线性代数向量的定义及运算

关于线性代数向量的定义及运算平面上的向量的全体：任意规定加法和数乘为：易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律.于是就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律.§4.1向量的定义及运算第2页,共18页，2024年2月25日，星期天同样，（欧式）空间中的向量视为即实数域上所有三维向量的全体.类似地规定向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条规律.第3页,共18页，2024年2月25日，星期天n维行向量和n维列向量都称为n维向量(vector)，n维向量常用小写黑体字母表示.将2、3维向量推广到n维向量.定义4.1.1由n个数构成的有序数组，记作称为n维行向量；若记作则称为n维列向量.称数为的第i个分量.第4页,共18页，2024年2月25日，星期天例：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例：n-1次代数多项式系数向量n维向量的实际意义：第5页,共18页，2024年2月25日，星期天

时，维向量没有直观的几何形象．例：确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量第6页,共18页，2024年2月25日，星期天定义4.1.2设两个向量则称向量α与β相等，记作α=β.（1）如果它们对应的分量分别相等，即（3）数量乘法：k为实数，称向量（2）加法：称向量为α与β的和，记作为k与α的数乘，记作第7页,共18页，2024年2月25日，星期天（5）称为α的负向量，记作-α.因而可以定义向量的减法运算：（4）分量全为0的向量称为零向量，记作0（注意区别数零和零向量）.第8页,共18页，2024年2月25日，星期天对任意的n维向量α,β,γ及任意的数k,l，向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律：

向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法与乘法.显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形.第9页,共18页，2024年2月25日，星期天定义4.1.3全体n维实行向量构成的集合，对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘运算，构成n维（实）行向量空间；类似地，定义n维（实）列向量空间；用符号表示或，称为n维（实）向量空间.第10页,共18页，2024年2月25日，星期天例4.1.1设求解：第11页,共18页，2024年2月25日，星期天得到的向量称为向量组的线性组合，或称可由线性表出.定义4.1.4给定中的向量实数经线性运算两个向量的线性组合的几何示意图第12页,共18页，2024年2月25日，星期天证明：由向量的线性运算，得即例4.1.2向量和的几个线性组合：例4.1.4证明：任意n维向量是向量组的线性组合.第13页,共18页，2024年2月25日，星期天例4.1.5令，能否写成和的线性组合？解：根据定义，问题即判断向量方程是否有解.即第14页,共18页，2024年2月25日，星期天利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：解是因此可以写成和的线性组合：第15页,共18页，2024年2月25日，星期天其增广矩阵为当是行向量空间时，上式两端转置，得当是列向量空间时，其增广矩阵为有无解.一般地，判断能否由向量组线性表出，即判断向量方程线性方程组的向量表示形式第16页,共18页，2024年2月25日，星期天定义4.1.5设由的所有可能的线性组合构成的集合称为由

张成（生成）的的子集，记为即

若和是非零向量，且不共线，则表示由向量和确定的平面.

从几何上看，