安徽省安庆市20校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

—2024学年度第二学期期中综合素质调研八年级数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列根式为最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥23．下面计算正确的是（）A． B． C． D．4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④5．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A．2x2，﹣3，1B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，16．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．B． C． D．7．若，则（x+y）2024等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣18．函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人 B．12人 C．13人 D．14人10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．比较大小：．（填“＞”、“＜”或“＝”）12．请写出一个没有实数根的一元二次方程，结果是．13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值为．14．一直角三角形的三边长分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积为．三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）15．计算：（1）3；（2）．16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．18．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…观察上面规律，计算下面的式子+++…+五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+的值．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．六．解答题（本题12分）21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．七．解答题（本题12分）22．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？八．解答题（本题14分）23．阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：+＝+．几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A、点B的距离之和．（填写点A，B的坐标）（3）求出代数式+的最小值．2023—2024学年度第二学期期中综合素质调研八年级数学试题参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列根式为最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的条件即可解答．被开方数中，如果含有能开尽方的因数或因式；被开方数中含有分母，都不是最简二次根式．【解答】解：A、＝2，可化简，故A选项不符合题意；B、＝，可化简，故B选项不符合题意；C、，符合最简二次根式的条件，故C选项符合题意；D、=2，故D选项不符合题意．故选：C．2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2【分析】根据二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：若式子在实数范围内有意义，则x﹣2≥0，解得：x≥2．故选：D．3．下面计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则及化简方法，找到计算正确的选项即可．【解答】解：A、正确，符合题意；不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；C、不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；D、原式＝2，故错误，不符合题意；故选：A．4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；④3x﹣＝0是分式方程．故选：A．5．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A．2x2，﹣3，1B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，故选：B．6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．B． C． D．【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x＝，配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．故选：C．7．若，则（x+y）2024等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．【解答】解：∵，∴x﹣1≥0且2﹣2x≥0．∴x＝1．∴＝0+0﹣2＝﹣2．∴（x+y）2024＝（2﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．故选：A．8．函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．【解答】解：由图象可得k＜0，∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，∵b2≥0，∴b2+4＞0，∵﹣4k＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人 B．12人 C．13人 D．14人【分析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝225，解得：x＝14或x＝﹣16（舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了14个人．故选：D．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得a＜3，根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，整理得a2﹣5a﹣6＝0，解得a1＝﹣1，a2＝6，而a＜3，∴a的值为﹣1．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．比较大小：．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先求出与的平方，判断出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出它们的大小关系即可．【解答】解：＝20，＝50，∵20＜50，∴＜．故答案为：＜．12．请写出一个没有实数根的一元二次方程，结果是满足b2﹣4ac＜0的一元二次方程即可，如y2+y+1＝0．【分析】由根的判别式Δ＜0，方程无实根，任写一个即可，答案不唯一．【解答】解：y2+y+1＝0，只要满足b2﹣4ac＜0即可．13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值为．【分析】由韦达定理得出x1+x2＝7，x1x2＝5，代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2计算可得．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，∴x1+x2＝7，x1x2＝5，则则（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4＝5﹣2×7+4＝-8，故答案为：-8．14．一直角三角形的三边长分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积为为100或28．【分析】以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑．【解答】解：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2＝36+64＝100；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．所以以x为边长的正方形的面积为100或28．故答案为：100或28．三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）15．计算：（1）3；（2）．【分析】（1）先化简，再算加减即可；（2）（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）3＝3＝；（2）＝＝25﹣24＝1．16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0【分析】先分解因式，即可得两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1.2）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣1.2）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x+0.6﹣1.2）m，故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0解得：x＝5.1，答：绳索AD的长度是5.1m．18．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…观察上面规律，计算下面的式子+++…+【分析】根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题．【解答】解：＝+…+（）＝＝＝10﹣1＝9；五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+的值．【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将+变形为，整体代入即可求得．【解答】解：∵实数a、b满足+|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，∴+＝＝﹣20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝16k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，再利用x1﹣x2＝4得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，则36k2﹣4×5k2＝16，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣6k）2﹣4×5k2＝16k2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，∵x1﹣x2＝4，∴（x1﹣x2）2＝16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴36k2﹣4×5k2＝16，即k2＝1，解得k1＝1，k2＝﹣1．故k的值为1或﹣1．六．解答题（本题12分）21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×16×8＝32，△PCQ的面积为（16﹣4t）2t，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．【解答】解：（1）∵S△PCQ＝（16﹣4t）2t，S△ABC＝×16×8＝32，∴（16﹣4t）2t＝32×，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）当S△PCQ＝S△ABC时，（16﹣4t）2t＝32×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．七．解答题（本题12分）22．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），将（60，600），（80，400）代入，得：，解得：，∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；（2）由题意得：10000＝（﹣10x+1200）（x﹣50），解得x＝70或100，∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，∴x≤50×（1+50%），即x≤75，∴x＝70，∴售价定为70元可获得利润是10000元．八．解答题（本题14分）23．阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：+＝+．几何意义：如图，建立平面直角坐标系