2020-2021学年贵州省安顺市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年贵州省安顺市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.己知区I中，区，则叵]S()

A.0B.0C.0D.0

2.若函数/(x—1)=/+5,则f(—2)=()

A.9B.6C.4D.3

3.已知函数/'(x)-m-2X+x2+nx,记集合4={x|/(x)—0,xe.R},集合B={x|/[/(%)]=0,xE

R],若4=3,且都不是空集，则m+九的取值范围是()

A.[0,4)B.[-1,4)C.[-3,5]D.[0,7)

4.已知函数/(x)=・^•cos(3x+a),a6[0,扪，则/(久)的图象不可能是()

5.已知扇形的半径为Ian,面积为lcm2,则此扇形的圆心角弧度数为（）

A.|B.1C.2D.4

6.设全集U=R,M={x\x<-2或x>2],N={x\x<1或%>3}都是U的子集，则图中阴影部分

所表示的集合是（）

A.[%|-2<%<1]B.{%|-2<%<2]

C.{%|1<%<2)D.{x\x<2}

7.已知点z（5。）在函数/（%）=COS（COX+0）®>0,0<<p<7T）的图象上，直线久=:是函数f（%）图

象的一条对称轴.若/（久）在区间内单调，则9=（）

An

AC21

-7c~D,

B.I6

8.已知a=0.72。21,b=202107,c=log0,72021,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

9.函数y=-2s讥©-》的周期、振幅、初相分别是()

A.2兀,一,B.4兀,25C.2〃,2，VD.M,2,—?

10.定义在R上的奇函数/(x),满足f(x+3)=/Q),/(2)=0,则函数y=f(x)在区间(0,6)内零点

个数的情况为()

A.2个B.4个C.6个D.至少6个

11.在等边AABC中，。是BC上的一点，若4B=4,BD=1,则屈.而=()

A.14B.18C.16-2V3D.16+2A/3

12.己知函数/(x)=—:,若对任意比G[m,m+2],都有/(x-m)>则实数小的

取值范围是()

A.(―8,—弓]B.(-8,—1]C.(—co,—\/2]D.(-8,—2]

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.塞函数/^幻:.V的图象过点^,6),则函数的单调增区间为.

14.设向量1=(2,8),b=(-1,2)，若五〃3，贝!M.

15.下列命题中，正确命题的序号是.

①函数y=sin4%-cos5的最小正周期是兀；

②终边在y轴上的角的集合是｛a[a=^,keZ)；

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象与函数y=比的图象有3个公共点；

④把函数y=3s讥(2x+9的图象向右平移质得到y=3s讥2x的图象.

16.己知函数f(x)=sin(2x—若不等式/(%)2|在区间[-上有解，则小的最小值为

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知向量而=(s讥B,l—cos8),向量元=(2,0),且沅与元的夹角为以其中4B,。是AABC的

内角.

(1)求角B的大小；

⑵求sinA+sinC的取值范围.

18.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x20时，/(%)-x2-2x-1.

(1)求/(%)的函数解析式；

(2)作出。(久)=|/(久)|的草图，并求出当函数h(x)=g(x)-机有6个不同零点时，m的取值范围.

19.已知向量五=(1,2),方=(x,l)

(1)若(优另>为锐角，求久的范围；

(2)当0+2杨1(21—3)时，求x的值.

20.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3200^3,深为2小，如果池底每平方米的造价

为100元，池壁每平方米的造价为80元，问怎样设计水池底面的长和宽能使总造价最低？最低

造价为多少元？

21.设二阶矩阵4,B满足父1=["BA=\l%求B-i.

LJ4」LU1J

22.已知函数/'(久)=x2+ax+b(a,bGR).

(1)若b=L且〃%)在[-2,2]上存在零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意a6[—1,1],存在xC[―2,3]使/O)〉0,求实数b的取值范围；

(3)若存在实数a,使得当xe[0,句时，1WfO)<10恒成立，求实数b的最大值.

参考答案及解析

L答案：C

解析：试题分析：由已知代入化简得回国考点：三角函数的化简

2.答案：B

解析：解：取％=—1,得/(—2)=(-1)2+5=6.

故选：B.

利用整体代换即可求解

本题考查函数的求值，属于基础题.

3.答案：A

解析:解:设%1E{制/(%)=0}={%，(/(%))=0},

・•・f(/)=­))=。，

・•・f(o)=o,

即f(°)=根=0，

故m=0；

故/(%)=x2+nx,

/(/(1))=(%2+nx)(x2+nx+n)=0,

当71=0时，成立；

当九。0时，0,一九不是久2+九%+几=0的根，

故4=n2—4n<0,

解得：0<几<4；

综上所述，04几+??1<4；

故选：A.

由{%，(%)=0}={%1/(/(%))=0}可得/(0)=0,从而求得m=0；从而化简/(/(%))=(%2+

nx)(x2+nx+n)=0,从而讨论求得

本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档

题

4.答案：B

解析：解：设g(x)=W|，贝叼(一乃=三房=W=-9。)，则g。)是奇函数，

A.中由图象知是偶函数，则丫=cos(3%+a)是奇函数，则此时y=-sin3%,此时/(%)=

—^—^sinSx,当0<%Vl时，/(%)<0,此时/有可能成立，8不成立，

ex+l八'

CD.中由图象知是奇函数，则丫=cos(3%+a)是偶函数，则a=0或a=7T,

当a=0时，f(x)=—cos3x,此时对应图象为C,

当。=加时，f(x)=-^-^cosSx,此时对应图象为。，

故不可能的是8,

故选：B.

设9。)=怎，先判断g(x)的奇偶性，结合函数图象先确定a的值，然后结合函数的奇偶性分别进行

判断即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性，结合图象，利用奇

偶性求出a的值是解决本题的关键.难度中等.

5.答案：C

解析：解:设扇形的圆心角大小为a(rad),半径为r,

则由扇形的面积为S=3产％可得：i=|xl2x«,

解得：扇形的圆心角a=2.

故选：C.

根据扇形的面积公式即可计算得解.

本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题.

6.答案：A

解析：解：由Uezm图可知阴影部分对应的集合为Nn(CuM),

M={x\x<—2或%>2},

CyM={x\-2<x<2},

即Nn(Cu“)={x|-2<x<1]

故选：A.

由图象可知阴影部分对应的集合为Nn(CuM),然后根据集合的基本运算求解即可.

本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.

7.答案：B

解析：解：由题意得，9三=£*=：得或W*得324,

62484232a)8

12TT.7T71,,

---->-----，•••0)<6.

2Ci)36

综上可得，4<0)<6.

当3=4时，cos(4,琶+0)=0,得9=fc7r+pkEZ,

又0<0V兀，所以W=g，

此时，直线％=£是函数f(%)=cos(4%+勺的图象的一条对称轴，.

OD

所以9=p

当3=5时，cos(5x+(p)=0,可得9=/CTT+弥fceZ,

又0V0<7T,所以9=3，

24

此时，cos(5x?+与不是最值，故直线x=£不是函数/(久)的图象的一条对称轴.

当3=6时9cos(6x盘+0)=0,得(p=kn+%kWZ,

又。V(P〈7,所以0=3

此时，cos(6x£+3)=0,不是最值，

244

所以直线尤=%不是函数八支)的图象的一条对称轴.

综上，可得3=4,<P=|,

故选:B.

由题意根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出卬即可.

本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和3

是解决本题的关键，属于中档题.

8.答案：C

202107

解析：解：0<O.7<0.7°=1,2O21>2021°=1,log0.72021<log0,7l=0,

b>a>c.

故选：C.

07

可以得出0<0.72021<1,2O21>1,logo.72021<0,然后即可得出a,b,c的大小关系.

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.

9.答案：D

解析：解：函数y=-2s讥C-9=2sMG-£)的周期是¥=4兀、振幅是2、初相是：一?

故选：D.

直接利用函数的解析式写出周期、振幅、初相即可.

本题考查诱导公式以及三角函数的简单性质的应用，是基础题.

10.答案:D

解析：解：/(x+3)=/(x),得到函数的周期是3,

・•・f(x)是定义在R上的奇函数且周期是3,/(2)=0,

/(-I)=0即/'⑴=0.

・•.f(5)=〃2)=0,f(4)=〃l)=0,

又f(|)=f(一》=一/(|)，贝行(|)=0.

从而〃|+3)=0,

故函数y=/(比)在区间(0,6)内零点的个数至少有6个解.

故选D

由/(x+3)=/(x),得到函数的周期是3,又/(©是奇函数，然后利用/(2)=。求零点个数.

本题主要考查函数零点的应用，利用函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键.

1L答案：A

解析：解：由题意可得，AD=AB+~BD，则屈-AD=AB-(AB+RD)=+AB-RD=16+4x

1xcosl20°=14,

故选：A.

由题意可得，AD=AB+BD,再根据荏-AD^AB-(AB+BD)=AB2+AB-BD>利用两个向量的

数量积的定义计算求得结果.

本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题.

12.答案：B

解析：解：•."(一)=:^|；；：=-f(x),

・•・函数f(x)=匕与'：<:为R上的奇函数，

又x>0时，f(x)=〃为增函数，

・•.f(x)为定义域R上的增函数.

又〃2)=V2,

f(x-m)>V2/(x)=f(2x),

对任意xG[m,m+2],x-m>2x恒成立，

­1•>(x)max=m+2,

解得mW-1,即实数ni的取值范围是(—8,-1],

故选：B.

利用f(-x)=-f(x)可判断出函数f(x)=<:为R上的奇函数，且为定义域R上的增函数,

又"2)=V2，对/(%-m)>迎f(久)转化为/(K~m>/(2久)之后脱去,即可求得实数机的取

值范围.

本题主要考查了奇函数的性质在函数解析式求解中的应用及分离参数求解不等式恒成立问题，考查

函数性质的综合应用，属于难题.

13.答案：[0,+8).

解析：解：•.•幕函数y=f(x)=xa图索过点(2,必.，=思，解得a4-,y=x^,••・幕函数y=

/(%)的单调增区间为[0,+8).

故答案为：[0,+8).

14.答案：—4

解析：M：,•,a=(2,8),b=

若五〃3,贝眨4—8x(—1)=0,即2=—4.

故答案为：-4.

直接由向量共线的坐标表示列式求解4值.

本题考查向量共线的坐标运算，是基础题.

15.答案：①④

解析：解：对于①，y=sin%—cos,久=(sin?久—cos2x)(sin2x+cos2；c)=-cos2x.

函数y=sin4x-cos,比的最小正周期是TT,命题①正确；

对于②，终边在y轴上的角的集合是{a|a=kn+^,kEZ},.•.命题②错误；

对于③,:久6(0,今时，函数/'(x)=x—s讥％的导数f'(x)=1—cosx>0,

/(x)>/(0)=0,

・•・x>sinx,则只有％=0时s讥0=0,

又函数y=sin%与y=%均为奇函数，

・•・在同一坐标系中，函数y=的图象与函数y=%的图象只有1个公共点，命题③错误；

对于④，把函数y=3s讥(2%+$的图象向右平移?

得到y=3sin[2(x--)+-]=3sin2x.

"63

••・命题④正确.

・•・正确的命题是①④.

故答案为：①④.

①展开平方差公式，利用平方关系结合二倍角余弦公式化简，求出最小正周期后加以判断；

②直接写出终边在y轴上的角的集合加以判断；

③由xe(0,^)时函数y=S讥乂与y=x的交点情况，结合函数y=sinx与y=比均为奇函数加以判断;

④直接由函数图象平移得到函数V=3s讥(2久+$的图象向右平移千所得函数解析式，从而判断命题

真假.

本题考查命题的真假判断与应用，考查了与三角函数有关的函数的图象与性质，利用函数单调性判

断函数

y=sinx的图象与函数y=比的图象交点是解答该题的关键，是中档题.

16.答案：9

解析：解：•.・函数"x)=sin(2x—若不等式/⑶却在区间[―9河上有解，

oZZ-J

••.sin(2x—£)21在区间[―，河上有解，即当xe时，sin(2x—g)21能成立.

ODDO

2x--6£[L―-2,2m--6]J,2m-62m>~3,

则M的最小值为以

故答案为：

由题意，当尤e[—3机]时，sin(2x—£)21能成立，故有2小一£2三由此求得小的范围.

DOOZ

本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的能成立问题，属于中档题.

17.答案：解：⑴；m=(s讥B,1—cosB)与向量元=(2,0)所成角为以

•••m•n=2sinB=Jsi/B+(1—cosB?x2xcos1,

:.4sin2B=2—2cosB,

BP4(1-COS2B)=2-2COS^,

即(cosB—V)(2cosB+1)=0

解得：cosB=1(舍)，或COS8=-3，

又由B为三角形内角，

c27r

*'•B=—；

3

O^rr

(2)由(1)知，B若,

・•・4+C=巴

3

•••sinA+sinC=sinA+sin(^—A)=：sinA+cosA=sin(/+1)

77

V0<i4<-,

3

7T.,7127r

••・一</+一<一,

333

•・・日<sin(4+g)<1,

sinA+sinCG(亨,1].

解析：⑴由向量沅=(s讥B,l—cosB),向量元=(2,0),且记与元的夹角为争我们可以构造一个关于

角B的三角方程，解方程后，即可求出一个关于B的三角函数，结合B的取值范围，即可求出8的大

小；

(2)由(1)的结论，我们可得a+C=g,贝Usi7M+sinC=sinG4+§,然后结合力的取值范围，根据正

弦型函数的性质，我们即可求出sbM+s讥C的取值范围

cos。=需篙是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握.函数y=As讥(3X+9)(4>0,3>0)

中，最大值或最小值由2确定，由周期由3决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的

解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|川，最小值为-MI，周期7进行求解.如果求其在区

间上的值域和最值，则要结合图象进行讨论.

18.答案:解:(1)当刀<0时，则—x>0,

由当久之0时，/(%)=%2—2%—1,

贝！］/(_久)=(―%)2—2(一%)—1=%2+2%—1,

,."(%)是偶函数，

・••/(—%)=/(%)=%2+2%—1,

2

j、(x—2x—l,x>0；

•••/W=^+2x-l,x<0

(2)由图象可知，当l<zn<2时，h(x)=g(x)-m有6个零点.

解析：(1)利用函数的奇偶性，转化求解函数的解析式即可.

(2)画出函数的图象，然后判断零点个数即可求解.

本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，中档题.

19.答案：解：(1)若(优石>为锐角，则五不>0,且反与至不同方向.

由3・3=刀+2>0，解得%>—2.

当x=2时，N与石同方向，二久>一2且％K之.

(2)a+2b=(1+2x,4)，2a—b-(2—x,3)>(a+2b)1(2a—fa).

(a+2K)-(2a-b)=(1+2x)(2-x)+12=0,化为-2/+3x+14=0.

解得x-(或x=-2.

解析：(1)利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；

(2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出.

熟练掌握向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

20.答案：解：水池的底面积为等=1600^2,

设水池底面长为x米，则宽为幽米，

X

设总造价为/(%),则/(%)=160000+80x2x2x(%+等)

>160000+320x2%.—=185600,

7x

当且仅当％=至"即x=40时取等号.

X

•••当水池底面长和宽均为40米时，总造价最低.

解析：设水池底面长为x,用x表示出总造价，得出总造价关于K的函数，利用基本不等式即可得出最

小值.

本题考查了基本不等式在函数求最值中的应用，属于中档题.

21.答案：解：=心力

|X-1I=1x4-2X3=-2,

4一1的伴随矩阵GTI)*=[,:2],

L—D1」

-21

A=3_1,

.22.

'=["]=E，

・•.8与/互为逆矩阵，

-1

B=Af

[-21

B-r=3_i.

.22.

解析：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的运算，属于一般题.

由力T=1方即可求得矩阵a,==矩阵4和8互为逆矩阵'B-r=A,即可求得矩

阵B-1.

22.答案：解：(1)当6=1时，f(%)=x2+ax+1,

•."(x)在[-2,2]上存在零点,

x2+ax+l=0在[-2,2]上有解

显然x=0不是方程解，所以/+a尤+1=。在[—2,0)U(0,2]上有解

即。=一无一(在[-2,0)U(0,2]上有解

根据对勾函数性质可知y=a=-x-5在[-2,-1],[1,2]上递减，

在(一1,0)(0,1)上递增

则a的取值范围为(一8,-2]U[2,+8)；

(2)xG[-2,3],函数/'(x)=x2+ax+b开口向上,

•••f^max=max{f(-2),/(3)},

•••/(-2)=4-2a+6,/(3)=9+3a+b,

•,*f(3)—f(2)=9+3a+b—4+2a—