数列分奇偶、公共项、重新排序、插入项等十一大题型（原卷版）-2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题27数列分奇偶、公共项、重新排序、插入项等十一大题

型汇总

Onn

题型1数列分奇偶之隔项型........................................................1

题型2数列分奇偶之即+an+1=f(n)型.........................................2

题型3数列分奇偶之ancm+1=/(n)型.............................................4

题型4数列分奇偶之含有(-1)n.................................................4

题型5数列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n-1｝型.........................................6

题型6数列分奇偶之分段数列型....................................................6

题型7数列公共项问题............................................................8

题型8重新排序问题.............................................................10

题型9插入项问题...............................................................13

题型10与概率统计结合的数列问题................................................16

题型11新定义数列..............................................................20

题型1数列分奇偶之隔项型

【例题IX2023・湖南•铅山县第一中学校联考三模底数列｛斯｝中，%=18%=24g+2-

an=-6.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)记数列｛a"的前n项和为S“，求无的最大值.

【变式1-1]1.(2023•天津•统考一模)已知数列｛即｝中,%=1,a2=2,an+2—o.n=

4(nGN*),数列｛ad的前n项和为％.

(1)求数列｛即｝的通项公式：

(2)若垢=白丁，求数列｛九｝的前n项和7n；

32n十3九

⑶在(2)的条件下，设“=前广,求证：6-需<历<8-能.

u2"

少n°n+2/=l乙

【变式1-1】2.(2023•四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测)已知数列｛即｝满足：

nn

%=%,an+2-an<3,an+6-an>91-3,贝!|。2023=()

220233^20233

A.--2--1-2-B.--8--1—2

o2023o2023

C.--8D.-2-

【变式1-1]3.(2020・全国•高三校联考阶段练习)已知数列｛时｝中,%=1,a2n—a2n-i+

n

(-l)(nGN*),a2n=a2n_2+2时】+(—1)“(nN2,且neN*),贝(1｛即｝的前20项的和

为

【变式1-114.(2023秋•湖南•高三校联考阶段练习)已知数列｛an｝满足的=2g=

22

1，限2=(1+siny)an+2cosy,neN*.

Q)求数列｛a"的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足Q=3,求证：R+C2+•••+0<3.

a2n-i

【变式1-1]5.(2021秋•浙江杭州•高三学军中学校考期中)已知数列｛a"的各项均为正

数，前倾和为%，%=2,g=4,若对任意的正整数n，有%+2=，郭]

(4>3日I^r,TL—乙K,,KtzIN

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝满足与=十，求证：瓦+西+…bn<|.

un-1o

【变式1-1]6.(2022秋•江苏盐城•高三统考阶段练习)已知数列｛a〃｝满足%=a2=|，

an

n+2=an+2x3(nGW*),且垢=即+即+式兀eN*).则数列｛与｝的通项公式

为•若垢。=券驾SGN*),则数列｛0｝的前n项和为

题型2数列分奇偶之与+an+1=f(n)型

【例题212023春・山东淄博•高三沂源县第一中学校考期中H知数列E｝的前n项和为Sn,

且％=4,an+an+1=4n+2(neN*),则使得Sn<2023成立的n的最大值为()

A.32B.33C.44D.45

【变式2-1]1.(2023春・辽宁鞍山•高三鞍山一中校考期中)已知数列｛an｝5GN*)的前n

项和为5,若Sn+1+sn=3n2+6n+3,Q1=2.

(1)记b=与+与+1判断｛%｝是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.

⑵记n的前项和为",求”.

cn=(-l)+%-｛%｝n

【变式2-1】2.(2023•全国•高三专题练习)已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足的=

0,a2=3,an+1-an=(a71T+2)(an_2+2)

⑴求

a3；

证明

(2)=an_2+2,n=3,4,5,…；

(3)求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn.

【变式全国高三专题练习圮知在数列中时】,

2-l]3.(2022••｛an｝1aL3fln+1+an=3-2

n&N*.

求数列｛册｝的前项和；

(1)nSn

(2)若1<r<s且r,s€N*,是否存在直线，，使得当的,与，成等差数列时，点列(2「，2，)

在，上?若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由.

【变式2-1]4.(2023・全国•高三专题练习)已知%是数列｛即｝的前n项和，%=1,

①Mi6N*,即+即+i=4n；②数列｛料为等差数列，且｛曰｝的前3项和为&从以上两个条件

中任选一个补充在横线处，并求解：

⑴求即；

(2)设砥=严&9,求数列｛匕｝的前n项和

<anan+l)

【变式2-1]5.(2023秋•广东珠海•高三珠海市第二中学校考阶段练习)已知数列｛即｝满

足n是常数).

=1,a”+an+i=4•2(nCN)(4

⑴若4=0，证明｛斯｝是等比数列；

(2)若4*0,且｛即｝是等比数列，求；I的值以及数列｛(-l)n|og2a3n.l｝的前几项和Sn.

【变式2-1]6.(2023秋•广东广州•高三广州市第一中学校考阶段练习)在数列｛斯｝中，

n

已知an+i+an=3•2,%=1.

Q)求证：｛an-2。｝是等比数列.

(2)求数列｛an｝的前n项和Sn.

题型3数列分奇偶之anan+i=f(n)型

【例题3](2023•全国•高三专题练习)已知数列｛册｝的前n项和为Sn,%=2,20,

anan+l—4S”.

Q)求a”；

(2)设%=(-1)"-(3^-1),数列｛%｝的前n项和为Tn,若vkeN,,都有Bk-i<a<72k成

立，求实数屁勺范围.

【变式3-1]1.(2022秋•湖南衡阳•高三衡阳市一中校考阶段练习)已知数列｛an｝满足

anan+l=2"1,且%—1.

(1)求数列｛a"的通项公式；

⑵设b=『品=，求证：1WS”<6.

a2n

【变式3-1]2.(2023秋•山东德州•高三德州市第一中学校考阶段练习)数列｛a"满足

anan+i—16Tl,a】=2(nGN*).

(1)求｛即｝的通项公式；

fan,应为奇数

(2)设勾=,求数列｛%｝的前2n项和S2.

(垢_1+n,n为偶数rl

【变式3-1]3.(2023秋•江苏•高三校联考阶段练习)记多是数列｛说的前几项和，已知的=

l,an*0,且与即+1=4Sn+l,nGN.

⑴记bn=a2n,求数列｛b｝的通项公式；

(2)求S2o.

n

题型4数列分奇偶之含有(-1)

【例题4】(2023江西鹰潭二模)已知等差数列｛an｝满足-.^=1,^=5,数列｛%｝的前

n项和sn满足Sn=2bn-l(nGN-),则数列｛(-l)%n%｝的前n项和7n=.

【变式4-1]1.(2023春浙江杭州•高三杭州市长河高级中学校考期中)已知数列5｝的

前n项和%=.金,若存在正整数n,使得(p-an)(p-an_x)<0成立，则实数p

的取值范围是.

【变式4-1】2.(2023春•河南南阳•高三校联考期中冶E数列&｝中，%=3,an+1=4an-

6.

(1)求｛即｝的通项公式.

⑵设%=4。+(~iytan,若｛%｝是递增数列，求t的取值范围.

【变式4-1】3.(2023春•山东日照•高三统考期中)在数列｛5｝中，的=0,即=2册_1+

2n+2(nGN,,n>2).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)已知数列｛%｝的前n项和为Sn，且数列｛与｝满足%=an+2，若不等式(-l)”<Sn+2n+2

对一切71eN*恒成立，求4的取值范围.

【变式4-1】4.(2023・湖南永州统考三模)记正项数列Q｝的前n项积为7；，且工=1-白

anln

⑴证明：数列｛〃｝是等差数列；

⑵记勾=(一1尸•普里，求数列｛b｝的前2“项和S2n.

biOi+i

【变式4-1】5.(2023春•浙江杭州•高三杭州四中校考期中)数列5｝满足臼=1e=2,

a…[1+笔++[1-笔邛…

(1)求a3、a4，并求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列｛a"的前2023项的和52023；

(3)设砥=乎，7；=瓦+&+…+匕,证明：当n>6时，|〃一2|<；.

a2nn

题型5数列分奇偶之含有｛回2团｝，｛4-小型

【例题5](2023•河南•校联考模拟预测)已知函数｛%｝满足瓦=1,回2创=020.1+1，020+1=

2020-1,060,则因2023=()

10122022

A.21012B.2-1C.22022口.2-1

【变式5-1]1,(2023秋诃北邯郸•高二统考期末底数列偏｝中,03=64，且团典+1=2蝴+2.

⑴证明：｛%｝，｛%-1｝都是等比数列；

(2)求｛匹｝的通项公式;

(3)若戛=时3%la工+13,求数列｛%｝的前n项的2和t冉J+1,并比较占与高的大小；

(2吗,团是偶数

【变式5-1】2.(2022•全国•模拟预测)已知数列岷｝满足瓦=3，且%+i=\.

(%-1,团是奇数

(1)设晚=0204-1320T，证明:他-3｝是等比数列；

(2)设数列｛4｝的前n项和为冤,求使得不等式叱>2022成立的n的最小值.

【变式5-1]3.(2023•云南•校联考模拟预测)已知等差数列｛即｝的公差不为零，其前几项

和为土，且a2是由和的等比中项，且a2n=2an+l(nGN,).

Q)求数列｛a"的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足的瓦+a2b2+…+砥=(2n-3)•2"i+6，求和：7“=a1bn+

a2bn-i+-+即-/2+anbt.

题型6数列分奇偶之分段数列型

对于通项公式分奇、偶不同的数列｛an｝求S,时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的

和，也可以把a2k-l+a2k看作一项，求出S2k,再求S2k-l=S2k-a2k

【例题6】（2023•浙江宁波•统考二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;

若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈"1

-4T2-1".这就是数学史上著名的“冰雹猜想"（又称"角谷猜想”等）.如取正整数日=6,

根据上述运算法则得出6->3T10T5T6->8T4T2T,共需经过8个步骤变成1（简称

为8步"雹程"）.猜想的递推关系如下：已知数列｛厮满足瓦=团（m为正整数），叫+i=

7,当％为偶数’若团6=2,则m所有可能取值的集合为.

3%+1,当晚为奇数.

【变式6-1]1.（天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考（二）数学试题）

已知数列｛%｝满足：2%+1=%+0B+2（V0GN*），正项数列｛%｝满足跷+i=团团•%+2（V团GN"）,

且2回1=回1=2,回4=回2，回5=4回3.

Q）求偏｝,｛冉｝的通项公式;

团2®-1,团为奇数

（2）已知％=，求：2慧1%；

(3/-2)%-2，团为偶数

(00+1)(03+2+1)

（3）求证:看+/]+…+[<：.

【变式6-1]2.（山东省济宁市2023届高三二模拟数学试题）已知数列｛%｝的前01页和为

团酊团+00+1=20g（0>2,0G0*）,且为=1,05=15.

Q）求数列幽3｝的通项公式；

f00,0为奇数

（2）若观=',求数列｛%｝的前2回项和叱团.

（2—,团为偶数

【变式6-1]3.（天津市部分区2023届高三二模数学试题）已知圆｝为等差数列，数列偏｝

满足%+1=2%（回€0*）,且比+瓦=4,团2=4,回3=5.

（1）求低｝和例｝的通项公式；

乐，团为奇数

⑵若%=%，求数列偏｝的前2瓯丽；

善，团为偶数

0

（）

Z团=1期-^J跪=<2^4060*.

【变式6-1]4.（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）已知数列｛%｝

3%+3,0为奇数,

满足必1=3,00+1

9%+2,0为偶数.

⑴证明：数列画3.1｝为等差数列；

（2）若将数列｛%｝中满足%=%的项％,%（回丰回）称为数列｛%｝中的相同项，将数列｛团上的前

40项中所有的相同项都剔除，求数列｛%｝的前40项中余下项的和.

【变式6-1]5.（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）已知数列｛%｝满足，％+i=

件+2，回=2回一1,国6团*一2今日_0

I3E^-2,0=20,0ei3*，□:1-2,之肌一

⑴写出比，团2，并求出数列｛%｝的通项公式；

⑵记为=求偈｝的前项和.

log300,10

【变式6-1]6.（2023•山东荷泽•统考二模）已知各项为正数的等比数列｛4｝满足%-%+[=

16日,0GN*.

（1）求数列｛观｝的通项公式；

（即,团为奇数

⑵设四=1,附+1=1,求数列｛%｝的前2n项和降

一&+同团为偶数

题型7数列公共项问题

[方法总结]数列中的公共项问题是对两个数列合成一个新数列进行研究，而数列中的奇、

偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行研究，都是要充分利用新数列的特征（等差、等

比或其他特征）求解原数列问题

【例题7]（2023春•河北石家庄•高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列偏｝，四｝的

通项公式分别为%=3回-1和%=40-3（0e日*）,设这两个数列的公共项构成集合A,则

集合团n｛0|0<2023,0eN*｝中元素的个数为（）

A.167B.168C.169D.170

【变式7-1】1.（2021春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知等差数列｛氏｝的

前13项和为附，且%=猊=-20

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）已知数列｛冤｝是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列｛%｝与｛为｝的公共项为第,

记团由小到大构成数列幽3｝,求｛%｝的前团项和%.

【变式7-1]2.（2023•全国•高三专题练习）已知等差数列偏｝中,团1=1且%，而2，回7-4成

等比数列、数列｛冉｝的前n项和为题,满足3%-2冉=1.

（1）求数列｛诙｝,｛瓯｝的通项公式；

（2）将数列嘱｝,｛4｝的公共项鬼，隈…，强按原来的顺序组成新的数列，试求数列陞｝的

通项公式，并求该数列的前n项和即

【变式7-1]3.（2023•全国•高三专题练习）记版为公I：匕不为1的等比数列⑫的前畋和，

团5—团4=-802+8国1,0g=21.

Q）求偏｝的通项公式;

⑵设01a=1吗匾，若由偏｝与偏｝的公共项从小到大组成数列｛%｝,求数列均｝的前团项和吗.

【变式7-1]4.（2022秋安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数

歹!1｛匹｝的前0项和为%,且因5=2团4+11,05=01+03+3.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝由｛瓯｝与｛4｝的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列｛冉｝落在区间

（0,2022）内的项的个数.

【变式7-1]5.（2023•全国•高三专题练习）已知数列傀｝的前01页的和为%且满足%=2%-

2B,数列他｝是两个等差数列L4,7,10,…与4,9,14,19,…的公共项组成的新数列.求出数列偏｝,

｛%｝的通项公式；

【变式7-1】6（2022・全国•高三专题练习）B知冤为数列｛冤｝的前0项和目%>0鼠+2%=

4%+3,0g=020-1,%=30.

（1）求｛匹｝的通项公式；

（2）将数列｛%｝与｛%｝的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列｛为｝，求｛4｝的前10项的和.

【变式7-1]7.（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S4=

S5=-20.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

（2）已知数列｛bn｝是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列｛an｝与｛bn｝的公共项为am,

记m由小到大构成数列｛cn｝,求｛cn｝的前n项和Tn.

【变式7-1】8（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛2%｝是公比为4的等比数列，且满足回2,

04，团7成等比数列，为为数列｛%｝的前0项和，且即是1和4的等差中项，若数列｛为｝是由数列

胆a｝中的项依次剔除与｛%｝的公共项剩下的部分组成,求数列｛%｝的前100项和.

题型8重新排序问题

【例题8]（2023•湖南•铅山县第一中学校联考二模股正项数列｛跖｝的前回项和为%，且4%=

够+2%—8.

Q）求数列｛%｝的通项公式;

（2）能否从｛冤｝中选出以为为首项，以原次序组成的等比数列强，限…，鬼，…,（比=1）.若能,

请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列｛%｝的前团项和朋；

若不能，请说明理由.

【变式8-1]1.（2023•江西•高三校联考期中）设正项数列｛即｝的前日项和为%，且砾=蜀+

200-8，从｛飓｝中选出以以为首项，以原次序组成等比数列%x，叫z，…，，…，(团=1).记

｛强｝是其中公比最小的原次序组成等比数列，则%=()

A.20-2B.20+2C.20-1D.2B+1

【变式8-1]2.(2022春•广东韶关•高三乐昌一中校考阶段练习)已知al,a2，…，a是

由n(nwN*)个整数1,2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列｛b｝满足b=n+l-a

(k=l,2,,n).

⑴当n=3时，写出数列｛a｝和｛b｝，使得a2=3b2;

⑵证明：当n为正偶数时,不存在满足a=b(k=l,2，…，n)的数列｛a｝;

⑶若cl,c2，…，c是1,2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c(k=l,2，…，

n),并用含n的式子表示cl+2c2+...+nc.

(参考：12+22+...+n2=in(n+1)(2n+l))

6

【变式8-1]3(2019春・浙江•高三校联考阶段练习H知数列例｝满足现+i-叱=—,

0GN*且=一；.

(I)求数列｛冉｝的通项公式”；

C(8-1

(口)设”=(团一团为正整数)，是否存在正整数回使戛，冤按某种次序

^)3--(，0B+1,+2

排列后成等比数列，若存在回，团的值；若不存在，说明理由.

【变式8-1]4.(2021•上海黄浦•统考一模)已知趴，02，…，取是由团(0e0*)个整数1，

2，…，回按任意次序排列而成的数列，数列｛%｝满足观=回+1-%(团=1,2,A，…，

厮是1,2,,团按从大到小的I顺序排列而成的数列，记冤=回】+2团2+…+网.

(1)证明：当回为正偶数时，不存在满足%=%(回=1,2，…，团)的数列｛与｝.

(2)写出%(0=1,2,…,回)，并用含团的式子表示％.

(3)利用。一回1)2+(2一回2)2+“・+(回一%)220,证明：回1+2叱+…+0%回国+

6

1)(20+1)及瓦+2吗+-+000>%.(参考：I2+22+…+砂=10(0+1)(20+1).)

6

【变式8-1]5.(2021・全国•高三专题练习)已知比,02，…，冤是由团(0G0*)个整数1,

2,,团按任意次序排列而成的数列，数列｛%｝满足冤=回+1-厮(团=1,2,-.0).

(1)当团=3时，写出数列｛诙｝和｛冉｝，使得团2=302.

(2)证明：当回为正偶数时，不存在满足4=%(0=12…，回)的数列胆g｝.

(3)若瓦鸟，…鸟是1,2,…周按从大到小的顺序排列而成的数列,写出%(团=1,2，…,团)，

并用含团的式子表小瓦+202+…+03团.

(参考：12+22+-+02=-0(0+1)(20+1).)

6

【变式8-1]6.(2020•全国•高三专题练习)数列限｝的前0项和为团且满足瓦=1,2啊+i=

2%+团(团为常数，回=1,2,3,…).

(1)求朋;

(2)若数列｛%｝是等比数列，求实数目的值；

(3)是否存在实数0,使得数列｛为满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成

一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由.

【变式8-1J7.(2023•江西•高三统考期中)设正项数列｛崛｝的前n项和为%,且4%=图+

200-8.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)能否从｛4｝中选出以瓦为首项，以原次序组成等比数列即…，团陶，…，(瓦=1).若能，

请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由.

【变式8-1]8.(2023•全国•高三专题练习)若数列偏｝中存在三项，按一定次序排列构成

等比数列，则称｛冉｝为"等比源数列".

⑴已知数列偏｝为4,3,1,2,数列｛/为1,2,6,24,分别判断｛匹｝，｛匹｝是否为"等

比源数列”，并说明理由；

(2)已知数列｛%｝的通项公式为4=2底】+1,判断｛%｝是否为"等比源数列"，并说明理由；

(3)已知数列｛为｝为单调递增的等差数列，且比,0,%eZ(团eN*),求证：啕为"等比源

数列”.

题型9插入项问题

【例题9](2023•全国•学军中学校联考二模)设数列｛为｝满足&+1=3%-20B_2(0>2),回1=

1,02=2.

(1)求数列咽a｝的通项公式；

(2)在数列｛%｝的任意即与%+i项之间,都插入团(团GN*)个相同的数(-1)0回，组成数列｛团也｝,

记数列｛%｝的前回项的和为％,求回27的值.

【变式9-1]1.(天津市和平区2023届高三三模数学试题)已知等比数列｛%｝的前日项和为

团加团出+1=回用+2(团G0).

Q)求数列｛%｝的通项公式；

(2)在“与％+】之间插入团个数，使这回+2个数组成一个等差数列，记插入的这团个数之和为％,

若不等式(-1)巡<2-m对一切回e回*恒成立，求实数团的取值范围；

⑶记%=看，求证：鬻+督+…+1<71(06日)

log20p]W12V®2)

【变式9-1]2.(福建省2022-2023学年高三下学期质优生"筑梦”联考数学试题)数列

｛痢｝的前回项和为%比=2,比=4且当团>2时，3/T，200,00+1+2a成等差数列.

⑴计算03，%，猜想数列俄｝的通项公式并加以证明；

(2)在冉和冤+】之间插入回个数,使这团+2个数组成一个公差为为的等差数列，在数列｛踞｝中

是否存在3项%瓯%(其中团,回力成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若

不存在，请说明理由.

【变式9-1]3.（2023春•辽宁锦州•高三校考期中）记即为各项均为正数的等比数列｛跖｝的

前n项和，回3=14,且03，302,即成等差数列.

（1）求｛匹｝的通项公式；

⑵在“和跟+】之间插入n个数使得这（回+2）个数依次组成公差为“的等差数列求数列身

的前n项和

【变式9-1]4.（2023春・山东荷泽•高三统考期末）已知等比数列｛%｝的前n项和为弱，且

团出+1—2团团+2（0GN）.

Q）求数列幽3｝的通项公式；

（2）如图,

团1，团n，团2

团2,团21,团22,回3

团3,团31,团32,团33,团4

团加％1，团团2,…，回豳，团13+1

数阵的第回（团eN*）行是%与4+1之间插入n个数组岛2,…,%,由这团+2个数所组成,且这

0+2个数成等差数列，记团8|—团11+2021+3团31+…+03）81+011+2022+3团33+…+团团能＜

求即

【变式9-1]5.（2023春浙江杭州•高三浙江大学附属中学期中）已知数列｛为｝的前n项和

为%,且|团团+1=00.

Q）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在国和%+】之间插入n个数使得这（团+2）数依次组成公差为%的等差数列求数列图的

前n项和%.

【变式9-1】6.（2023春•云南玉溪•高三云南省校考阶段练习）已知正项数列

｛瓯｝满足，因1=2,且2+i—00+100+00+1—20g+200.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵在生与生+】之间插入n个数，使这回+2个数组成一个公差为%的等差数列，若%=白+

团

5+…+W'求证：14%<3.

团2的3

【变式9-1】7(2023•全国•高三专题练习风为数列偈｝的前n项和,已知%=3/.

⑴证明：%=3-2回；

(2)保持数列｛瓯｝中各项先后顺序不变，在冤与比+】之间插入数列｛(团+1).20｝的前k项，使

它们和原数列的项构成一个新的数列：瓦，2•2】，附，2•2】，3•22,回3,2•2】，3•22,4•23,

04，…，求这个新数列的前50项和.

【变式9-1】8.(2023春•上海•高三校联考阶段练习)在一个有穷数列的每相邻两项之间插

入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次"和扩充".如数列1,

2第1次"和扩充"后得到数列1,3,2,第2次"和扩充"后得到数列1,4,3,5,2.

设数歹Ua,b,c经过第n次"和扩充"后所得数列的项数记为%,所有项的和记为为.

(1)若回=1,0=2,0=3,求日2,团2；

⑵设满足观>2023的n的最小值为/,求跳及团图(其中冈是指不超过X的最大整数，如

[1.2]=1,[-2.6]=-3)；

⑶是否存在实数a,b,c,使得数列陶为等比数列？若存在，求0,b,c满足的条件；若不

存在，请说明理由.

【变式9-1]9.(2023•全国•高三专题练习)已知正项数列偈｝的前n项和为，且团】=1,

团。+1—够=8回,0GN".

Q)求附；

(2)在数列｛冤｝的每相邻两项4,4+1之间依次插入01,02，,••，得,得到数列｛%｝:01,

团1,02，团1，团2，团3，同，田2，吗，团4，……，求他｝的前100项和.

【变式9-1]10.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）已知数列｛%｝是等差

数列，其前酬口为/,,数列｛圈满足团网+编=（团-）日+

02=2,09=450202+…%1•21

（1）求数列｛为｝,｛%｝的通项公式；

（2）若对数列｛%｝，｛%｝,在为与崛+i之间插入吗个2（0eN*）,组成一个新数列也3｝,求数

列陞｝的前2023项的和团2023.

题型10与概率统计结合的数列问题

【例题10]（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）某校高三年级有

0（0>2,06N*）个班，每个班均有（回+30）人，第团（0=1,2,3,…，团）个班中有（团+10）个女生,

余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰

为男生的概率是《，则”.

【变式10-111（2023春•上海黄浦•高二上海市大同中学校考阶段练习圮知正三角形团酿，

某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角

形的一个顶点移动到另一个顶点.②棋子移动的方向由掷骰子（点数为1-6）决定，若掷出

骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移

动.设掷骰子次时，棋子移动至胞,团,日处的概率分别为冤（田，（）礴（回）.例如：掷骰子一

n000,

次时，棋子移动到回曾,也的概率分别为瓦国）=0,%（回）=团（团）=：.当掷骰子7次时，棋

子移动到A处的概率叫（回）值为.

【变式10-1】2.（多选X浙江省91高中联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）

已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完

全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱

子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第回+1次从与第团次取出的球颜色相同的箱子内

取出一球，然后放回去.记第团次取出的球是红球的概率为%,数列｛%｝前0项和记为为，则下

列说法正确的是（）

17

A.02=5B.4团团+2+%=5吗+i

C.当回无限增大，”将趋近于ID.%=,3团+1-

5o\4/

【变式10-1】3.（2023春•山东滨州•高二校联考期中）某中学以学生为主体，以学生的兴

趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动

为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比

赛.第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛.第一轮给每个小组提供5个实验操作

的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得

0分.

Q）已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率；

（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中

的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相

同的机会抢答下一问题.记第团欠回答的是甲的概率是即，若回1=1.

①求团3和团4；

②写出叫与瓯之间的关系式,并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的

大小.

【变式10-1】4.（2023春•江西景德镇•高三景德镇一中校考期中）马尔科夫链是概率统计

中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领

域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…%_2，

厮_1,4那么%+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态%,即晒+11…

，叫1-2，/-”％）=团典1+11观I）-

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以

赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到

遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金

达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为回但GN*,0<0）,赌博过程如下图的数轴

所示.

0.50.5

0.50.5

当赌徒手中有n元（0<©式团，团6N）时，最终输光的概率为国（回），请回答下列问题：

⑴请直接写出团（0）与团值）的数值.

⑵证明｛回（回）｝是一个等差数列，并写出公差d.

（3）当日=100时，分别计算0=200,0=1000时,团（团）的数值，并结合实际，解释当团T8时，

团（团）的统计含义.

【变式10-1】5.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）某辖区组织居民接种

新冠疫苗，现有A,B,C,D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产

生的号码对应的疫苗，号码机有A,B,C,D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一

次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们

接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A,B,C,D四种疫苗的概率分别为

啾回）岛（回），即®鸟（团）.

⑴第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

（2）证明：00（0）=00（0）=%电；

（3）张医生认为,一段时间后接种A,B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计

算第10位居民接种A,B,C,D四种的概率，解释张医生观点的合理性.

10

参考蜂：（I7工5.1xIO?g）工1.7x10-5,（I7工2.0x10-3,（J】。工98*io-4

【变式10-1】6.（2023春•广东汕头•高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）第22届世

界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战

胜法国队获得冠军.

I

GFIFWAWORLDRCUP

Q）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个

方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方

向判断正确也有|的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三

次扑到点球的个数X的分布列和期望；

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，

球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机

传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前

球在甲脚下的概率为pn,易知比=1,团2=0.

①试证明：｛%-m为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较plO与qlO的大小.

【变式10-1】7.（2023・全国•高三专题练习）某游戏中的角色"突击者”的攻击有一段冷

却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一

是每次发动攻击后有;的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连

续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有扣勺概

率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可

叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时

先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带

来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设"突击者”单次攻击

的伤害为1,技能一和技能二的各次触发均彼此独立：

Q）当"突击者”发动一轮攻击时，记事件A为"技能一和技能二的触发次数之和为2",事

件B为"技能一和技能二各触发1次"，求条件概率！3回回）

（2）设n是正整数，"突击者”一轮攻击造成的伤害为2回的概率记为%,求%.

题型11新定义数列

、，*

一:界一划重点

解新定义题型的步骤：（1）理解"新定义"——明确"新定义"的条件、原理、方法、步骤

和结论.（2）重视"举例"，利用"举例”检验是否理解和正确运用"新定义"；归纳"举例"

提供的解题方法.归纳"举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决

题中需要解决的问题.

【例题111（2023•陕西商洛・陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知数列5｝满足的=

-a

-l,n（an+1n）=（记a）为不小于的最小整数，bn=（an）,则数列｛%｝的前2023

项和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【变式11-1】1.（2023秋•北京海淀•高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）斐波那契

数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列｛5｝满足％=

a2=l,an=an_i+an_2（n>3,nGN）给出下列四个结论：

①存在血GN*,使得」，am+1,a^+2成等差数列；

②存在meN*,使得〜，am+1,am+2成等比数列；

③存在常数t，使得对任意nGN*,都有a”,tan+2,an+4成等差数列；

④存在正整数&,%，…>i-m'且"<i2<""<imi使得+%+••,+a-im=2023.

其中所有正确的个数是（）

A.ljB.2jC.3jD.4j

【变式11-1】2.（2023・全国•高三专题练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了

杰出贡献，他的著名研究成果"杨辉三角"记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中

的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是

从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为

1,3,7,13,则该数列的第13项为（）

A.156B.157C.158D.159

【变式11-1]3.（2023秋河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）在数列5｝

中，如果存在非零的常数T,使得即+T=即对于任意正整数n均成立，那么就称数列｛七｝为

周期数列，其中T叫做数列｛斯｝的周期.已知数列｛f｝满足x4+2=-$1