浙江省宁波市九校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市九校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则的子集个数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，则，所以，的元素个数为，的子集个数是.故选：C.2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度〖答案〗B〖解析〗为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.故选：B.3.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，不妨取，，则，所以，“”“”，另一方面，当时，由不等式的基本性质可得，所以，“”“”，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知菱形的边长为1，若，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故选：D.5.若函数为偶函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，在(或其子集)上为偶函数，恒成立，恒成立，故选：A.6.某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗C〖解析〗设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍，即，即，即，再过周后该植物的长度为，因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍.故选：C.7.已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，对任意的，，故对任意的，，故函数的定义域为，因为，所以，，函数为奇函数，令，则函数在上增函数，函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由，可得，所以，，所以，，即，令，当时，则有，显然成立；当时，则，所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，解得，此时，；当时，则，所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：A.8.已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14〖答案〗B〖解析〗由题意知，因为为奇函数，所以，，因为为偶函数，所以，相加得，又因为，所以，当代入得，即，代入得，即，即；当代入得，即，代入得，即，即；因为在上没有最小值，设，则，所以，的最大值是6.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列式子化简正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.10.已知边长为的正边形.若集合且，则（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，当时，如下图所示：则，，，同理可得，，，故时，，A对；对于B选项，当时，如下图所示：，，，此时，，B错；对于C选项，当时，取中点，连接，则，如下图所示：易知正五边形的每个内角都为，则，故，则，由平面向量数量积的定义可得，故当时，，C对；对于D选项，当时，设正六边形的中心为，如下图所示：易知正六边形的每个内角都为，则，故，所以，，，则，由正六边形的几何性质可得，则，则，结合图形可知，故，因此，当时，，D对.故选：ACD.11.若，则（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是0D.的最大值是〖答案〗BCD〖解析〗若，则，，，即，对于A，，当且仅当，即，时，等号成立，可得，故A错误；对于B，由，可得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；对于C，由，可得，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确；对于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值是，故D正确.故选：BCD.12.下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A：因为均不为0，且，又因为在定义域内单调递减，可得，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，且，，可得，即，故B正确；对于选项C：因为，则，可得，且，所以，故C错误；对于选项D：对于与，如图所示，可知当时，则，令，可得，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为.若，则__________.〖答案〗2〖解析〗设扇形的面积为，，则，所以，即，所以.故〖答案〗为：2.14.与向量共线的一个单位向量的坐标是__________________.〖答案〗或〖解析〗因为，，所以与向量共线的单位向量为，所以向量共线的一个单位向量的坐标是或.故〖答案〗为：或.15.已知函数在上既有最大值，又有最小值.若，则______，______.〖答案〗0〖解析〗对于函数，当时，它在上没有最大值，也没有最小值，所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，所以，其值域为，由得，，，，其中，所以，因为，所以，所以，两边平方得，因为，根据题意可得的解集为，所以为方程的根，所以，所以，解得.故〖答案〗为：0.16.设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是______________.〖答案〗〖解析〗设函数在、上的值域分别为、，当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数，此时，函数在上为增函数，当时，即当时，函数在上为增函数，当时，则，则，①当且时，，即，此时，函数在上为增函数，则，即，由题意可知，，则，解得，此时，；②当时，函数在上为增函数，则，当时，，当时，，则，此时，，当时，，则，此时，，如下图所示：若对任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，此时，；③当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，当时，，则，此时，，当时，，则，如下图所示：若对任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，与矛盾，此时，不存在，综上所述，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求解下列各题：（1）计算：；（2）已知，求的值.解：（1）原式.（2）因为，所以，所以，所以.18.已知集合，.（1）当时，求；（2）从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.解：（1）由，得，得，所以，当时，，所以.（2）若选①，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是；若选②，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是；若选③，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是.19.已知向量.（1）求函数的〖解析〗式及其单调递减区间；（2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围.解：（1），由，得，即函数的单调递减区间为.（2）当时，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，函数在区间上有且仅有两个零点，等价于函数的图象与函数在上有两个公共点，所以，或，即的取值范围是.20.已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数〖解析〗式为.（1）在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数〖解析〗式；（2）在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.解：（1）由题意知的最大值为，最小值为，所以，，解得，由题意可知，函数的最小正周期为，则，所以，当时，，即，可得，又，所以，所以，.（2）令，得，由，得，所以，解得，即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.21.已知函数.（1）若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；（2）当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）定义域为，由题知，即，化简得，即对任意恒成立，得.（2）当时，，因为不等式对恒成立，所以①，且②对恒成立，由①得，②即对恒成立，令，则，当且仅当时，所以，综上：的取值范围是.22.已知函数有3个不同的零点，且.（1）求实数的取值范围；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.解：（1）由已知得，当时，在