2021年辽宁省盘锦市中考数学试卷

2021年辽宁省盘锦市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．2．（3分）如图中的三视图对应的三棱柱是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b4．（3分）空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（）A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图5．（3分）下列命题正确的是（）A．同位角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某班学生的身高情况 B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量7．（3分）如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求．下列关于a的说法正确的是（）A．a≥DE的长 B．a≤DE的长 C．a＞DE的长 D．a＜DE的长8．（3分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝9．（3分）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连接PC，设OM长为x，△PMC的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）建党100周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约1300000参保人员获得更高质量的社会保障福祉，数据1300000用科学记数法表示为．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝．13．（3分）计算：|﹣2|+＝．14．（3分）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是．15．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为．（结果保留π）16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是．17．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为．18．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是．三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．20．（14分）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年级抽取学生的测试成绩统计表年级七年级八年级平均数88众数a7中位数8b优秀率80%60%（1）填空：a＝，b＝．（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．四、解答题（本题10分）21．（10分）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．五、解答题（第22题10分，第23题12分，共22分）22．（10分）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．六、解答题（本题14分）24．（14分）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．（1）当x＞4时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：A型B型车床数量/台x每台车床获利/万元10②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．七、解答题（本题14分）25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为．（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．八、解答题（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

2021年辽宁省盘锦市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）如图中的三视图对应的三棱柱是（）A． B． C． D．【分析】利用俯视图可淘汰A、C、D选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰A，从而判断B选项正确．【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在水平方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定B选项正确．故选：B．【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B、m﹣2＝，故B不符合题意；C、（2m）2＝4m2，故C不符合题意；D、ab2÷ab＝b，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．4．（3分）空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（）A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别；用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势；直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．【解答】解：条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故A选项不符合题意；扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故B选项符合题意；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故C选项不符合题意；直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查统计图的选择及频数（率）分布直方图，应充分掌握各种统计图（条形统计图、扇形统计图及折线统计图）的优缺点以及频数（率）分布直方图中各量的意义．5．（3分）下列命题正确的是（）A．同位角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【分析】根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大．6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某班学生的身高情况 B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7．（3分）如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求．下列关于a的说法正确的是（）A．a≥DE的长 B．a≤DE的长 C．a＞DE的长 D．a＜DE的长【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．【解答】解：由作图可知，分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F，此时a＞DE，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，设AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9．（3分）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．【解答】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动，∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，故选：C．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连接PC，设OM长为x，△PMC的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点M'在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴＝60°，∴△DAC是等边三角形，∴AD＝AC＝2，∴AO＝CO＝＝1，设OM＝x，∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，∴∠AOD＝∠AMP＝90°，∴△AMP为直角三角形，∴PM＝AM•tan∠PAM＝（1+x），①当点M在线段OC上（不含点O）时，即0≤x＜1，此时CM＝1﹣x，则y＝（1﹣x）×（1+x）＝﹣x2+，∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，故B、C不符合题意，②当点M'在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：此时CM'＝x﹣1，则y＝（x﹣1）×＝，∴只有D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟练掌握上述知识并能分点M在线段OC上（不含点O）时和当点M'在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键．二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）建党100周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约1300000参保人员获得更高质量的社会保障福祉，数据1300000用科学记数法表示为1.3×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：数据1300000用科学记数法表示为1.3×106．故答案为：1.3×106．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．（3分）计算：|﹣2|+＝2+．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣+2＝2+．故答案为：2+．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．14．（3分）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是．【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．【解答】解：∵，由①得：x≥1，由②得：x≤5，∴不等式组的解集为：1≤x≤5，∴整数解有：1，2，3，4，5；∴它是偶数的概率是．故答案为．【点评】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为2π．（结果保留π）【分析】】根据三个扇形的半径都是2，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵三个扇形的半径都是2，三个圆心角的和是180°，∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为＝2π．故答案为：2π．【点评】考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（﹣，1）．【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（﹣2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴D点坐标为（﹣，1）．故答案为（﹣，1）．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．17．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为6．【分析】利用基本作图得到BE＝BC＝6，BF平分∠CBE，则∠CBF＝∠EBF＝30°，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠F＝∠EBF＝30°，所以BE＝FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH＝FH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BF的长．【解答】解：由作法得BE＝BC＝6，BF平分∠CBE，∴∠CBF＝∠EBF＝∠CBE＝30°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠CBF，∴∠F＝∠EBF＝30°，∴BE＝FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH＝FH，在Rt△BEH中，∵EH＝BE＝3，∴BH＝EH＝3，∴BF＝2BH＝6．故答案为6．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．18．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是4．【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA+QM＝QM+QT≥MT，可得结论．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝＝＝5，∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵MT≥RT﹣RM，∴MT≥4，∴MT的最小值为4，∵QA+QM＝QT+QM≥MT，∴QA+QM≥4∴QA+QM的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．【分析】先化除法为乘法，分子、分母分别进行因式分解；然后通过约分化简；最后代入求值．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝．把x＝+4代入，原式＝＝2．【点评】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．20．（14分）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年级抽取学生的测试成绩统计表年级七年级八年级平均数88众数a7中位数8b优秀率80%60%（1）填空：a＝8，b＝8．（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可；（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），故答案为：8，8；（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，∴七年级的学生党史知识掌握得较好；（3）500×80%+500×60%＝700（人），即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，画树状图如图：共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．四、解答题（本题10分）21．（10分）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．【分析】（1）由S矩形OMAE＝4，根据反比例函数系数k的几何意义可求出k的值，确定反比例函数关系式；（2）根据一次函数的关系式求出点D的坐标，得出AD的长，于是分两种情况进行解答，即点B在点M的左侧和右侧，由勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，又∵k＞0，∴k＝4，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）当y＝4时，即4＝x﹣，解得x＝6，即D（6，4），而A（1，4），∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，在Rt△AMB中，由勾股定理得，MB＝＝3，①当点B在点M的左侧时，点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，∴点B（﹣2，0），②当点B在点M的右侧时，点B的横坐标为1+3＝4，∴点B（4，0），因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解一次函数、反比例函数图象的意义是解决问题的前提，将点的坐标代入是常用的方法．五、解答题（第22题10分，第23题12分，共22分）22．（10分）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），则CN＝18m，再由锐角三角函数定义求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由锐角三角函数定义求出AM的长即可．【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：则CN＝AB，AC＝BN，∵＝，∴＝，由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，∴AB∥EF，∴△EFN∽△ABN，∴＝＝，∴AB＝3EF＝18（m），∴CN＝18m，在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，∴AC≈CN＝×18＝30（m），在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，∴AM＝AC＝×30≈38（m），即无人机飞行的距离AM约是38m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFN∽△ABN是解题的关键．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．【分析】（1）如图1，延长DB至H，证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；（2）解法一：如图2，连接OF，先根据垂径定理证明OF⊥AB，再证明△EFO∽△EDB，列比例式可得OF＝4，即⊙O的半径为4，根据勾股定理可得DE的长．解法二：如图2，先得半径为2OA，计算∠OEF的正切可得BE的长，根据勾股定理可得DE的长．【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴，∵AE＝OE，∴，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如图2，连接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明△EFO∽△EDB．六、解答题（本题14分）24．（14分）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．（1）当x＞4时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：A型B型车床数量/台14﹣xx每台车床获利/万元1021﹣x②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．【分析】（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元，②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去）；（2）当0＜x≤4时，W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝7x+140，因为7＞0，故当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；当x≥＞4时，W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，因为﹣1＜0，所以当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，又由题意x只能取整数，所以当x＝5或x＝6时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．故答案应为：14﹣x，21﹣x；②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去），答：生产并销售B型车床10台；（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝7x+140，∵7＞0，∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；当x＞4时，总利润W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，∵﹣1＜0，∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，又由题意x只能取整数，∴当x＝5或x＝6时，∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）又∵168＜170，∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，而14﹣5＝9，14﹣6＝8，答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．【点评】此题考查了一元一次方程方程、一元二次方程、一次函数及二次函数的实际问题应用能力，关键是能根据实际问题列出合适的方程或函数式，并进行讨论解决．七、解答题（本题14分）25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为DG⊥DN，DG＝DN．（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．【分析】（1）如图1中，连接AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，推出∠GDN＝∠ADC＝90°，可得结论；（2）如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，推出∠GDN＝∠ADC＝90°，可得结论；（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点G落在AD上时，如图3﹣2中，当点G落在AB上时，分别利用勾股定理求出GN即可．【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∵EN＝NF，∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，∵CE＝CF，EN＝NF，∴CN⊥EF，∴A，N，C共线，∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，∴四边形ANFG是矩形，∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，∵∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠GAD＝∠NCD＝45°，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，∴∠GDN＝∠ADC＝90°，∴DG⊥DN，DG＝DN．故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；（2）结论成立．理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．∵四边形ANFG是平行四边形，∴AG∥KJ，AG＝NF，∴∠DAG＝∠J，∵AJ∥BC，∴∠J＝∠CKE，∵CE＝CF，EN＝NF，∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，∴∠ECN＝∠CEN＝45°，∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，∴∠DCN＝∠CKE，∴∠GAD＝∠DCN，∵GA＝CN，AD＝CD，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，∴∠GDN＝∠ADC＝90°，∴DG⊥DN，DG＝DN；解法二：连接CN