2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含解析版）

2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题3分，共42分）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣2．（3分）截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离火星约830万公里．数据8300000用科学记数法表示为（）A．8.3×105 B．8.3×106 C．83×105 D．0.83×1073．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为S甲2＝0.02，S乙2＝0.01，那么乙组队员的身高比较整齐5．（3分）下列计算正确的是（）A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a2+a2＝2a2 C．（x+1）2＝x2+1 D．2a2•（﹣2ab2）2＝﹣16a4b46．（3分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（）A．85° B．75° C．65° D．30°7．（3分）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（）A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．＝18．（3分）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的m为10% C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人 D．样本中选择公共交通出行的有2400人9．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝110．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．60°11．（3分）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣612．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…以下结论正确的是（）A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下 B．当x＜3时，y随x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜213．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）A．24πcm2 B．48πcm2 C．96πcm2 D．36πcm214．（3分）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．16．（3分）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为米．（结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）17．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或演算步骤.共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：，其中m＝．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．21．（12分）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．（1）下列抽取方法具有代表性的是．A．随机抽取一个班的学生B．从12个班中，随机抽取50名学生C．随机抽取50名男生D．随机抽取50名女生（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：睡眠时间t（小时）55.566.577.588.5人数（人）11210159102①这组数据的众数和中位数分别是，；②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．22．（12分）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？23．（12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为（2，0）．①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为；②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．（14分）数学课上，有这样一道探究题．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、a的关系．请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝，β＝；小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝，β＝；【类比探究】他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：＝（用含m、n的式子表示）；β＝（用含α的式子表示）．（2）求出α＝120°时的值和β的度数．

2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题3分，共42分）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．【解答】解：﹣2021的相反数是2021．故选：A．【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．2．（3分）截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离火星约830万公里．数据8300000用科学记数法表示为（）A．8.3×105 B．8.3×106 C．83×105 D．0.83×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：8300000＝8.3×106，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（3分）下列说法正确的是（）A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为S甲2＝0.02，S乙2＝0.01，那么乙组队员的身高比较整齐【分析】根据事件发生的可能性大小，全面调查和抽样调查，众数，中位数，平均数的概念，方差的性质判断即可．【解答】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；B、为了了解一批灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式进行，本选项说法错误，不符合题意；C、一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数都是5，平均数＝（2+5+4+5+6+7）＝，本选项说法错误，不符合题意；D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为S甲2＝0.02，S乙2＝0.01，∵S甲2＞S乙2，∴乙组队员的身高比较整齐，本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，全面调查和抽样调查，众数和中位数，平均数以及方差的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a2+a2＝2a2 C．（x+1）2＝x2+1 D．2a2•（﹣2ab2）2＝﹣16a4b4【分析】A．直接利用去括号法则化简判断即可；B．直接利用合并同类项法则计算得出答案；C．直接利用完全平方公式计算得出答案；D．直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式计算得出答案．【解答】解：A．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故此选项不合题意；B．a2+a2＝2a2，故此选项符合题意；C．（x+1）2＝x2+2x+1，故此选项不合题意；D．2a2•（﹣2ab2）2＝8a4b4，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了去括号、合并同类项、单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（3分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（）A．85° B．75° C．65° D．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．7．（3分）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（）A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．＝1【分析】由a+b＝0可以得出a、b互为相反数，从而得出a＜0＜b＜c，即可作出判断．【解答】解：∵a+b＝0，∴a、b互为相反数，∴a到原点的距离小于c到原点的距离，∴|a|＜|c|，∴A选项错误，a+c取绝对值较大的数的符号，∴a+c＞0，∴B选项错误，∵a＜0＜b＜c，∴abc＜0，故C选项正确，∵a+b＝0，∴a、b互为相反数，∴，故D选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查数轴的性质，关键是要牢记数轴上的点从左到右依次增大，到原点的距离越小的数的绝对值越小．8．（3分）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的m为10% C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人 D．样本中选择公共交通出行的有2400人【分析】根据自驾人数及其对应的百分比可得样本容量，根据各部分百分比之和等于1可得其它m的值，用总人数乘以对应的百分比可得选择公共交通出行的人数，利用样本估计总体思想可得选择自驾方式出行的人数．【解答】解：A．本次抽样调查的样本容量是2000÷40%＝5000，此选项正确，不符合题意；B．扇形统计图中的m为1﹣（50%+40%）＝10%，此选项正确，不符合题意；C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%＝20（万人），此选项正确，不符合题意；D．样本中选择公共交通出行的约有5000×50%＝2500（人），此选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．9．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，∴x2﹣8x＝2，则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得．10．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．60°【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可计算出∠BAC＝30°，然后根据圆周角定理得到∠BEC的度数．【解答】解：连接AC，如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC＝∠BAC＝30°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．11．（3分）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣6【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a﹣2b+1的值．【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，∴b＝4a+3，∴8a﹣2b+1＝8a﹣2（4a+3）+1＝﹣5，即代数式8a﹣2b+1的值等于﹣5．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…以下结论正确的是（）A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下 B．当x＜3时，y随x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2【分析】将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝x2﹣2x．A．∵a＝1，∴抛物线开口向上，故A错误，不符合题意．B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，∴x＞1时，y随x增大而增大，故B错误，不符合题意．C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），∴当x＝0或x＝2时y＝0，故C正确，符合题意．D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），∴x＜0或x＞2时，y＞0，故D错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解13．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）A．24πcm2 B．48πcm2 C．96πcm2 D．36πcm2【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积即可．【解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为6cm，母线长为8cm，所以其侧面积为：×6π×8＝24πcm2，故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键．14．（3分）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通过函数图象可得，甲出发3秒走的路程为12米，乙到达终点所用的时间为80秒，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答．【解答】解：由函数图象，得：甲的速度为12÷3＝4（米/秒），乙的速度为400÷80＝5（米/秒），故①正确；设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：5x＝12+4x，解得：x＝12，∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5＝60（米），故②错误；当甲、乙两人之间的距离超过32米时，，可得44＜x＜89，故③正确；∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，∴此时甲行走的时间为83秒，∴甲走的路程为：83×4＝332（米），∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400﹣332＝68（米），故④正确；结论正确的个数为3．故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠．故答案为：x≥﹣1且x≠．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，其中知识点为：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．16．（3分）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为438米．（结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出AD，结合图形计算即可．【解答】解：由题意得，∠CAD＝50°，∠CBD＝45°，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝238米，在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，则AD＝≈200米，则AB＝AD+BD≈438米，答：AB两点间的距离约为438米．故答案为：438．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可．【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），∴CH＝10×tan30°＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是①②④．【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH＝DM＝MH，由垂直平分线的性质可得AD＝AH，即可判断④；由△MEA∽△HEG可求GH的长，即可判断③．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正确；∵CD＝2，CE＝，由勾股定理得，DE＝＝＝5，∵S△DCE＝CD×CE＝DE×CH，∴CH＝2，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴＝，∴＝，∴CF＝5，∴HF＝CF﹣CH＝3，∴＝，故②正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝2，CH＝2，由勾股定理得，DH＝＝＝4，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝2，AM＝DH＝4，∴MH＝DM＝2，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故④正确；∵DE＝5，DH＝4，∴HE＝1，∴ME＝HE+MH＝3，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴∠AME＝∠GHE，∵∠HEG＝∠MEA，∴△MEA∽△HEG，∴＝，∴＝，∴HG＝，故③错误．综上，正确的有：①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解题的关键是过点A作AM⊥DE于点M，构造全等三角形得到MH＝DM．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或演算步骤.共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：，其中m＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及绝对值的性质化简原式得出m的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当m＝＝3+1+2﹣7＝2﹣3时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质及绝对值的性质．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；（2）证明△ACE≌△ADE得到∠ADE＝∠C＝90°，从而得到DE⊥AB．【解答】（1）解：如图，AE为所作；（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠ADE＝∠C＝90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．21．（12分）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．（1）下列抽取方法具有代表性的是．A．随机抽取一个班的学生B．从12个班中，随机抽取50名学生C．随机抽取50名男生D．随机抽取50名女生（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：睡眠时间t（小时）55.566.577.588.5人数（人）11210159102①这组数据的众数和中位数分别是7，7；②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．【分析】（1）根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；（2）①由众数和中位数的定义求解即可；②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间t≥8的人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵A、C、D不具有全面性，故答案为：B；（2）①这组数据的众数为7小时，中位数为＝7（小时），故答案为：7，7；②估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为：12×50×＝144（人）；（3）把样本中学生平均每天睡眠时间为5小时、5.5小时、6小时的4个学生分别记为A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，∴抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（12分）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？【分析】（1）设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，根据“第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据“《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元”可求出《三国演义》及《红楼梦》每本的售价，设这次购买《西游记》m本，则购买《水浒传》m本，《三国演义》（90+m）本，《红楼梦》（90+m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过32000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，依题意得：，解得：．答：《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元．（2）《三国演义》每本售价为60﹣10＝50（元），《红楼梦》每本售价为60+10＝70（元）．设这次购买《西游记》m本，则购买《水浒传》（50+40+m﹣60﹣30）＝m本，《三国演义》（50+40+m）＝（90+m）本，《红楼梦》（50+40+m）＝（90+m）本，依题意得：60m+60m+50（90+m）+70（90+m）≤32000，解得：m≤88．又∵m为整数，∴m可以取的最大值为88．答：这次最多购买《西游记》88本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．（1）已知点A的坐标为（2，0）．①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为12；②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．【分析】（1）①由A（2，0），B（4，4）坐标得出“相关矩形”的长为2，宽为4，求出周长即可；②得到相关正方形边长为2，从而C（4，2）或（4，﹣2），待定系数法求函数关系式即可；（2）设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，求出M、N的坐标，根据图形可知过M、N为两个临界状态，求出相应的k，可得到k的范围．【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，故答案为：12；②∵若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，∴C（4，2）或（4，﹣2），设直线AC的关系式为：y＝kx+b将（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，∴y＝x﹣2，将（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x+2，∴直线AC的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），当函数y＝的图象过M时，k＝﹣6，当函数y＝的图象过N时，k＝﹣24，若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．【点评】本题是阅读理解题，考查了学生对新定义的理解和运用能力、正方形的性质、以及反比例函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．【分析】（1）根据OE＝OB，菱形ABCD得到∠OEB＝∠OBE，∠ABD＝∠CBD，利用＝得到OE⊥BC，进而得到∠ABD+∠OBE＝90°，即可证得AB是⊙O的切线；（2）利用菱形的性质求得BM，再利用tan∠CBD＝求得CM，进而求得BC，根据垂径定理求出BF，设⊙O的半径为r，根据勾股定理即可求得半径．【解答】解：（1）AB是⊙O的切线，理由如下：连接OB，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，∴∠ABD＝∠CBD，∵＝，OE是⊙O的半径，∴OE⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠CBE＝90°，∴∠ABD+∠OBE＝90°，∴OB⊥AB，即AB是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，BD＝，∴BM＝BD＝，AC⊥BD，∵tan∠CBD＝，∴CM＝BM＝，∴BC＝＝8，∵＝，OE是⊙O的半径，∴BF＝BC＝4，∵tan∠CBD＝，OE⊥BC，∴EF＝BF＝2，设⊙O的半径为r，则OF的长为（r﹣2），在Rt△OFB中，OF2+BF2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能够作出辅助线，能利用正切求出对应线段的长．25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法构建方程组求出b，c即可．（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．由题意AC∥直线m，推出△ACH的面积是定值，因为S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，推出当△AEC的面积最大