2024七年级数学上专题3 与数有关的排列规律重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

2024七上专题3与数有关的排列规律重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【考点1周期规律】【方法点拨】解决此类问题的关键在于找到一列数的周期，而周期可通过列举法来发现，根据题意从第一项开始列举直至找到重复第一项，即为一个周期，由此可解.【例1】让我们按以下步骤计算第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；依此类推，则A．26 B．65 C．122 D．无法计算【分析】根据题意可以分别求得，，，，从而可以发现这组数据的特点，三个一循环，从而可以求得的值．【答案】解：由题意可得，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查规律性：数字的变化类，解题的关键是明确题意，求出前几个数，观察数的变化特点，求出的值．【变式1-1】对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（1）末位数字），（2）的末位数字），（3）的末位数字），则（1）（2）（3）的值是A．4028 B．4030 C．4032 D．4038【分析】首先根据已知得出规律，（1）的末位数字），（2）的末位数字），（3）的末位数字），（4），（5），（6），（7），（8），（9），，进而求出即可．【答案】解：（1）的末位数字），（2）的末位数字），（3）的末位数字），（4），（5），（6），（7），（8），（9），，每5个数一循环，分别为2，6，2，0，，，（1）（2）（3）．故选：．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化以及求出（1）（2）（3）是解题关键．【变式1-2】在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是A．9 B．3 C．7 D．1【分析】本题可分别求出、4、时的情况，观察它是否具有周期性，再把2016代入求解即可．【答案】解：依题意得：，，，，，，，；周期为6；，所以．故选：．【点睛】本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键．【变式1-3】有一列数，，，，，满足，，之后每一个数是1与前一个数的差的倒数，即，则A． B． C． D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数，便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，再根据规律求出与，然后将它们相减即可得解．【答案】解：，，，，，，所以这列数的周期为3，又，，，，．故选：．【点睛】本题考查了数字的变化规律，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．【考点2数图规律】【方法点拨】解决此类问题在于通过数图找到数与数之间的关系式.【例2】根据图中数字的规律，则的值是A．729 B．550 C．593 D．738【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数第二行左边的数第一行的数第一行的数，依此规律先求，再求即可．【答案】解：，；，；，；，，．故选：．【点睛】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数第二行左边的数第一行的数第一行的数．【变式2-1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为A．19 B．21 C．32 D．41【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为，，，，由此可得，．【答案】解：上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，左边的数为，，，，，上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，，故选：．【点睛】此题考查数字变化规律，观察出上边的数与左边的数的和正好等于右边的数是解题的关键．【变式2-2】如图所示，下列各三角形的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律最后一个三角形中的值是A．418 B．420 C．424 D．422【分析】根据已知图形得出左边三角形中的数字即为序数，而右边三角形数是序数与1的和，下方三角形数是上面两个三角形中数字乘积与2的和，据此可得．【答案】解：观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，3，，，右边三角形的数字规律为：2，3，4，5，，，下边三角形的数字规律为：，，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握左边三角形中的数字即为序数，而右边三角形数是序数与1的和，下方三角形数是上面两个三角形中数字乘积与2的和．【变式2-3】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的根据此规律确定的值为A．252 B．209 C．170 D．135【分析】首先根据图示，可得第个表格的左上角的数等于，左下角的数等于；右上角的数分别为4，6，8，10，，由此求出；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出的值是多少即可．【答案】解：由分析可知，，解得，，，故选：．【点睛】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【考点3数式的排列规律】【方法点拨】解决此类问题在于通过数式的排列规律找到数与数之间的关系.【例3】观察下列三行数：0，3，8，15，24，①2，5，10，17，26，②0，6，16，30，48，③（1）第①行数按什么规律排的，请写出来？（2）第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？（3）取每行的第个数，求这三个数的和．【分析】（1）通过计算得到，，，，，即每个数为它的序号数的平方减1；（2）观察易得第①行的数加2得到第②行的数；第①行的数乘2得到第③行的数；（3）先表示出第①行的第个数，再表示出第②、③行的第个数，然后求它们的和．【答案】解：（1），，，，，；（2）第②行的数是第①行相应的数加2所得；第③行的数是第①行相应的数乘2所得；（3）．【点睛】本题考查了规律型数字的变化类：充分利用表中数据，分析它们之间的联系，然后归纳出一般的变化规律．【变式3-1】仔细观察下列三组数第一组：1，4，9，16，第二组：1，8，27，64，第三组：，，，，（1）写出每组的第6个数各是多少？（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？（3）取每组的第20个数，计算这三个数的和．【分析】（1）第一组按，，，，排列，第二组按，，，，排列第三组，通过观察可以发现，此题实际上就是第一组中的数乘得来的；（2）利用（1）中规律得出第二组的第100个数是第一组的第100个数即可得出答案；（3）进而得出每组数的第20个数，即可得出答案．【答案】解：（1）第一组按，，，，排列，第二组按，，，，排列第三组按，，排列；每组的第6个数是：，，；（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的（倍；（3）每组数的第20个数分别为：，，．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．第三组的规律最难找，要细心观察．【变式3-2】观察下列三行数，并完成后面的问题：①，4，，16，，；②1，，4，，16，；③0，，3，，；（1）根据排列规律，分别写出上面三行数的第6个数；（2）设、、分别表示第①、②、③行数的第2019个数字，计算的值．【分析】（1）利用数字的排列规律得到第①行数的第个数字为，第②行数的第个数字为，第③行数的第个数字为为正整数），然后取6即可；（2）当取2019得到、、的值，然后计算它们的和．【答案】解：（1）第①行数的第6个数为64；第②行数的第6个数为；第③行数的第6个数为；（2）第①行数的第2019个数字为，即，第②行数的第2019个数字为，即，第③行数的第2019个数字为，即，所以．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．【变式3-3】观察下面三行数、4、、16、、64、①0、6、、18、、66、②5、、11、、35、、③（1）第①行数的第7个数是；（2）设第②行数中有一个数为，第③行数中对应位置的数为，则和之间等量关系为；设第①行数的第个数为，取每行的第个数，这三个数的和是；（3）根据（2）中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和．【分析】（1）利用第①行数字的规律得到第①行数的第个数为，然后取7即可得到第7个数；（2）第②行和第③行的对应位置上的数的和为5，从而得到与的关系；第①行数的第个数为，则第②行数的第个数为，第③行数的第个数为，然后把它们相加即可；（3）由于第①行数的第9个数为，即，然后利用（2）的结论计算这三个数的和．【答案】解：（1）第①行数的第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，第6个数为，所以第7个数为；（2）；第①行数的第个数为，第②行数的第个数为，第③行数的第个数为，所以这三个数的和；故答案为；；．（3）第①行数的第9个数为，即，所以这三个数的和．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．【考点4三角形数阵中的排列规律】【例4】观察下面一组数：，2，，4，，6，，，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，（1）第10行中从左边数第4个数是；（2）前7行的数字总和是．【分析】（1）奇数为负，偶数为正，每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是81，第10行从左边第4个数是．（2）找到前7行的数字个数，再两个一组计算即可求解．【答案】解：（1），．故第10行中从左边数第4个数是．故答案为：；（2）．故前7行的数字总和是．故答案为：．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．【变式4-1】如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对表示排从左到右第个数．如表示9，则表示．【分析】根据表示整数5，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对有：，；由此方法解决问题即可．【答案】解：若用有序数对表示从上到下第排，从左到右第个数，对如图中给出的有序数对和表示正整数5、表示整数9可得，，，；，由此可以发现，对所有数对【】有：，，．故答案为：198．【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题．【变式4-2】将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是，第3行最后一个数是9，第4行最后一个数是，，依此类推，第21行的第21个数是．【分析】根据图形得出第行最后一个数为，据此知第20行最后一个数为，继而由奇数行的序数为奇数的数为正数可得答案．【答案】解：根据题意知第行最后一个数为，当时，即第20行最后一个数为，又奇数行的序数为奇数的数为正数，第21行的第21个数是421，故答案为：421．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出第行最后一个数为．【变式4-3】观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是．【分析】由行有个数，可得出第10行第8个数为第53个数，结合奇数为正偶数为负，即可求出结论．【答案】解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，，第9行9个数，第10行第8个数为第个数．又第个数为，第个数为，第10行第8个数应该是53．故答案为：53．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数的变化找出变化规律是解题的关键．【考点5长方形数阵中的排列规律】【例5】如图1，在五列若干行的表格中，将2、4、6、8、10、12、若干个偶数有规律的放入．（1）第7行第二列的数是．（2）若用表示第三列的某一个数，则该数左上角的与右下角的两个数的和为；（3）若小颖用图2所示的的方框框住的9个数之和等于612，求这个方框内右下角的那个数．【分析】（1）本题的规律是第3列的数字每下一格是上一格多8，奇数行是从小到大，偶数行是从大到小；（2）第3列数的左上角与右上角的和都是中间数的2倍，依此即可求解；（3）框中间的数字是第3列的数字．【答案】解：（1）由题意得中间数字的规律为当时，，因此第七行第3列为52，所以第七行第2列为50．故答案为：50；（2）由题意得第3列数的左上角与右上角的和都是中间数的2倍，即为．故答案为：；（3）设中间数为，则这9个数的和为，解得，，解得．所以68在第9行第3列上一个数为60，上一行为第8行，偶数行是从大到小，所以这个方框的右上角为58．【点睛】本题考查了关于数字的变化规律：先要观察各行各列的数字的特点，得出数字排列的规律，然后确定所给数字的位置．【变式5-1】把2016个正整数1、2、3、4、、2016按如图方式排列成一个表，用一方框按如图所示的方式任意框住9个数．（方框只能平移）（1）若框住的9个数中，正中间的一个数为39，则：这九个数的和为．（2）方框能否框住这样的9个数，它们的和等于2016？若能，请写出这9个数；若不能，请说明理由．（3）若任意框住9个数的和记为，则：的最大值与最小值之差等于．【分析】（1）找出所框数字上下两行间的数量关系，左右数字间的数量关系，即可写出另外的八个数，进而求出它们的和；（2）由（1）可知方框框住这样的9个数的和是正中间的一个数的9倍，代入2016求出中间的数，由，可得出224为32行的第7个数，即224后面不存在数，从而得出方框框住这样的9个数．它们的和不能等于2016；（3）分别求出的最大值与最小值，再相减即可．【答案】解：（1）．故答案为：351；（2）设正中间的数为，则，由题意得，解得．，是表中第32行的最后一个数，不能框住这样的9个数，它们的和等于2016；（3）若任意框住9个数的和记为，则的最小值为．，在第288行的最后一个数，的最大值为，．即的最大值与最小值之差为17991．故答案为：17991．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中图形的变化类，观察表格，得出方框中框住的9个数与正中间数的关系是解题的关键．【变式5-2】如图（1）2018在第行，第列；（2）由五个数组成的“”中：①这五个数的和可能是2019吗，为什么？②如果这五个数的和是60，直接写出这五个数；（3）如果这五个数的和能否是2025，若能请求出这5个数；若不能请说明理由．【分析】（1）观察图表，发现每9个数排成一行，用2018除以9，根据商与余数即可确定行数与列数；（2）①根据五个数的和是中间数的5倍，可知这五个数的和不可能是2019；②先根据五个数的和是中间数的5倍，求出中间数，再根据中间数与其它数的关系，求出其余4个数；（3）假设这五个数的和是2025，根据五个数的和是中间数的5倍，求出中间数是405，发现405在第9列，所以不存在．【答案】解：（1），故2018在第行，第2列．故答案为：225，2；（2）①不可能，因为这五个数的和是中间数的5倍，而2019不是5的整数倍，所以这五个数的和不可能是2019．②，，，．故这五个数分别是3，11，12，13，21；（3）因为，而，所以405在第45行，第9列，所以不存在．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，解题的关键是：（1）找出5个数的和与中间数的关系；（2）用含的代数式表示出其它4个数；（3）通过解一元一次方程来判定5个数的和能否为给定的各数．【变式5-3】把正整数1，2，3，，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、，从左到右分别称为第1列、第2列、．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为、、、．设．（1）在图1中，2018排在第行第列；排在第行第列的数为，其中，，且都是正整数；（直接写出答案）（2）若，求出所表示的数；（3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由．【分析】（1）每行8个数，，2018排在第253行第2列；第行第8列数为，第行第列为；（2）设，可以依据、、、四个数排列的规律依次用含的代数式表达，再根据题意列方程求解即可；（3）根据题意列方程求出，如果为正整数，并且不在第6、7、8列，才能符合题目要求．【答案】解：（1），2018排在第253行第2列；根据数字排列规律：第行最后一列数字为，排在第行第列的数为；故答案为：253，2；；（2）由题意得：，，，，，，解得：，．（3）这些数的和不能为4212；被阴影覆盖的这些数的和若，则不是正整数，不符合题意．【点睛】本题关键要理解题意，弄清楚数字的排列规律．【考点6数式求和—裂项法】【例6】请观察下列算式，找出规律并填空：，，，，则：（1）第10个算式是；（2）第个算式为；（3）根据以上规律解答下题：【分析】（1）由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，据此可得；（2）利用所得规律求解可得；（3）利用所得规律展开，两两相消求解可得．【答案】解：（1）根据题意知，第10个算式是，故答案为：；（2）第个算式为，故答案为：；（3）原式．【点睛】本题考查了数字的变化类题目，解决此类题目的关键是认真观察题目提供的算式，然后从中整理出规律，并利用此规律解题．【变式6-1】观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出：（2）直接写出下列各式的计算结果：①②（3）探究并计算：【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据①中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，先拆项，再抵消即可求解；【答案】解：（1）由，，猜想出：；故答案为：；（2）直接写出下列各式的计算结果：①，②；故答案为：，；（3）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-2】观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：按以上规律解答下列问题：（1）列出第五个等式：（2）计算的结果．（3）计算的结果．【分析】（1）连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，据此可得；（2）利用所得规律将原式裂项求和即可得；（3）利用所得规律将原式裂项求和即可得．【答案】解：（1）根据题意知，第5个等式为，故答案为：．（2）；（3）．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：．【变式6-3】阅读并验证下列计算：，，，计算：理解上述解题力法，思考其中的规律，完成下列任务：（1）（直接填得数）（2）计算：；（3）填空：①；②．【分析】（1）先根据得出的规律展开，再合并，最后求出即可；（2）先根据得出的规律展开，再合并，最后求出即可；（3）先根据得出的规律展开，再合并，最后求出即可．【答案】解：（1）；（2）；（3）①；②；故答案为：；；．【点睛】本题考查了数字的变化类，有理数的混合运算，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．【考点7数式求和—等差类】【例7】问题探究：观察下面由“※”组成的图案和算式，解答问题：问题解决：（1）试猜想的结果为；（2）若表示正整数，请用含的代数式表示的结果．问题拓展：（3）请用上述规律计算：．【分析】（1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；（2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可；（3）利用以上已知条件得出，求出即可．【答案】解：（1），故答案为：625；（2）；（3）．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．【变式7-1】从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：加数的个数连续偶数的和12345（1）如果时，那么的值为；（2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为：；（3）根据上题的规律计算的值（要有计算过程）．【分析】（1）当时，表示出，计算得到的值；（2）根据表格得到从2开始的偶数之和为偶数个数乘以个数加1，用表示出即可；（3）将所求式子表示为，用上述规律计算，即可得到结果．【答案】解：（1）当时，那么；（2）根据表格中的等式得：；（3）．故答案为：（1）72；（2）．【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，本题的规律为：从2开始的连续偶数之和为偶数个数乘以偶数个数加1．【变式7-2】探索规律，观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想；（2）请猜想；（3）请计算：．【分析】（1）（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；（3）用从1开始到199的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解．【答案】解：（1）；（2）；（3）．故答案为：100；．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出结果的底数与算式中首尾两个数的关系是解题的关键．【变式7-3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数和12345（1）按这个规律，当时，和为（2）从2开始，个连续偶数相加，它们的和与之间的关系，用公式表示出来为（3）应用上述公式计算①②【分析】（1）仔细观察给出的等式可发现从2开始连续两个偶数和，连续3个偶数和是，连续4个，5个偶数和为，，从而推出当时，和的值；（2）根据分析得出当有个连续的偶数相加是，式子就应该表示成：．（3）根据已知规律进行计算，得出答案即可．【答案】解：（1），，，，时，和为：；故答案为：72；（2）和与之间的关系，用公式表示出来：；故答案为：；（3）①，；②，．，．【点睛】此题主要考查了数字规律，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值是解题关键．【考点8数式求和—等比类】【例8】（1）①观察一列数1，2，3，4，5，，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②如果欲求的值，可令①将①式右边顺序倒置，得②由②加上①式，得；；由结论求；（2）①观察一列数2，4，8，16，32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②为了求的值，可令，则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算【分析】（1）①根据数列中每一项与前一项之差是1求解可得；②将对应位置的数相加，其和为，共个数，再将两边除以2即可得；（2）①根据数列中每一项与前一项之比是2求解可得；②令，将等式两边乘以5后相减，再进一步求解可得．【答案】解：（1）①数列1，2，3，4，5，中，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②令①将①式右边顺序倒置，得②由②加上①式，得；，由结论求，故答案为：①1，18，；②，，1540；（2）①数列2，4，8，16，32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么，；②令，则，，，，即．故答案为：①2，，．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握两个数列中的等差和等比的规律，并熟练掌握求和的方法．【变式8-1】观察下列各等式：用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：为正整数）；（2）计算：①；②【分析】（1）括号内是两个连续的自然数，最小的数与等号左边的最大底数相同；（2）①根据规律得所有底数和的平方，计算即可；②提公因式，可得结论．【答案】解：（1）为正整数）；故答案为：，；（2）计算：①；，，，，②，，，．【点睛】此题考查算式的规律，注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键，并进一步利用规律解决问题．【变式8-2】观察下面的几个式子（1）根据上面的规律，第5个式子为：；（2）根据上面的规律，第个式子为：；（3）利用你发现的规律写出；（4）利用你发现的规律求出的值并写出过程．【分析】（1）根据已知等式的规律可得；（2）根据已知等式的规律可得；（3）将（2）中所得等式两边都除以3，再整理可得；（4）将原式变形为，利用所得规律计算可得．【答案】解：（1）第5个式子为：，故答案为：；（2）根据上面的规律，第个式子为：，故答案为：；（3），故答案为：；（4）原式．【点睛】本题考查了数字的变化类，解此题的关键是找出规律直接解答．【变式8-3】运算、观察、猜想、运用．（1）填空（2）猜想第个等式是：并说明第个等式成立．（3）计算【分析】（1）根据题目中的例子，可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以猜想出第个等式，并进行说明成立；（3）根据题目中的例子可以计算出所求式子的值．【答案】解：（1），，故答案为：2，3；（2）第个等式是：，故答案为：，理由：，即；（3）．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化规律．七上专题4图形中的排列规律重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【考点1图形中的周期规律】【方法点拨】观察题目中图形的变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想进行求解.【例1】依次观察如图三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（）A． B． C． D．【分析】根据题目中给出的图形，可知每五个一个循环，空白的大三角形按照顺时针旋转，从而可以得到从左到右第2019个图形是选项中的哪个图形，本题得以解决．【答案】解：由图可知，每连续的五个为一组，也就是五个一循环，2019÷5＝403…4，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．【变式1-1】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的右下角 D．第505个正方形的左上角【分析】设第n个正方形中标记的最大的数为an，观察给定图形，可找出规律“an＝4n”，依此规律即可得出结论．【答案】解：设第n个正方形中标记的最大的数为an．观察给定正方形，可得出：每个正方形有4个数，即an＝4n．∵2019＝504×4+3，∴数2019应标在第505个正方形左上角．故选：D．【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律an＝4n．本题属于基础题，难度不大，需找出2019在第几个正方形上．【变式1-2】如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2018cm时停下，则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C【分析】观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2018除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．【答案】解：∵两个菱形的边长都为1cm，∴从A开始移动8cm后回到点A，∵2018÷8＝252余2，∴移动2018cm为第253个循环组的第2cm，在点C处．故选：D．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．【变式1-3】如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第2018步到达（）A．A点 B．C点 C．E点 D．F点【分析】先求出由A点开始按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动走一圈所走的步数，在用2018除以此步数即可．【答案】解：∵如图物体从点A出发，按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动，此时一个循环为8步，∴2018÷8＝252…2．∴当物体走到第252圈后再走2步正好到达C点．故选：B．【点睛】本题考查的是图形的变化类这一知识点，解答此题的关键是根据题意得出物体走一个循环的步数，找出规律即可轻松作答．【考点2图形中的等差规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，会发现后一项与前一项的差均相等，即为等差规律，应用公式：第n个图形的个数=第一个图形的个数+差数×（n-1）.【例2】用黑白两种颜色的正方形纸片，按白色纸片数逐渐加1并按下图的规律拼成一列图案，则第100个图案中黑色正方形纸片的张数是（）A．300 B．301 C．302 D．303【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个，根据其中的规律，计算出第100个图案的黑纸片个数即可．【答案】解：第1个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张，第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，…第n个图案中有黑色纸片：（3n+1）张，∴第100个图案中有黑纸片301张．故选：B．【点睛】本题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，难度适中．【变式2-1】用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（）枚．A．6053 B．6054 C．6056 D．6060【分析】观察图形可知：第1个图形需要围棋子的枚数＝5；第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3；第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2；第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，…，则第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1），然后把n＝2018代入计算即可．【答案】解：∵第1个图形需要围棋子的枚数＝5，第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3，第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2，第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，…，∴第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第2018个图形需要围棋子的枚数＝3×2018+2＝6056，故选：C．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出一般的运算规律解决问题．【变式2-2】下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．15 B．17 C．21 D．27【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可．【答案】解：观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，…故第⑩个图形有3+2×9＝21（个），故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．【变式2-3】如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照此规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（）A．36 B．38 C．42 D．50【分析】由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；由此求得问题答案．【答案】解：第1个“上”字中的棋子个数是6＝4+2；第2个“上”字中的棋子个数是10＝4×2+2；第3个“上”字中的棋子个数是14＝4×3+2；…第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；所以第10个“上”字需用棋子的数量是4×10+2＝42个．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．【考点3图形中的乘方规律】【方法点拨】观察题目中图形的特点，出现1,4,9,16,25.....正方形的图阵，即可联想到利用乘方来表示.【例3】如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42 B．43 C．56 D．57【分析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【答案】解：设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n为正整数），∴a6＝62+7＝43．故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．【变式3-1】如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要（）个基本图形．A．402 B．404 C．406 D．408【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．【答案】解：第1个图案由12+4＝5个基础图形组成，第2个图案由22+4＝8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，可以发现：第20个图案需要202+4＝404个基本图形．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．【变式3-2】下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（）A．119 B．121 C．140 D．142【分析】根据图示，可得：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，据此求出第10个小房子用了多少颗石子即可．【答案】解：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，∴第n个小房子用的石子的数量是：2n﹣1+（n+1）2，∴第10个小房子用的石子的数量是：19+112＝19+121＝140．故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【变式3-3】如图，们一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中共有6个小黑点，第②个图形中有10个黑点，第③个图形中一共有16个小黑点，…，按此规律，则第⑩个图形中小黑点的个数是（）A．112 B．114 C．116 D．118【分析】第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，那么可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．【答案】解：第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．把n＝10代入可得：10×10+10+4＝114，故选：B．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类；根据图形的排列规律正确列式是解决本题的关键．【考点4图形中的自然数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例4】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．【答案】解：当n＝4时，三角点阵中的点数之和是：1+2+3+4＝10，故①正确，当1+2+…+n＝300时，即，得n＝24，故②正确，当n＝19时，三角点阵中的点数之和为＝190，∵190+10＝200，∴前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，故③正确；故选：D．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式4-1】如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14 B．20 C．24 D．27【分析】根据已知图形得出第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，据此求解可得．【答案】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7＝27个．故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．【变式4-2】如图图形是用同样大小的铜币摆放的四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（）A．29 B．36 C．37 D．46【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．【答案】解：n＝1时，铜币个数＝1+1＝2；当n＝2时，铜币个数＝1+1+2＝4；当n＝3时，铜币个数＝1+1+2+3＝7；当n＝4时，铜币个数＝1+1+2+3+4＝11；…第n个图案，铜币个数＝1+1+2+3+4+…+n＝n（n+1）+1，当n＝8时，×8×9+1＝37，故选：C．【点睛】本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．【变式4-3】下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第③个图形中有18根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（）A．63 B．60 C．56 D．45【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【答案】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；∴第⑥个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）＝63，故选：A．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数．【考点5图形中的奇数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例5】如图，将等边三角形按一定规律排列，第①个图形中有1个小等边三角形，第②个图形中有4个小等边三角形，按此规律，则第⑥个图形中有（）个小等边三角形．A．36个 B．49个 C．35个 D．48个【分析】根据已知得出第n个图形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2个三角形，据此代入计算可得．【答案】解：第①个图有1＝12个三角形，第②个图形有1+3＝4＝22个三角形，第③个图形有1+3+5＝9＝32个三角形，…第⑥个图形有62＝36个三角形，故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式5-1】如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，黑点的个数有（）A．4n﹣1 B．n2﹣1 C．n2+2 D．2n+1【分析】分析数据可得：第①个图形中点的个数为3；第②个图形中点的个数为3+3；第③个图形中点的个数为3+3+5；第④个图形中点的个数为3+3+5+7；…则知第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）．据此可以求得答案．【答案】解：第①个图形中点的个数为3；第②个图形中点的个数为3+3；第③个图形中点的个数为3+3+5；第④个图形中点的个数为3+3+5+7；…第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．故选：C．【点睛】此题属于图形与数字结合规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【变式5-2】如图用棋子摆成三角形的图案，第（1）个三角形中有4枚棋子，第（2）个三角形中有9枚棋子，第（3）个三形中有16枚棋了，…，按照这样的规律摆下去第（）个三角形中有2025枚棋子．A．42 B．43 C．44 D．45【分析】首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【答案】解：第1个三角形图案：1+3＝4＝22，第2个三角形图案：1+3+5＝9＝32，第3个三角形图案：1+3+5+7＝16＝42，第4个三角形图案：1+3+5+7+9＝16+9＝25＝52，第5个三角形图案：1+3+5+7+9+11＝25+11＝36，则第n个三角形图案：1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2，令（n+1）2＝2025，解得：n＝44或n＝﹣46（舍去）故选：C．【点睛】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，