2024七年级下册数学专题1.3 平面直角坐标系章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024七年级下册数学专题1.3平面直角坐标系章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1象限内点的特征】【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.【例1】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【变式1-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【变式1-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（）象限．A．四 B．三 C．二 D．一【变式1-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点2坐标轴上点的特征】【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.【例2】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（）A．纵轴上 B．横轴上 C．第三象限 D．第四象限【变式2-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【变式2-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9） B．（2.5，0） C．（2.5，﹣9） D．（﹣9，0）【变式2-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（）A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案【考点3点到坐标轴的距离】【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.【例3】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）【变式3-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣6 D．﹣2或﹣6【变式3-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（）A．（1，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（1，4）【变式3-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（）A．（﹣5，3） B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3） C．（3，2） D．（3，2）或（﹣3，2）【考点4角平分线上点的特征】【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．【例4】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（）A．a＝1，m＝﹣2 B．a＝1，m＝2 C．a＝﹣1，m＝﹣2 D．a＝﹣1，m＝2【变式4-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象跟 D．第四象限【变式4-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（）A．第二、四象限的角平分线上 B．第一、三象限的角平分线上 C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上【变式4-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（）A．2 B．0 C．3 D．﹣3【考点5点的坐标确定位置】【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.【例5】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【变式5-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4） B．（4，6） C．（1，6） D．（6，1）【变式5-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【变式5-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（）A．（0，1） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，﹣1）【考点6坐标与图形的性质】【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．【例6】（2019春•海安县期中）已知直线a平行于x轴，点M（﹣2，﹣3）是直线a上的一个点．若点N也是直线a上的一个点，MN＝5，则点N的坐标为．【变式6-1】（2018春•繁昌县期中）已知A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，则B点的坐标为．【变式6-2】（2018春•邹城市期中）已知点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），直线MN∥x轴，则点M的横坐标为．【变式6-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A（b﹣4，3+b），B（3b﹣1，2），AB⊥x轴，则点A的坐标是．【考点7图形在坐标系中的平移】【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0【例7】（2019春•番禺区期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A′；B′；C′（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为．（3）求△ABC的面积．【变式7-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A；B；C；（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．【变式7-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．（3）求△ABC的面积．【变式7-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点A（0，a），点B（0，b），点D（a，12a），点E（m﹣b，12（1）若a＝1，求m的值；（2）若点C（﹣a，14m+3），其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF【考点8点在坐标系内的移动规律】【例8】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（）A．（505，﹣505） B．（﹣505，505） C．（﹣505，504） D．（﹣506，505）【变式8-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（）A．（6，44） B．（7，45） C．（44，7） D．（7，44）【变式8-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（）A．（45，6） B．（45，13） C．（45，22） D．（45，0）【变式8-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，1） B．（2018，0） C．（2018，2） D．（2019，0）专题1.4二元一次方程组章末重难点题型【人教版】【考点1二元一次方程的概念】【方法点拨】含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).【例1】（2019春•西湖区校级月考）下列各式是二元一次方程的是（）A．x﹣y B．2x＝4y﹣3 C．x＝+1 D．x2+y＝0【变式1-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x+＝2；④y2＝4x；⑤＝3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2019春•西湖区校级月考）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（）A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3【变式1-3】（2019春•西湖区校级月考）方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（）A．m＝±1009；n＝±3 B．m＝1009，n＝3 C．m＝﹣1009，n＝﹣3 D．m＝﹣1009，n＝3【考点2二元一次方程的整数解】【方法点拨】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.【例2】（2019春•宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2019春•西湖区校级月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-3】（2019•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）A．34 B．35 C．36 D．37【考点3解二元一次方程组】【方法点拨】掌握①代入消元法；②加减消元法是解题的关键.【例3】（2019秋•九龙坡区校级月考）计算（1）（2）【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）解下列二元一次方程组：（1）（2）【变式3-2】（2019秋•福田区校级月考）解下列方程组：（1）（2）【变式3-3】（2019春•越秀区校级期中）解方程组（1）（2）【考点4二元一次方程组的解】【方法点拨】使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.理解二元一次方程组的解是关键.【例4】（2019春•文登区期中）关于x和y的二元一次方程组和具有相同的解，求a，b的值【变式4-1】（2019春•嘉禾县期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．【变式4-2】（2019春•侯马市期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，求关于a、b的二元一次方程组的解．【变式4-3】（2019春•汨罗市期中）已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解．【考点5二元一次方程组的应用之配套问题】【例5】（2019春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【变式5-1】（2019春•海州区校级月考）某车间有33名工人生产甲乙两种零件，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个，而2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，问如何分配工作才能使生产出的两种零件刚好配套？每天生产多少套？【变式5-2】（2019•开远市一模）某工厂加工螺栓、螺帽，已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽（说明：每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽），已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件，为了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套．若把26块相同的金属原料全部加工完，问加工的螺栓和螺帽是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺帽各需要的金属原料块数，若不存在恰好配套，请说明理由．【变式5-3】（2019春•南安市期中）（用方程或方程组解答本题）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？【考点6二元一次方程组的应用之九章算术】【例6】（2019•永春县模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？【变式6-1】（2019•瑶海区校级一模）列方程或方程组解应用题：《九章算术》中有这样一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问；每只燕、雀的重量各为多少？”译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，如果互换其中的一只，重量恰好相等．则每只麻雀、燕子的平均重量分别为多少两？【变式6-2】（2019春•石景山区期末）请根据下面古文列方程组解应用题：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．二百一十五只碗，看看用尽不差争．两人共食一碗饭，三人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．大意为“山中古寺，不知有多少僧人．若两人共用一碗饭，三人共用一碗羹，恰好用尽215只碗．请求出寺中僧人人数”．【变式6-3】（2019•蜀山区校级三模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱四十得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付40钱，问买美酒、普通酒各多少斗？【考点7二元一次方程组的应用之几何问题】【例7】（2019春•南岗区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，BC＝11，DE＝7，（1）设每个小长方形的较长的一边为x，较短的一边为y，求x，y的值．（2）求图中阴影部分面积．【变式7-1】（2019春•襄汾县期末）张师傅在铺地板时发现：用8个大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形（如图①），然后，他用这8块瓷砖七拼八凑，又拼出了一个正方形，中间还留下一个边长为3的小正方形（阴影部分），请你根据提供的信息求出这些小长方形的长和宽．【变式7-2】（2019春•西湖区校级月考）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？【变式7-3】（2019春•西湖区校级月考）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸盒．（1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒个多少个？（2）若有正方形纸板32张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，已知70＜a＜75．求a的值．【考点8二元一次方程组的应用之销售问题】【例8】（2018秋•沈河区校级期中）列二元一次方程组解应用题甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？【变式8-1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）据农业农村部消息，国内受猪瘟与猪周期叠加影响，生猪供应量大幅减少，从今年6月起猪肉价格连续上涨．一品生鲜超市在6月1日若售出3kg五花肉和5kg排骨，销售额为366元；若售出1kg五花肉和3kg排骨，销售额为186元．（1）6月1日每千克五花肉和排骨的价格各是多少元？（2）6月1日五花肉和排骨的销售量分别为410kg、240kg．由于猪肉价格持续上涨，11月1日五花肉的销售价格在6月1日的基础上增长了2m%，销售量减少了110kg；排骨的销售价格在6月1日的基础上增加了m元，销售量下降了25%，结果11月1日的销售额比6月1日的销售额多5100元，求m的值．【变式8-2】（2019秋•香坊区校级期中）某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：电视机型号甲乙批发价（元/台）15002500零售价（元/台）20253640若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．（1）求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？（2）迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利8.5%，求甲种型号电视机打几折销售？【变式8-3】（2018春•鼓楼区校级期中）学校要求购买A，B两种型号的足球，按体育器材门市足球销售价格（单价）计算．若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费480元，若买3个A型足球和1个B型足球，则要花费370元．（1）求A，B两种型号足球的销售价格各是多少元/个？（2）为响应习总书记“足球进校园”号召，这所学校决定再次购买两种品牌的足球50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高10%，B品牌售价比第一次购买时降低10%，如果此次购买两种品牌足球总费用为4680元，那么这所学校再次购买这50个两种品牌的足球与第一次购买相同数量两种品牌足球相比费用增加了还是减少了？增加（或减少了）多少钱？【考点9二元一次方程组的应用之分段计费问题】【例9】（2019春•西湖区校级月考）小明同学本周日上午先乘坐出租车到图书馆，乘坐了5千米，打车费14元．然后吃好中饭后乘坐出租车到电影院和同学一起看电影，乘坐了8千米，打车费18.5元．看完电影后再乘坐出租车回家．出租车费用为3千米以内为起步a元，超过3千米每千米b元．（1）请求出a和b的值．（2）小明家离电影院有7千米，他有15元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少．【变式9-1】（2019春•呼和浩特期末）为建设资源节约型、环境友好型社会，切实做好节能减排工作，某市决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”．电力公司规定居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时），1千瓦时俗称1度/时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时，超过部分实行“提高电价”．已知小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电费88元．若7月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家7月份应上缴的电费．【变式9-2】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：自来水销售价格每户每月用水量单位：元/吨15吨及以下a超过15吨但不超过25吨的部分b超过25吨的部分5（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费元；（用a，b的代数式表示）（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．【变式9-3】（2019春•鄞州区期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表计费项目里程费时长费运途费单价2元/千米0.4元/分钟1元/千米注：1．车费＝里程费+时长费+运途费2．里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取标准为：行车7千米以内（含7千米）不收费，若超过7千米，则超出部分每千米加收1元．（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是元；（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车时间比小林多10分钟．如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元，求小王的乘车里程数和乘车时间．【考点10二元一次方程组的应用之方案设计问题】【例10】（2019秋•南岗区校级月考）某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？【变式10-1】（2019春•西湖区校级月考）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．（1）已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多37%，求七年级教师与学生各有多少人；（2）参现某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的1.5倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．【变式10-2】（2019春•西湖区校级月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【变式10-3】（2019春•西湖区校级月考）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔都按零售价销售．（1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买A型毛笔a支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．专题1.3平面直角坐标系章末重难点题型【人教版】【考点1象限内点的特征】【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.【例1】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【答案】解：由题意，得a＞0，b＜0．由不等式的性质，得2a﹣b＞0，2b﹣a＜0，点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【变式1-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而得出答案．【答案】解：∵P（a+b，ab）在第二象限，∴a+b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴﹣a＞0，∴点Q（﹣a，b）在第四象限．故选：D．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的符号是解题关键．【变式1-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（）象限．A．四 B．三 C．二 D．一【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．【答案】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，∴a+1＜0，b﹣2＞0，∴a＜﹣1，b＞2，∴﹣a＞1，b+1＞3，∴点B（﹣a，b+1）在第一象限．故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【变式1-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】确定出点P的横坐标比纵坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答．【答案】解：∵（a+2）﹣（a﹣2）＝a+2﹣a+2＝4，∴点P的横坐标比纵坐标大，∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴点P不可能在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【考点2坐标轴上点的特征】【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.【例2】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（）A．纵轴上 B．横轴上 C．第三象限 D．第四象限【分析】由点P在y轴上可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q在第三象限，此题得解．【答案】解：∵点P（m+3，2m+4）在y轴上，∴m+3＝0，∴m＝﹣3，∴点Q的坐标为（﹣6，﹣3），∴点Q在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标以及解一元一次方程，根据点P在y轴上找出关于m的一元一次方程是解题的关键．【变式2-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．【答案】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n＝0，∴点B的坐标为（﹣1，1）．则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．故选：B．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．【变式2-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9） B．（2.5，0） C．（2.5，﹣9） D．（﹣9，0）【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．【答案】解：∵点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，∴m+2＝0，解得：m＝﹣2，故2m﹣5＝﹣9，故点A的坐标为：（0，﹣9）．故选：A．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．【变式2-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（）A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案【分析】依据坐标轴上的点的坐标特征，即可得到x的值．【答案】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，∴当2x﹣4＝0时，x＝2，当x+2＝0时，x＝﹣2，∴x的值为±2，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系；解题时注意：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．【考点3点到坐标轴的距离】【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.【例3】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）【分析】先判断出点E在第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【答案】解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，∴点E在第二象限，∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，∴点E的坐标是（﹣4，3）．故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．【变式3-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣6 D．﹣2或﹣6【分析】根据x轴上点的纵坐标为0以及点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【答案】解：∵点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，∴b+1＝0，|a+3|＝2，∴a＝﹣1或﹣5，b＝﹣1，∴a+b＝﹣2或﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度以及x轴上点的坐标特征是解题的关键．【变式3-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（）A．（1，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（1，4）【分析】根据第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等，可得答案．【答案】解：由题意，得2x+3x+5＝0，解得x＝﹣1．当x＝﹣1时，﹣x2＝﹣1．2x2+2＝4，Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（﹣1，4），故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标，利用第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等得出2x+3x+5＝0是解题关键．【变式3-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（）A．（﹣5，3） B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3） C．（3，2） D．（3，2）或（﹣3，2）【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．【答案】解：由直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N的横坐标为﹣5，由点N距x轴的距离为3个单位，则点N的纵坐标为3或﹣3，故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等得出点的横坐标是解题关键．【考点4角平分线上点的特征】【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．【例4】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（）A．a＝1，m＝﹣2 B．a＝1，m＝2 C．a＝﹣1，m＝﹣2 D．a＝﹣1，m＝2【分析】已知一、三象限上的点的横纵坐标相等，故按照题目要求，使横纵坐标相等，可列出等式，即可求出a的值；根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．【答案】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上，所以有2a+4＝5a﹣2，解得：a＝1；∵点B（2m+7，m﹣1）在第二、四象限的夹角角平分线上，∴（2m+7）+（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．【变式4-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象跟 D．第四象限【分析】根据第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数列出方程求出a的值，再根据各象限内点的坐标特征求解即可．【答案】解：∵点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，∴a+1＝﹣（a﹣2），解得a=1∴﹣a=-12，1﹣a＝1∴点B（﹣a，1﹣a）在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，掌握第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数以及各象限内点的坐标特征是解题的关键．【变式4-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（）A．第二、四象限的角平分线上 B．第一、三象限的角平分线上 C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上【分析】先判断出a＝﹣b，则点的横坐标与纵坐标符号相反．【答案】解：∵点A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，∴a＝﹣b，∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【变式4-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（）A．2 B．0 C．3 D．﹣3【分析】让点M的横坐标加3，纵坐标减7得到点N的坐标，让点N的横纵坐标相等即可求得a的值．【答案】解：∵点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N，∴点N的横坐标为a﹣1+3＝a+2；纵坐标为﹣a+3﹣7＝﹣a﹣4；∵点N恰在第三象限的角平分线上，∴a+2＝﹣a﹣4，∴a＝﹣3，故选：D．【点睛】本题考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．注意第三象限上点的横纵坐标相等．【考点5点的坐标确定位置】【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.【例5】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．【答案】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：则小华的位置可表示为（﹣2，﹣3），故选：A．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．【变式5-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4） B．（4，6） C．（1，6） D．（6，1）【分析】以帅的坐标向左两个单位，向上3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可．【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示，将（1，6）．故选C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键．【变式5-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【分析】根据一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负分析，于是四点中只有B点可能为坐标原点．【答案】解：∵一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），∴一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负，∴B点可能为坐标原点，∴敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上的坐标特征．【变式5-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（）A．（0，1） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，﹣1）【分析】先根据左眼和右眼所在位置点的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可．【答案】解：如图，嘴的位置可以表示成（1，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．【考点6坐标与图形的性质】【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．【例6】（2019春•海安县期中）已知直线a平行于x轴，点M（﹣2，﹣3）是直线a上的一个点．若点N也是直线a上的一个点，MN＝5，则点N的坐标为．【分析】根据平行于x轴的直线上点的距离等于横坐标之差的绝对值可列出方程|﹣2﹣x|＝5，求出x即可．【答案】解：设M（x，﹣3），|﹣2﹣x|＝5，∴x＝3或﹣7，∴N（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）；故答案为（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确理解坐标系内点的特征是解题的关键．【变式6-1】（2018春•繁昌县期中）已知A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，则B点的坐标为．【分析】利用平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同得到x＝﹣3，再根据B点到x轴的矩离等于3得到|y|＝3，然后求出y即可得到B点坐标．【答案】解：∵A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，∴x＝﹣3，∵点B到x轴的距离等于3，∴|y|＝3，∴y＝3或y＝﹣3，则点B的坐标为（﹣3，3）或（﹣3，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（﹣3，﹣3）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关．【变式6-2】（2018春•邹城市期中）已知点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），直线MN∥x轴，则点M的横坐标为．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．【答案】解：∵直线MN∥x轴，点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），∴2a﹣3＝5，解得a＝4，a﹣2＝4﹣2＝2，所以，点M的横坐标为2．故答案为2．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的直线的上的点的坐标特征是解题的关键．【变式6-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A（b﹣4，3+b），B（3b﹣1，2），AB⊥x轴，则点A的坐标是．【分析】根据AB⊥x轴知b﹣4＝3b﹣1，解之求得b的值，继而可得坐标．【答案】解：∵AB⊥x轴，∴b﹣4＝3b﹣1，解得：b=-3则b﹣4=-32-4=-112所以点A的坐标为（-112，故答案为：（-112，【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是根据垂直于x轴得出横坐标相等．【考点7图形在坐标系中的平移】【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0【例7】（2019春•番禺区期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A′；B′；C′（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标；（2）首先根据A与A′的坐标观察变化规律，P的坐标变换与A点的变换一样，写出点P′的坐标；（3）先求出△ABC所在的矩形的面积，然后减去△ABC四周的三角形的面积即可．【答案】解：（1）如图所示：A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），横坐标减4，纵坐标减4，∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；（3）△ABC的面积为：3×5-12×1×5-故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．【点睛】此题主要考查了平移变换作图，三角形的面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解．【变式7-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A；B；C；（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标；（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【答案】解：（1）A（1，3）；B（2，0）；C（3，1）；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；（3）P′（x﹣4，y﹣2）；（4）△ABC的面积＝2×3-12×1×3-＝6﹣1.5﹣0.5﹣2＝2．故答案为：（1）（1，3）；（2，0）；（3，1）；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；（3）（x﹣4，y﹣2）．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．【变式7-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），得出平移变换的规律即可得出△ABC的三个顶点的对应点；（3）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可．【答案】解：（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣2，4），（﹣6，2），（﹣9，7）；（2）∵△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），∴P点象右平移4个单位，又向下平移3个单位，∴将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，B1、C1的坐标分别为：（﹣2，﹣1），（﹣5，4）；（3）△ABC的面积＝S梯形CDEA﹣S△CDB﹣S△ABE=12×（5+2）×7-【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【变式7-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点A（0，a），点B（0，b），点D（a，12a），点E（m﹣b，12（1）若a＝1，求m的值；（2）若点C（﹣a，14m+3），其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF【分析】（1）当a＝1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到m-b=1b-92（2）由平移的规律得出a=m-b①a-12a=b-(12a+4)②，变形整理得到14m+3=12a+4，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积=12BM•EM＝1，求出a＝2，A（0，2），B（0，6），【答案】解：（1）当a＝1时，由三角形ABC平移得到三角形DEF，A（0，1），B（0，b）的对应点分别为D（1，12），E（m﹣b，9可得m-b=1b-92故m的值为6；（2）AF＝BF．理由如下：由三角形ABC平移得到三角形DEF，点A（0，a），点B（0，b）的对应点分别为D（a，12a），点E（m﹣b，12可得a=m-b①a-由②得b＝a+4③，把③代入①，得m＝2a+4，∴14m+3=1∴点C与点E的纵坐标相等，∴CE∥x轴，∴点M（0，12a∴三角形BEM的面积=12BM•∵a＞0，∴BM＝a+4﹣（12a+4）=12a，EM∴14a2∴a＝2，∴A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）．又∵在平移中，点F与点C是对应点，∴F（0，4），∴AF＝4﹣2＝2，BF＝6﹣4＝2，∴AF＝BF．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度．【考点8点在坐标系内的移动规律】【例8】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（）A．（505，﹣505） B．（﹣505，505） C．（﹣505，504） D．（﹣506，505）【分析】根据点的下标发现规律：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，只需判断2019除以4的余数即可；【答案】解：根据给出的点发现：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，∴2019在第四象限，故选：A．【点睛】本题考查平面内点的特点，点的规律；能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．【变式8-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（）A．（6，44） B．（7，45） C．（44，7） D．（7，44）【分析】根据跳蚤运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退7次可得2018次所对应的坐标．【答案】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．2025﹣1﹣6＝2018，故第2018次时跳蚤所在位置的坐标是（6，44）．故选：A．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．【变式8-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（）A．（45，6） B．（45，13） C．（45，22） D．（45，0）【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，【答案】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，∴横坐标以n结束的有n2个点，第2025个点是（45，0），∴2019个点的坐标是（45，6）；故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．【变式8-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，1） B．（2018，0） C．（2018，2） D．（2019，0）【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．【答案】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2018＝504×4+2所以，前504次循环运动点P共向右运动504×4＝2016个单位，剩余两次运动向右走2个单位，且在x轴上．故点P坐标为（2018，0）故选：B．【点睛】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．专题1.4二元一次方程组章末重难点题型【人教版】【考点1二元一次方程的概念】【方法点拨】含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).【例1】（2019春•西湖区校级月考）下列各式是二元一次方程的是（）A．x﹣y B．2x＝4y﹣3 C．x＝+1 D．x2+y＝0【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．【答案】解：A．是整式，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A项不合题意，B．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即B项符合题意，C．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C项不合题意，D．是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即D项不合题意，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．【变式1-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x+＝2；④y2＝4x；⑤＝3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二元一次方程的定义作答．【答案】解：①xy＝2属于二元二次方程，故不符合题意；②3x＝4y符合二元一次方程的定义，故符合题意；③x+＝2不是整式方程，故不符合题意；④y2＝4x属于二元二次方程，故不符合题意；⑤＝3y﹣1符合二元一次方程的定义，故符合题意；⑥x+y﹣z＝1属于三元一次方程，故不符合题意．故其中二元一次方程有2个．故选：B．【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【变式1-2】（2019春•西湖区校级月考）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（）A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3【分析】依据二元一次方程的定义求解即可．【答案】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，∴a+3≠0，|a|﹣2＝1，解得a＝3．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．【变式1-3】（2019春•西湖区校级月考）方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（）A．m＝±1009；n＝±3 B．m＝1009，n＝3 C．m＝﹣1009，n＝﹣3 D．m＝﹣1009，n＝3【分析】依据二元一次方程的定义得到m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，依此求解即可．【答案】解：∵（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，∴m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，解得：m＝﹣1009，n＝3．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．【考点2二元一次方程的整数解】【方法点拨】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.【例2】（2019春•宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．【答案】解：方程2x+3y＝11，解得：y＝，当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，则方程的正整数解有2组，故选：B．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】要求二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解，可先从y＝0开始，分别把y＝0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的x的值，然后进行判断．【答案】解：当y＝0，x＝7.5，当y＝1，x＝6，当y＝2，x＝4.5，当y＝3，x＝3，当y＝4，x＝1.5，当y＝5，x＝0，所以二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有3个，故选：B．【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解，但可求出它的有限的某些特殊的解．【变式2-2】（2019春•西湖区校级月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】要求10x+y的值，就必须先求出x，y的值，所以首先要用方程表示其中一个未知数，然后根据式子分析x，y的取值，再代入10x+y求值．【答案】解：由题意，得．∵x和y的值取0到9的正整数，∴2y+11＞0，且是3的倍数．根据以上条件可假设当y＝0时，2y+11＝11，当y＝9时，2y+11＝29，∴2y+11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27，再解这个方程取整数值．得y的整数值只能是y＝2，5，8，相应的x值为x＝5，7，9．把分别代入10x+y，则有52，75，98三个值．故选：C．【点睛】解题关键是把方程3x﹣2y＝11的符合条件的x和y的值求出，再分别计算代入10x+y后的值．【变式2-3】（2019•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）A．34 B．35 C．36 D．37【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．【答案】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．【考点3解二元一次方程组】【方法点拨】掌握①代入消元法；②加减消元法是解题的关键.【例3】（2019秋•九龙坡区校级月考）计算（1）（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【答案】解：（1），①+②×2得：7x＝21，解得：x＝3，把x＝3代入②得：y＝﹣2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②﹣①×3得：14y＝﹣42，解得：y＝﹣3，把y＝﹣3代入①得：x＝﹣6，则方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）解下列二元一次方程组：（1）（2）【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；（2）先将原方程组化简，再根据消元法解方程组或者运用整体思想解方程组即可求解．【答案】解：（1）①﹣②，得：9t＝3，解得t＝，把t＝代入①，得x＝，∴原方程组的解是．故原方程组的解为（2）方法一：由，化简，得：①﹣②×7，可得：﹣32x＝﹣32，解得x＝1③，把③代入①，解得y＝﹣1，∴原方程组的解是．方法二：由①得5（x﹣y）﹣2（x+y）＝10③②+③，得8（x﹣y）＝16，∴x﹣y＝2④④代入②，得x+y＝0⑤④+⑤，得x＝1，∴y＝﹣1，∴原方程组的解是．故原方程组的解为【点睛】此题考查了解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练掌握消元法解方程组．【变式3-2】（2019秋•福田区校级月考）解下列方程组：（1）（2）【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【答案】解：（1），把①代入②得：5x+4（2x﹣2）＝57，解得：x＝5，把x＝5代入①得：y＝8，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①+②得：10x＝60，解得：x＝6，①﹣②得：16y＝﹣64，解得：y＝﹣4，则方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式3-3】（2019春•越秀区校级期中）解方程组（1）（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【答案】解：（1），①+②×4得：7x＝35，解得：x＝5，把x＝5代入②得：y＝1，则方程组的解为；（2），①﹣②得：7m＝5，解得：m＝，把m＝代入①得：n＝，则方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点4二元一次方程组的解】【方法点拨】使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.理解二元一次方程组的解是关键.【例4】（2019春•文登区期中）关于x和y的二元一次方程组和具有相同的解，求a，b的值【分析】首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可．【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，∴可得新方程组解这个方程组得．把x＝2，y＝2代入2ax﹣by＝1，ax+2by＝2，得，解得：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．【变式4-1】（2019春•嘉禾县期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值，即可得出答案．【答案】解：设被滴上墨水的方程组为，由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程ax+by＝2的解，则有，解之，得．又因方程组的解是，所以3m+14＝8，m＝﹣2．故所求方程组为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数即可．【变式4-2】（2019春•侯马市期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，求关于a、b的二元一次方程组的解．【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝2，可得方程组解出即可．【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴关于a．b的二元一次方程组满足，解得．故关于a．b的二元一次方程组的解是．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．【变式4-3】（2019春•汨罗市期中）已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解．【分析】由于甲看错了方程①中的a，故可将代入②，求出b的值；由于乙看错了方程组②中的b，故可将代入①，求出a的值，然后得到方程组，解方程组即可．【答案】解：将代入②得，﹣12+b＝﹣2，b＝10；将代入①得，5a+20＝15，a＝﹣1．故原方程组为，解得．【点睛】此题考查了方程组解的理解：方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．【考点5二元一次方程组的应用之配套问题】【例5】（2019春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【分析】设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，根据共用去132m这种布料，每2m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，衣身和衣袖恰好配套，据此列方程组求解．【答案】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，由题意得，解得：．答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【变式5-1】（2019春•海州区校级月考）某车间有33名工人生产甲乙两种零件，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个，而2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，问如何分配工作才能使生产出的两种零件刚好配套？每天生产多少套？【分析】设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，根据共33名工人生产零件且2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【答案】解：设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，依题意，得：，解得：，∴＝90．答：应分配15名工人生产甲种