By+C=0，则圆心C到直线l的距离d为比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系。应用代数方法，从联立方程组的解的个数，也能判定直线与圆的位置关系。通过方程组中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一个关于x的一元二次方程，由这个一元二次方程的判别式Δ的符号就能判定直线与圆是相交、相切还是相离。72我们把上述讨论的直线与圆的位置关系及判定方法总结如下：73圆的参数方程我们前面学习了直线的方程Ax+By+C=0（A，B不全为零）和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）。直线和圆的方程都可以表示为F（x，y）=0的形式。方程F（x，y）=0描述了曲线上任一点的坐标x，y之间的关系，习惯上，我们把方程F（x，y）=0称为曲线的普通方程。下面，我们要学习曲线方程的另一种形式———参数方程。如图所示，设圆心在原点、半径为r的圆O与x轴的正半轴的交点是A。74设在圆上的点从点A开始按逆时针方向运动到达点P，∠AOP=θ，则点P的位置与旋转角θ有关。当θ确定时，点P在圆上的位置也就确定了。点P在圆上的位置是随θ的变化而变化。点P的横坐标与纵坐标都是θ的函数，由三角函数的定义得并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在圆O上。方程组①称为圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，其中θ是参数。75一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点P的坐标x，y都是某个变量t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x，y）都在这条曲线上，则方程组就称为这条曲线的参数方程。变量t称为参变数，简称参数。76将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都表示曲线上任意一点的坐标之间的关系。曲线的参数方程

消去参数t后即化为曲线的普通方程，但要注意的是消参数的过程中一定要保证不使方程的取值范围发生改变。776.6椭圆78观察下面图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?一杯水图所示水杯的杯口为圆形，杯中盛有水。竖直放置时，杯中水面的轮廓为圆形；现将杯口倾斜（无水溢出），观察杯中水面轮廓形成的曲线。这一曲线与圆相比具有什么特征?一条曲线取一根没有伸缩性的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2

两点，且使绳长大于F1和F2之间的距离。用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，笔尖就画出了如图所示的一条曲线。79椭圆的定义及其标准方程实例考察中，上图中杯中水面的轮廓和上图中画出的曲线都是椭圆。分析上面的作图方法不难看出，椭圆上的任意一点到点F1和F2的距离的和为定值。我们定义：下面，我们来建立椭圆的方程。如图所示，以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。80设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0）。又设点P与F1，F2的距离之和等于常数2a（a>0），于是有|PF1|+|PF2|=2a。应用两点间的距离公式，并把P，F1和F2的坐标代入，得整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。81由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0。为了使方程变得简单整齐，可令a2-c2=b2（b>0），则方程变为b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2。82如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，如图所示，用同样的方法，可得椭圆的方程为这个方程是一个焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点为F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之间仍然满足a2=b2+c2。83椭圆的几何性质通过曲线的方程来研究曲线的几何性质并正确画出图形是解析几何的基本问题之一，我们可以根据椭圆的标准方程，来研究椭圆的几何性质。现给出下表供读者学习、研究。8485借助上表所列的几何性质可以画出椭圆的草图。其步骤是：1.根据椭圆的标准方程标出四个顶点；2.过这四个顶点作坐标轴的平行线，得到椭圆的界定矩形；3.用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆，连接时要注意椭圆的对称性及顶点附近的平滑性。86椭圆的参数方程我们知道在同角三角函数基本关系式中有恒等式cos2

θ+sin2

θ=1，且椭圆的标准方程为因此，可以令

即（θ为参数）

这就是椭圆的参数方程。其中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。根据椭圆的参数方程，椭圆上任一点的坐标可设成（acosθ

，bsin

θ），这为解决椭圆问题提供了一条新的途径。876.7双曲线88双曲线的定义和标准方程显然，图所画曲线的特点是，其上任意一点到点F1和F2的距离的差的绝对值相等。我们定义：89与椭圆类似，以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设P（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则两个焦点的坐标分别为F1（-c，0）和F2（c，0）。又设点P与F1，F2的距离之差的绝对值为2a（0<a<c），即丨PF1丨-丨PF2丨=±2a。90由两点间的距离公式得所以整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）。91由于0<a<c，所以c2-a2>0。令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，c之间的关系是c2=a2+b2。92如图所示，如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线