2022-2023学年山东省淄博四中高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年山东省淄博四中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等2．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+6＝0对称的圆的方程为（）A．（x+6）2+（y+4）2＝4 B．（x﹣4）2+（y+6）2＝4 C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4 D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝43．（5分）已知向量a→=(-2，4，3)，b→=(1，-2，x)，若a→A．-32 B．103 C．﹣2 4．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．(12，0) B．(-125．（5分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（）A．1 B．2 C．2 D．26．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线l'：x﹣y+2＝0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（）A．22 B．23 C．247．（5分）过圆O：x2+y2＝1内一点(14，12)作直线交圆O于A，B两点，过A，A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y+4＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x+2y+4＝08．（5分）如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|+|PF|的最小值为（）A．33 B．522 C．1+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知椭圆C：xA．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍 C．椭圆C的离心率为63D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为6（多选）10．（5分）下列四个命题中是真命题的是（）A．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 B．若点P（3a+1，4a）在圆（x﹣1）2+y2＝1的内部，则a∈(-C．若直线y＝x+b与曲线y=4-x2只有一个公共点，则bD．函数y＝|x|的图象与圆（x﹣m）2+y2＝8有两个公共点，则m∈（﹣4，4）（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线EF与直线AE垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点A1和点D到平面AEF的距离相等（多选）12．（5分）P为椭圆C1：x24+y23=1上的动点，过P作C1切线交圆C2：x2+y2＝12于M，N，过M，A．S△OPQ的最大值为32B．S△OPQ的取大值为33C．Q的轨迹是x2D．Q的轨迹是x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为12，23，3414．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，过点P（2，1））作圆O的切线，则切线方程为．15．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）在左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O是坐标原点，16．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为D（0，2），斜边上中线CE所在直线方程为3x+y﹣7＝0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：社团街舞围棋武术人数320240200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．18．（12分）如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC．（Ⅰ）求二面角A﹣CF﹣D的余弦值；（Ⅱ）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．19．（12分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B(-1，-22)，C（3，0）．圆M（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）直线l与圆M相切，求直线l与两坐标轴所围成的三角形面积最小时l的方程．20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0），其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且|MF|＝|FP|，FM→（1）求抛物线C的方程；（2）设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为S，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥BC，AB⊥平面PBC，AG＝GC，PD＝DA．（1）求证：平面BDG⊥平面ABC；（2）若AB＝BC＝CP＝2，求平面ABD与平面CBD的夹角大小．22．（12分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），点P（2，1）在渐近线上，过点P的直线交双曲线E的右支于B，C两点，直线AB（1）求双曲线E的方程；（2）求证：O为MN的中点．

2022-2023学年山东省淄博四中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【解答】解：根据题意，事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，A事件发生与否对B事件没有影响，是相互独立事件，故选：C．2．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+6＝0对称的圆的方程为（）A．（x+6）2+（y+4）2＝4 B．（x﹣4）2+（y+6）2＝4 C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4 D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4【解答】解：由圆的方程（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得，圆心坐标（﹣2，12）半径为2，由题意可得关与直线x﹣y+6＝0对称的圆的圆心为（﹣2，12）关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为（a，b），则a-22-b+122+6=0故圆的方程为（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4．故选：D．3．（5分）已知向量a→=(-2，4，3)，b→=(1，-2，x)，若a→A．-32 B．103 C．﹣2 【解答】解：已知向量a→=（﹣2，4，3），b→若a→∥b→，则则（﹣2，4，3）＝λ（1，﹣2，x），整理得λ=-2，x=-3故选：A．4．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．(12，0) B．(-12【解答】解：抛物线的方程为y＝2x2，则抛物线的标准方程为x2即抛物线的焦点坐标为（0，18故选：C．5．（5分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（）A．1 B．2 C．2 D．2【解答】解：设AC与BC的夹角为θ，由题意可知，S△ABC=12AC×BC×sinθ=12r2sinθ≤1故△ABC的面积的最大值为2．故选：C．6．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线l'：x﹣y+2＝0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（）A．22 B．23 C．24【解答】解：由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），∴|FN|＝d=|1×1-0+2|设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得x＝﹣2，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD=3故选：A．7．（5分）过圆O：x2+y2＝1内一点(14，12)作直线交圆O于A，B两点，过A，A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y+4＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x+2y+4＝0【解答】解：设P（x0，y0），则以OP为直径的圆C的方程为x（x﹣x0）+y（y﹣y0）＝0，即x2+y2﹣x0x﹣y0y＝0①．∵PA、PB是圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，则A、B在圆C上，∴AB是圆O与圆C的公共弦，又圆O：x2+y2＝1②，∴①﹣②可得直线AB的方程为x0x+y0y﹣1＝0．又点(14，12)满足方程，∴14∴点P的坐标满足方程x+2y﹣4＝0．故选：A．8．（5分）如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|+|PF|的最小值为（）A．33 B．522 C．1+【解答】解：如图，找F关于平面BCC1B1的对称点F′，连接EF′交平面BCC1B1于P0，则P0即为满足|PE|+|PF|最小的点，∵正方体的棱长为3，∴BD∴EF=13BD1=3，FF′＝2×∠D1FF′+∠BD1C1＝π，又cos∠BD1C在△EFF′中，由余弦定理可得：EF'=(即|PE|+|PF|的最小值为11．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知椭圆C：xA．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍 C．椭圆C的离心率为63D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为6【解答】解：由已知椭圆方程可得：a2＝m﹣4，b2＝12﹣m，则c=a所以22m-16=4，则m所以椭圆的方程为：x22+y26=1，且2a所以2a2b=3，故B正确，焦点在y椭圆的离心率为e=ca=椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为a+c=6+2，故故选：BC．（多选）10．（5分）下列四个命题中是真命题的是（）A．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 B．若点P（3a+1，4a）在圆（x﹣1）2+y2＝1的内部，则a∈(-C．若直线y＝x+b与曲线y=4-x2只有一个公共点，则bD．函数y＝|x|的图象与圆（x﹣m）2+y2＝8有两个公共点，则m∈（﹣4，4）【解答】解：对于A，圆C1：（x+1）2+y2＝1，则C1（﹣1，0），半径r1＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16，则C2（2，4），半径r2＝4，所以|C1C2|＝5＝r1+r2，故两圆外切，所以两圆恰好有三条公切线，A正确；对于B，若点P（3a+1，4a）在圆（x﹣1）2+y2＝1的内部，则（3a+1﹣1）2+（4a）2＜1．解得-15＜a＜对于C，曲线y=4-x2化为x2+y2则曲线表示以原点为圆心，2为半径x轴上半部分的圆（包括x轴），当直线y＝x+b过点（2，0）时，b＝﹣2，当直线y＝x+b过点（﹣2，0）时，b＝2，当直线y＝x+b与曲线y=4-x2相切时，有|b|2=所以b＝22，若直线y＝x+b与曲线y=4-x2只有一个公共点，则﹣2≤b＜2或b＝22对于D，因为圆（x﹣m）2+y2＝8关于x轴对称，则y＝|x|的图象与圆（x﹣m）2+y2＝8有两个公共点，即直线x﹣y＝0的图象与圆（x﹣m）2+y2＝8有两个公共点，所以圆心（m，0）到直线x﹣y＝0的距离|m|2＜22，所以m∈（﹣4，4），故故选：ABD．（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线EF与直线AE垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点A1和点D到平面AEF的距离相等【解答】解：对于选项A，设EF⊥AE，又CD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥EC，又EF与EC不垂直，即假设不成立，即选项A错误；对于选项B，连接AD1，则平面AEF与平面AEFD1重合，又A1G∥D1F，又D1F⊂平面AEF，A1G⊄平面AEF，则线A1G与平面AEF平行，即选项B正确；对于选项C，平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形EFD1A，其面积为(2+22对于选项D，设A1D∩AD1＝O，又|A1O|＝|DO|，即A1和点D到平面AEF的距离相等，即选项D正确，故选：BCD．（多选）12．（5分）P为椭圆C1：x24+y23=1上的动点，过P作C1切线交圆C2：x2+y2＝12于M，N，过M，A．S△OPQ的最大值为32B．S△OPQ的取大值为33C．Q的轨迹是x2D．Q的轨迹是x【解答】解：根据题意，作出图象如图所示，不妨设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（m，n），故切点M，N所在的直线方程为mx+ny=12又点P为椭圆上的一点，故切线MN的方程为x1x由①②可得，m12即m＝3x1，n＝4y1，不妨设直线MN交OQ于点H，故PH⊥OQ，设直线OQ的方程为nx﹣my＝0，则|PH|=|n又|OQ|=m所以△OPQ的面积S=1当且仅当x124所以S△OPQ的最大值为32故选项A正确，选项B错误；因为点P在椭圆上，则x1又m＝3x1，n＝4y1，则14×m所以动点Q的轨迹是x2故选项C正确，选项D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为12，23，34，则这道数学题被解出来的概率为【解答】解：设这道数学题被解出来为事件A，则P（A）＝1﹣（1-12）（1-23）（1故答案为：232414．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，过点P（2，1））作圆O的切线，则切线方程为y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．【解答】解：由题意可知，22+12＝5＞1，故P在圆外，由圆O：x2+y2＝1，以及P（2，1），则过点P做圆O的切线斜率一定存在，设切线为y＝k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1＝0，则圆心O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k+1＝0的距离d=|-2k+1|k2+(-1)2故切线方程为y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．故答案为：y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．15．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）在左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O是坐标原点，|F【解答】解：令椭圆半焦距为c，因为|F1F2|=2|PF1|，则|PF1|在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF1|cos∠F1PF2，即4c2＝（2c）2+（2a-2c）2﹣22c•（2a-2c）•（-12），整理得c2+2因此有e2+2e﹣2＝0，而0＜e＜1，解得e=10-故答案为：10-16．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为D（0，2），斜边上中线CE所在直线方程为3x+y﹣7＝0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为x﹣3y+1＝0．【解答】解：∵斜边上中线CE所在直线方程为3x+y﹣7＝0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，∴可设C（a，﹣3a+7），E（b，﹣3b+7），（a＜b），∵AC中点为D（0，2），∴A（﹣a，3a﹣3），∴kAE∵△ABC为等腰直角三角形，CE为中线，∴CE⊥AB，即kAE∴a+b＝3①，∵CE＝AE，D是AC的中点，∴AC⊥DE，∴kCDkED＝﹣1，即-3a+5a⋅-3b+5b=-1，化简整理可得，2ab＝3（a联立①②解得a＝1，b＝2，∴E（2，1），∵kAB∴直线AB的方程为y﹣1=13(x-2)，即x故答案为：x﹣3y+1＝0．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：社团街舞围棋武术人数320240200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得n320+240+200=8从“围棋”社团抽取的同学240×8（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F，则从这6位同学中任选2人，不同的结果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种，从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-18．（12分）如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC．（Ⅰ）求二面角A﹣CF﹣D的余弦值；（Ⅱ）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点G，连接BG、BD，因为AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC，所以四边形BCDG是正方形，所以DC＝BG=1所以BD⊥AB，因为四边形ABEF为正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，所以BE⊥AB，BE⊥BD，所以BA、BD、BE两两垂直，建系如图，不妨设BC＝1，C（-22，22，0），F（2，0，2），A（2，0，0），DCF→=（322，-22，2），CA→=（32令m→=（1，3，0），因为CF→•m→=0，CA→•m→因为CF→•n→=0，CD→•n→因为二面角A﹣CF﹣D是锐角，所以二面角A﹣CF﹣D的余弦值为|m（Ⅱ）点D不在平面CEF上，理由如下：假设点D在平面CEF上，因为C在平面CEF上，所以平面CEF∩平面ABCD＝CD，又因为EF∥平面ABCD，所以EF∥CD，因为CG∥AB∥EF，所以CD∥CG，与CD∩CG＝C矛盾，所以点D不在平面CEF上．19．（12分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B(-1，-22)，C（3，0）．圆M（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）直线l与圆M相切，求直线l与两坐标轴所围成的三角形面积最小时l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆M方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），则9-3D+F=01+8-D-22E+F=0∴圆M方程为：x2+y2﹣9＝0，即x2+y2＝9．（Ⅱ）由题意知：直线l在x，y轴的截距不为零，∴可设l：xa+yb=1，即∵l与M相切，∴|-ab|a2+b2=3，即∴|ab|≥18，即当|a|=|b|=32时，直线l此时所有可能的结果为：a=32b=32或a=32b=-3∴l方程为：x+y-32=0或x-y-32=0或20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0），其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且|MF|＝|FP|，FM→（1）求抛物线C的方程；（2）设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为S，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．【解答】解：（1）∵|PM|＝|PF|＝|FM|，∴△PFM为等边三角形，∴∠FMP＝∠PFM＝60°，又FM→⋅FP设直线l交y轴于N点，则在Rt△MNF中∠NMF＝30°，|NF|＝1＝p，∴C的方程为x2＝2y；证明：（2）设点Q（a，b）（a≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），又C的方程为x2＝2y可化为y=x22，∴y所以过点A且与C相切的直线的斜率为x1，过点B且与C相切的直线的斜率为x2，所以直线QA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），直线QB的方程为y﹣y2＝x2（x﹣x2），又直线QA与QB均过点Q，b﹣y1＝x1（a﹣x1），b﹣y2＝x2（a﹣x2），又x12=2y1，x22=2y2，∴y1＝ax所以直线AB的方程为y＝ax﹣b，联立方程y＝ax﹣b和x2＝2y得方程组x2消去y得x2﹣2ax+2b＝0，∵