山东省青岛市第三十一中学高二数学文摸底试卷含解析

山东省青岛市第三十一中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，则P（B）为（）A．0.2 B．0.3 C．小于0.7 D．0.7参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，∴P（B）=1﹣P（A）=1﹣0.3=0.7．故选：D．2.与圆及圆都外切的圆的圆心在（

）A．一个椭圆上

B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上

D.一个圆上参考答案：B略3.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

()A、

B、

C、

D、参考答案：C略4.化简：（sinα+cosα）2=（）A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα参考答案：A【分析】把（sinα+cosα）2展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果．【解答】解：∵（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是．

．

．

．或参考答案：．已知曲线为轴右侧的半个单位圆，由数形结合可知，直线过点时，直线与曲线有两个公共点，即时，直线与曲线有两个公共点；将直线作向下平移至直线与半圆相切时，直线与曲线恰有一个公共点；向上平移至直线过点时，都只有一个公共点；所以，的取值范围是或故选．6.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.给出下列四个命题：①若，则或；②，都有；③“”是函数“的最小正周期为π”的充要条件；④的否定是“”；其中真命题的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】利用交集的定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用三角函数的周期判断③的正误；利用命题的否定判断④的正误；【详解】解：对于①若，则或；显然不正确，不满足交集的定义；所以①不正确；对于②，都有；当时，不等式不成立，所以②不正确；对于③“”是函数“，函数的最小正周期为”的充要条件；不正确，当时，函数的周期也是，所以③不正确；对于④“”的否定是“”；满足命题的否定形式，正确；故选：A．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数恒成立、三角函数的周期、交集的定义、命题的否定，是基础题．

8.抛掷一颗骰子得到的点数记为m，对于函数f（x）=sinπx，则“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”等价于[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，问题得以解决．【解答】解：由题意f（x）=sinπx的周期为2，y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”，∴[0，m]长度要不小于2个周期，所以m≥4，即m=4，5，6，故概率为“y=f（x）在[0，m]上至少有5个零点”的概率为=，故选：B．9.平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈β，且B?l，点C∈α，又AC∩l=R，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是（）A．直线CR B．直线BR C．直线AB D．直线BC参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用图象，结合空间图形的公理，即可得到【解答】由题易知R∈γ，且R∈β，又B∈γ，且B∈β∴R，B都在平面γ与平面β的交线上所以β∩γ=BR故选：B10.双曲线的渐近线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则

.参考答案：-212.已知结论：“在三边长都相等的中，若是的中点，是外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若是的三边中线的交点，为四面体外接球的球心，则

”．参考答案：3

略13.在平面几何中,有射影定理：“在中,，点在边上的射影为，有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面，点在底面上的射影为，则有

.”

参考答案：14.已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是

．参考答案：（2，+∞）【考点】函数恒成立问题；奇偶函数图象的对称性．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．15.如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有种．参考答案：80【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C36=20种；第三步D→B最近走法有2种，利用乘法原理可得结论．【解答】解：分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C36=20种；第三步D→B最近走法有2种，故由A→B最近走法有2×20×2=80种．故答案为：80．16.任取x∈[0，π]，则使的概率为

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质；概率与统计．【分析】求出满足的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：∵x∈[0，π]，∴时，x∈[，]，∴使的概率P==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，计算出满足的区间宽度，是解答的关键．17.将二进制数101101(2)化为八进制数，结果为____________.参考答案：55(8)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知点M的坐标为（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设直线l的方程为：y=x+m，与椭圆方程联立可得：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．k1+k2=+=，分子=+，把根与系数的关系代入即可得出．【解答】（1）解：右焦点（c，0），则=，又，a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=2．∴椭圆E的方程为=1．（2）证明：设直线l的方程为：y=x+m，联立，化为：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．又k1=，k2=．∴k1+k2=+=，分子=+=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，∴k1+k2=0，为定值．19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.参考答案：（1）;(2)20.如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点。 （1）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明； （2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值。参考答案：（1）当BQ=AB时，有QP∥平面AMD。 证明：因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，所以MD∥NB， 所以，又，所以，所以在△MAB中，OP∥AM。 又OP面AMD，AM面AMD，∴OP∥面AMD。 （2）以DA、DC、DM所在直线分别为轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以（0，-2，2），（2，0，1），（0，2，0）， 设平面CMN的法向量为（），则，所以，所以=（1，-2，-2）。 又NB⊥平面ABCD，∴NB⊥DC，BC⊥DC，∴DC⊥平面BNC，∴平面BNC的法向量为（0，2，0） 设所求锐二面角为，则。21.（本题满分12分）已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.参考答案：1）由，

，得，，所以椭圆方程是：……………