2024九年级下册数学专题06 反比例函数章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024九年级下册数学专题06反比例函数章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1反比例函数的定义】【方法点拨】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。(自变量的取值:)反比例函数的等价形式：①（）②()③xy=k()【例1】（2019秋•南岗区校级月考）下列函数中，是反比例函数的是A． B． C． D．【变式1-1】（2019春•西城区校级期中）若函数是反比例函数，则(A． B． C． D．1【变式1-2】（2019春•阜宁县期中）下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-3】（2018秋•万山区月考）下列函数中，是的反比例函数有；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．A．（2）（4） B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8） D．（1）（3）（4）（6）【考点2反比例函数的性质】【方法点拨】反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大【例2】（2019秋•武陵区校级月考）在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是 B． C． D．【变式2-1】（2019•道外区三模）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是A． B． C． D．【变式2-2】（2019秋•南岸区校级月考）从3、1、、、这五个数中，取一个数作为函数和关于的方程中的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的的值共有个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2019•荆州区模拟）已知关于的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小，那么的值为A．3 B．3或 C． D．【考点3反比例函数值大小比较】【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内．【例3】（2018秋•闵行区期末）反比例函数的图象经过点，，、，是图象上另两点，其中，那么、的大小关系是A． B． C． D．都有可能【变式3-1】（2019秋•槐荫区期中）已知反比例函数的图象上有三个点，、，、，，若，则下列关系是正确的是A． B． C． D．【变式3-2】（2019秋•庐阳区校级月考）设，，是双曲线上的三点，则A． B． C． D．【变式3-3】（2019春•西湖区校级月考）若反比例函数图象上有两个点，，，，设，则不经过第象限．A．一 B．二 C．三 D．四【考点4与反比例函数有关的图象问题】【例4】（2019秋•金安区校级月考）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是A． B． C． D．【变式4-1】（2019春•西城区校级期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为A． B． C． D．【变式4-2】（2019•兴庆区校级一模）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．【变式4-3】（2019•崂山区二模）二次函数的图象如图所示，则次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为A． B． C． D．【考点5反比例函数K的几何意义】【方法点拨】反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。【例5】（2019春•宽城区期中）如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点．若是轴上任意一点，则的面积为A．9 B．6 C． D．3【变式5-1】（2019•渝中区二模）如图，平行于轴的直线与函数，．的图象分别相交于、两点，且点在点的右侧，在轴上取一点，使得的面积为3，则的值为A．6 B． C．3 D．【变式5-2】（2019•昆明模拟）如图，函数和的图象分别是和．设点在上，轴交于点，轴，交于点，的面积为A． B． C． D．【变式5-3】（2019•蒙阴县一模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中、在轴上，则为A．2 B．3 C．4 D．5【考点6反比例函数图象上点的坐标规律】【例6】（2019•蜀山区一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别与轴和轴的垂线，垂足分别是和，点的坐标为，取轴上一点，，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点，，，按此规律作矩形，则矩形为正整数）的面积为．【变式6-1】（2019•海港区一模）如图，已知等边△，顶点，在双曲线上，点的坐标为，过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为的坐标为．【变式6-2】（2018•邻水县一模）如图，分别过反比例函数图象上的点，，，．作轴的垂线，垂足分别为，，，，连接，，，，，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形，依此类推，则点的纵坐标是．（结果用含代数式表示）【变式6-3】（2019•德州）如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为．（用含的式子表示）【考点7求反比例函数的解析式】【例7】（2019秋•庐阳区校级月考）已知与成反比例，当时，，求与的函数表达式．【变式7-1】（2018秋•金山区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．（1）求关于的函数解析式；（2）求当时的函数值．【变式7-2】（2018秋•浦东新区期末）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式．【变式7-3】（2018秋•包河区期末）如图，已知点在双曲线上，连结，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，求经过点的双曲线的表达式．【考点8反比例函数与一次函数综合】【例8】（2019秋•武陵区校级月考）已知、两点是反比例函数与一次函数图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）观察图象，直接写出不等式的解集．【变式8-1】（2019•新蔡县一模）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，轴，垂足为，的面积是1．（1）求、的值；（2）求直线的解析式．（3）点在双曲线上，且的面积等于面积的，求点的坐标．【变式8-2】（2019春•京口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y＝﹣，当y≤﹣2时，x的取值范围是．（3）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≥﹣的解集．（4）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOA面积，求点P的坐标．【变式8-3】（2019春•卧龙区期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．（1），；（2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是；（3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式．【考点9反比例函数的实际应用】【例9】（2019秋•碑林区校级月考）某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间（分的关系如下图所示，回答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求与之间的函数关系式；（2）求出图中的值；（3）某天早上，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，问：他应在什么时间段内接水？【变式9-1】（2019春•西城区校级期中）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力随时间（分的变化规律如图所示，其中、分别为线段，为双曲线的一部分．（1）写出线段和双曲线的函数关系式（不要求指出自变量取值范围）：线段AB：=；双曲线CD：=；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为，第30分钟时的注意力水平为，则、的大小关系是；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．【变式9-2】（2019春•铜山区期末）某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例．药物燃烧后，与成反比例（如图所示），现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为，（1）写出药物燃烧前后，与之间的函数表达式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？【变式9-3】（2019春•泰兴市校级期中）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，学校对教室采取喷洒药物进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，在封闭教室的过程中，每经过一分钟室内每立方米空气中含药量降低，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图（在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例）（1）；（2）求与之间的函数关系式；（3）当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．问此次消毒是否有效？并说明理由．【考点10与反比例函数有关的存在性问题】【例10】（2019春•侯马市期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．（1）求的值；（2）求的面积．（3）根据图象直接写出时，的取值范围．（4）点是反比例函数上一点，是否存在点，使点、、为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-1】（2019•江油市模拟）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量的取值范围；（3）若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到点，在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-2】（2018秋•锦州期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，点的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，坐标平面内存在点．使四边形是矩形，求出点的坐标．【变式10-3】（2018春•江阴市期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，反比例函数图象上存在点，使得四边形为平行四边形，求的面积．专题06反比例函数章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1反比例函数的定义】【方法点拨】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。(自变量的取值:)反比例函数的等价形式：①（）②()③xy=k()【例1】（2019秋•南岗区校级月考）下列函数中，是反比例函数的是A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的定义可以判定．【答案】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．【变式1-1】（2019春•西城区校级期中）若函数是反比例函数，则(A． B． C． D．1【分析】根据反比例函数的定义列方程即可得到结论．【答案】解：∵函数𝑦＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，∴|m|﹣2＝﹣1，m+1≠0，∴m＝1，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．【变式1-2】（2019春•阜宁县期中）下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可．【答案】解：①y＝x﹣2，y是x的一次函数，故错误；②y＝，y是x的正比例函数，故错误；③y＝x﹣1，y是x的反比例函数，故正确；④y＝，y是x+2的反比例函数，故错误．综上所述，正确的结论只有1个．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形式（k≠0）．也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．【变式1-3】（2018秋•万山区月考）下列函数中，是的反比例函数有；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．A．（2）（4） B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8） D．（1）（3）（4）（6）【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．【答案】解：（1）y＝3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y＝﹣，是反比例函数，故此选项正确；（3）是正比例函数，故此选项错误；（4）﹣xy＝3是反比例函数，故此选项正确；（5），y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6），y是x2的反比例函数，故此选项错误；（7）y＝2x﹣2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（8），k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．【考点2反比例函数的性质】【方法点拨】反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大【例2】（2019秋•武陵区校级月考）在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是 B． C． D．【分析】根据反比例函数的性质可得3﹣m＞0，再解不等式即可．【答案】解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴3﹣m＞0，解得，m＜3．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．【变式2-1】（2019•道外区三模）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】考查反比例函数的图象和性质，由2﹣k＞0即可解得答案．【答案】解：∵y＝的图象位于第一、第三象限，∴2﹣k＞0，k＜2．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．【变式2-2】（2019秋•南岸区校级月考）从3、1、、、这五个数中，取一个数作为函数和关于的方程中的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的的值共有个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由函数y＝的图象经过第二、四象限，可得k﹣2＜0，由关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，可得（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，继而求得答案．【答案】解：∵函数y＝的图象经过第二、四象限，则k﹣2＜0，解得：k＜2，∴符合要求的有1，﹣1，﹣2，﹣3，∵关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，∴（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，∴符合要求的有，﹣1，﹣2，﹣3，∴恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有3个．故选：C．【点睛】此题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式．此题难度适中，注意熟记性质是解此题的关键．【变式2-3】（2019•荆州区模拟）已知关于的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小，那么的值为A．3 B．3或 C． D．【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m的值，反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，则m﹣1＞0，求出m的取值范围．再根据前者确定m的最后值．【答案】解：∵x2﹣（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×1＝m2﹣2m﹣3＝（m﹣3）（m+1）＝0，∴m＝3和m＝﹣1；又∵反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而减小，∴图象在一，三象限，即（m﹣1）＞0，∴m＞1，∴m只能为3，故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系和反比例函数的性质，有一定的难度．只要认真分析，能够正确作答．【考点3反比例函数值大小比较】【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内．【例3】（2018秋•闵行区期末）反比例函数的图象经过点，，、，是图象上另两点，其中，那么、的大小关系是A． B． C． D．都有可能【分析】先代入点（﹣1，2）求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【答案】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），∴k＝﹣2，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限，∴y1＜y2．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．【变式3-1】（2019秋•槐荫区期中）已知反比例函数的图象上有三个点，、，、，，若，则下列关系是正确的是A． B． C． D．【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．【答案】解：∵反比例函数y＝﹣，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，∴y2＜y1＜y3，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．【变式3-2】（2019秋•庐阳区校级月考）设，，是双曲线上的三点，则A． B． C． D．【分析】先根据反比例函数的系数k＝﹣3判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据﹣2＜0＜1＜2，即可判断出y1、y2、y3的大小．【答案】解：∵k＝﹣3＜0，∴则图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又∵﹣2＜0＜1＜2，∴y1＞y3＞y2．故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．【变式3-3】（2019春•西湖区校级月考）若反比例函数图象上有两个点，，，，设，则不经过第象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．【答案】解：∵y＝（a＞1，x＜0），∴a﹣1＞0，∴y＝（a＞1，x＜0）图象在三象限，且y随x的增大而减小，∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，∴m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y＝mx﹣m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点4与反比例函数有关的图象问题】【例4】（2019秋•金安区校级月考）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是A． B． C． D．【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法和二次函数的性质、反比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合实际，从而可以解答本题．【答案】解：当k＞0时，二次函数y＝﹣kx2﹣k2的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴；当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）图象在第一、三象限，故选项C正确，选项D错误；当k＜0时，二次函数y＝﹣kx2﹣k2的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）图象在第二、四象限，故选项A错误，选项B错误；故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．【变式4-1】（2019春•西城区校级期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为A． B． C． D．【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【答案】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系是解答此题的关键．【变式4-2】（2019•兴庆区校级一模）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．【分析】由函数图象经过y轴正半轴可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．【答案】解：对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0．图象经过y轴正半可知c＞0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，b＝2a＝﹣，c＝，确定一次函数和反比例函数有2个交点，由b＜0可知，直线y＝﹣x﹣2b经过一、二、三象限，由c＞0可知，反比例函数的图象经过第一、三象限，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．【变式4-3】（2019•崂山区二模）二次函数的图象如图所示，则次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象确定﹣b、b2﹣4ac、a﹣b+c的符号，由它的符号判定一次函数图象与反比例函数图象所经过的象限即可．【答案】解：如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下，则a＜0．对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b＞0，故﹣b＜0．又因为抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0，所以直线y＝﹣bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以双曲线y＝在经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是B选项．故选：A．【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键．【考点5反比例函数K的几何意义】【方法点拨】反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。【例5】（2019春•宽城区期中）如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点．若是轴上任意一点，则的面积为A．9 B．6 C． D．3【分析】连接OA、OB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOP＝×3＝，S△BOP＝×|﹣6|＝3，即可求得S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝+3＝，根据同底等高的三角形面积相等，得出S△AOB＝S△ABC，即可求得△ABC的面积．【答案】解：连接OA、OB，∵C是y轴上任意一点，∴S△AOB＝S△ABC，∵S△AOP＝×3＝，S△BOP＝×|﹣6|＝3，∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝+3＝，∴S△ABC＝，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是掌握y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．【变式5-1】（2019•渝中区二模）如图，平行于轴的直线与函数，．的图象分别相交于、两点，且点在点的右侧，在轴上取一点，使得的面积为3，则的值为A．6 B． C．3 D．【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．【答案】解：设A（，m），B（，m），则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝3，则a﹣b＝6．故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．【变式5-2】（2019•昆明模拟）如图，函数和的图象分别是和．设点在上，轴交于点，轴，交于点，的面积为A． B． C． D．【分析】将点P（m，n）代入反比例函数（x＞0）用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB∥x轴，得到B点的纵坐标为，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式（x＞0）即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB＝m﹣，PA＝，利用S△PAB＝PA•PB即可得到答案．【答案】解：设点P（m，n），∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴n＝，∴点P（m，）；∵PB∥x轴，∴B点的纵坐标为，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y＝（x＞0）得：x＝，∴B（，），同理可得：A（m，）；∵PB＝m﹣＝，PA＝﹣＝，∴S△PAB＝PA•PB＝×．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．【变式5-3】（2019•蒙阴县一模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中、在轴上，则为A．2 B．3 C．4 D．5【分析】连结OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．【答案】解：连结OA、OB，AB交y轴于E，如图，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴，∴S△OEA＝×3＝，S△OBE＝×2＝1，∴S△OAB＝1+＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【考点6反比例函数图象上点的坐标规律】【例6】（2019•蜀山区一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别与轴和轴的垂线，垂足分别是和，点的坐标为，取轴上一点，，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点，，，按此规律作矩形，则矩形为正整数）的面积为．【分析】第1个矩形的面积＝，第2个矩形的面积＝，…于是得到第n个矩形的面积＝．【答案】解：第1个矩形的面积＝＝，第2个矩形的面积＝＝，…第n个矩形的面积＝．∴矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．【变式6-1】（2019•海港区一模）如图，已知等边△，顶点，在双曲线上，点的坐标为，过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为的坐标为．【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．【答案】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，a）．∵点A2在双曲线y＝（x＞0）上，∴（2+a）•a＝，解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣1（舍去），∴OB2＝OB1+2B1C＝2+2﹣2＝2，∴点B2的坐标为（2，0）；作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，OD＝OB2+B2D＝2+b，A2（2+b，b）．∵点A3在双曲线y＝（x＞0）上，∴（2+b）•b＝，解得b＝﹣+，或b＝﹣﹣（舍去），∴OB3＝OB2+2B2D＝2﹣2+2＝2，∴点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推…，∴点Bn的坐标为（2，0），∴点B6的坐标为（2，0）．故答案为（2，0），（2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．【变式6-2】（2018•邻水县一模）如图，分别过反比例函数图象上的点，，，．作轴的垂线，垂足分别为，，，，连接，，，，，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形，依此类推，则点的纵坐标是．（结果用含代数式表示）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝．【答案】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，∴y1＝3，y2＝；∴P1A1＝y1＝3；又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴P1A1＝B1P2＝3，P1A1∥B1P2，∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+3，即点B1的纵坐标是；同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝1+＝；点B3的纵坐标是：y4+y3＝+1＝；…点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；故答案是：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标yn+1+yn．【变式6-3】（2019•德州）如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为．（用含的式子表示）【分析】先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，﹣），根据OD2＝2+＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n+1来解决这个问题．【答案】解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴An（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）；【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．【考点7求反比例函数的解析式】【例7】（2019秋•庐阳区校级月考）已知与成反比例，当时，，求与的函数表达式．【分析】设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式．【答案】解：设y﹣1＝，根据题意得﹣5﹣1＝k，解得k＝﹣6，∴y﹣1＝﹣，即y＝．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．【变式7-1】（2018秋•金山区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．（1）求关于的函数解析式；（2）求当时的函数值．【分析】（1）可设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0），把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式；（2）把x＝8代入（1）求得函数解析式求解．【答案】解：（1）由题意可设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0），∴y＝y1+y2＝k1（x﹣1）+．把x＝2，y＝5；x＝﹣2，y＝﹣9代入可得：，解得，∴y关于x的函数解析式为y＝2（x﹣1）+；（2）当x＝8时，y＝2×（8﹣1）+＝．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．【变式7-2】（2018秋•浦东新区期末）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式．【分析】根据题意设出函数关系式，把x＝﹣1时y＝3，当x＝2时，y＝﹣3．代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式．【答案】解：∵y1与x2成正比例，∴y1＝k1x2．∵y2与x﹣1成反比例，∴y2＝．y＝k1x2+．当x＝﹣1时，y＝3；x＝2时，y＝﹣3；∴．解得：．∴y＝x2﹣．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和正比例函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解本题的关键．【变式7-3】（2018秋•包河区期末）如图，已知点在双曲线上，连结，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，求经过点的双曲线的表达式．【分析】过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可．【答案】解：如图，过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，∵∠POQ＝90°，∴∠QON+∠POM＝90°，∵∠QON+∠OQN＝90°，∴∠POM＝∠OQN，由旋转可得OP＝OQ，在△QON和△OPM中，，∴△QON≌△OPM（AAS），∴ON＝PM，QN＝OM，设P（a，b），则有Q（﹣b，a），由点P在y＝图象上，得到ab＝3，∴﹣ab＝﹣3，∴经过点Q的双曲线的表达式为y＝﹣．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【考点8反比例函数与一次函数综合】【例8】（2019秋•武陵区校级月考）已知、两点是反比例函数与一次函数图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）观察图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；（2）求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）结合函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集；【答案】解：（1）∵A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣2a•a＝﹣2a，解得a＝1，m＝﹣2，∴A（1，﹣2），B（﹣2，1），反比例函数的解析式为y＝﹣．将点A（1，﹣2）、点B（﹣2，1）代入到y＝kx+b中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx+b﹣＞0的解集为x＜﹣1或0＜x＜2．【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的解析式；要能够熟练借助直线和x轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．【变式8-1】（2019•新蔡县一模）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，轴，垂足为，的面积是1．（1）求、的值；（2）求直线的解析式．（3）点在双曲线上，且的面积等于面积的，求点的坐标．【分析】（1）由题意，根据对称性得到B的横坐标为1，确定出C的坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；（3）根据题意求得△POC的面积为，根据三角形面积公式得到＝•|yP|，解得yP＝±1，从而求得P的坐标．【答案】解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S△ABC＝×2×2＝2，∵△POC的面积等于△ABC面积的，∴S△POC＝，∵S△POC＝OC•|yP|，∴＝•|yP|，解得yP＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式8-2】（2019春•京口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y＝﹣，当y≤﹣2时，x的取值范围是．（3）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≥﹣的解集．（4）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOA面积，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．（2）求出y＝﹣2时x的值，再利用图象法解决问题即可．（3）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．（4）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题．【答案】解：（1）由题意A（﹣1，6），B（2，﹣3），则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3．（2）对于反比例函数y＝﹣，当y＝﹣2时，x＝3，∴当0＜x＜3时，y≤﹣2．故答案为0＜x≤3．（3）不等式kx+b≥﹣的解集为：x≤﹣1或0＜x≤2．（4）连接OA，OB，由题意C（0，3），S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×2＝设P（m，0），由题意•|m|•3＝，解得m＝±3，∴P（3，0）或（﹣3，0）．【点睛】本题考查反比例函数的性质，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-3】（2019春•卧龙区期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．（1），；（2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是；（3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式．【分析】（1）先把B点坐标代入入y1＝k1x+2可确定一次函数解析式，再把B（﹣8，﹣2）代入y2＝可确定反比例函数解析式；（2）观察函数图象得到当﹣8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（3）先确定点A的坐标是（4，4），点C的坐标是（0，2），再计算出S梯形ODAC＝12，由S梯形ODAC：S△ODE＝3：1可求得S△ODE，可求得DE＝2，则可求得E的坐标为，然后确定直线OP的解析式．【答案】解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．【考点9反比例函数的实际应用】【例9】（2019秋•碑林区校级月考）某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间（分的关系如下图所示，回答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求与之间的函数关系式；（2）求出图中的值；（3）某天早上，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，问：他应在什么时间段内接水？【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y＝20代入y＝，即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40℃的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；【答案】解：（1）当0≤x≤8时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（0，20），（8，100）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为y＝10x+20；（2）当8≤x≤a时，设y与x之间的函数关系式为：y＝（k2≠0），将（8，100）代入y＝，得：100＝解得：k2＝800，∴当8≤x≤a时，y与x之间的函数关系式为：y＝；将（a，20）代入y＝，得：a＝40；（3）依题意，得：≤40，解得：x≥20．∵x≤40，∴20≤x≤40．∴他应在7：40～8：00时间段内接水．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式．【变式9-1】（2019春•西城区校级期中）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力随时间（分的变化规律如图所示，其中、分别为线段，为双曲线的一部分．（1）写出线段和双曲线的函数关系式（不要求指出自变量取值范围）：线段AB：=；双曲线CD：=；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为，第30分钟时的注意力水平为，则、的大小关系是；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为32时的两个时间，求差即可得到结论．【答案】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x+20（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，把C（25，40）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝（x≥25）；（2）当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30，当x2＝30时，y2＝，∴𝑦1、𝑦2的大小关系是y1＜y2；（3）令y1＝32，∴32＝2x+20，∴x1＝6，令y2＝32，∴32＝，∴x2≈31，∵31﹣6＝25，∴学生大约最长可以连续保持25分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．故答案为：2x+20；；y1＜y2；25．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．【变式9-2】（2019春•铜山区期末）某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例．药物燃烧后，与成反比例（如图所示），现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为，（1）写出药物燃烧前后，与之间的函数表达式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（6，4）代入即可，药物燃烧后，设出y与x之间的解析式（k2＞0）代入（6，4）即可；（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y＝2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与9进行比较，≥9就有效．【答案】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y＝k1x（k1＞0）代入（6，4）为4＝6k1∴k1＝，设药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（k2＞0）代入（6，4）为：4＝，∴k2＝24，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y＝x（0≤x≤6），药物燃烧后y关于x的函数关系式为：y＝（x＞6）；（2）令y＝中y≤1.6，得：x≥15，即从消毒开始，至少需要15分钟后学生才能进入教室；（3）把y＝2代入y＝x，得：x＝3，把y＝2代入y＝，得：x＝12，∵12﹣3＝9，所以这次消毒是有效的．【点睛】本题考查了反比例函数的应用、用待定系数法求解析式、函数图象与点坐标等知识，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与解析式是解题的关键．【变式9-3】（2019春•泰兴市校级期中）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，学校对教室采取喷洒药物进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，在封闭教室的过程中，每经过一分钟室内每立方米空气中含药量降低，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图（在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例）（1）；（2）求与之间的函数关系式；（3）当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．问此次消毒是否有效？并说明理由．【分析】（1）利用在封闭教室10min的过程中，每经过一分钟室内每立方米空气中含药量降低0.2mg可计算出a的值；（2）分类讨论：当0≤x＜5时，易得正比例函数解析式y＝2x；当5≤x＜15时，利用y＝10﹣0.2（x﹣5）得到y与x的关系式；当x≥15时，y与x为反比例函数关系式，k＝8×15；（3）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与20比较大小即可判断此次消毒是否有效．【答案】解：（1）a＝10﹣0.2×10＝8；故答案为8；（2）当0≤x＜5时，y＝x＝2x；当5≤x＜15时，y＝10﹣0.2（x﹣5）＝﹣0.2x+11；当x≥15时，y＝＝；（3）此次消毒有效．理由如下：当y＝5时，2x＝5，解得x＝2.5，当y＝5时，＝5，解得x＝24，因为24﹣2.5＝21.5＞20，所以此次消毒有效．【点睛】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．也考查了一次函数．【考点10与反比例函数有关的存在性问题】【例10】（2019春•侯马市期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．（1）求的值；（2）求的面积．（3）根据图象直接写出时，的取值范围．（4）点是反比例函数上一点，是否存在点，使点、、为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A的坐标代入y1＝x+b求出b，即可得出一次函数的表达式，把C（1，m），D（n，﹣1）代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入y2＝的，求出k即可；（2）求出OB，分别求出△AOB和△BOC的面积，相加即可；（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；（4）分两种情况讨论求得即可．【答案】解：（1）把A（0，2）代入y1＝x+b得：b＝2，即一次函数的表达式为y1＝x+2，把C（1，m），D（n，﹣1）代入得：m＝1+2，﹣1＝n+2，解得m＝3，n＝﹣3，即C（1，3），D（﹣3，﹣1），把C的坐标代入y2＝得：3＝，解得：k＝3；（2）由y1＝x+2可知：B（﹣2，0），∴△AOC的面积为×2×3+×2×1＝4；（3）由图象可知：y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；（4）当M在第一象限，根据题意MC⊥CD，∵直线y1＝x+2，∴设直线CM的解析式为y＝﹣x+b1，代入C（1，3）得，3＝﹣1+b1解得b1＝4，∴直线CM为y＝﹣x+4，解得，，∴M（3，1）；当M在第三象限，根据题意MD⊥CD，∵直线y1＝x+2，∴设直线DM的解析式为y＝﹣x+b2，代入D（﹣3，﹣1）得，﹣1＝3+b2解得b2＝﹣4，∴直线DM为y＝﹣x﹣4，解得或，∴M（﹣1，﹣3），综上，点M的坐标为（3，1）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能求出两函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的应用．【变式10-1】（2019•江油市模拟）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量的取值范围；（3）若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到点，在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，把A坐标代入y＝2x求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据题意，利用对称性求出D的坐标，由A与D坐标，找出一次函数位于反比例函数图象下方时x的范围即可；（3）求得B、C点的坐标，先证得四边形为菱形，然后求得AC和OB，从而求得四边形的面积，根据三角形的面积公式得出方程，解方程即可求得．【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），∵A（m，﹣2）在y＝2x上，∴﹣2＝2m，∴m＝﹣1，∴A（﹣1，﹣2），又点A在y＝上，∴﹣2＝，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由A的坐标为（﹣1，﹣2），得到D（1，2），由图象得：正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜1；（3）∵C（2，n）在上，∴n＝1，即C（2，1）∴，，，∴四边形OABC为菱形，直线OC为：y＝x，∴AB的解析式，由正比例函数为y＝2x求得BC的解析式为y＝2x﹣3，解得，∴B（1，﹣1），∴AC＝＝3，OB＝＝，∴S四边形OABC＝AC×OB＝××3＝3，假设在x轴上存在P（a，0）使，∴，∴a＝±2，∴在x轴上存在点P1（2，0），P2（﹣2，0）使S△OCP＝．【点睛】此题属于反比例函数一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式10-2】（2018秋•锦州期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，点的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，坐标平面内存在点．使四边形是矩形，求出点的坐标．【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）设P（﹣1，a），如图1，当∠PAO＝90°，如图2，当∠APO＝90°，如图3，当∠AOP＝90°，如图4，当∠PAO＝90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．【答案】解：（1）∵BM＝OM＝2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），设反比例函数的解析式为y＝，则﹣2＝，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点A的纵坐标是4，∴4＝，得x＝1，∴点A的坐标为（1，4），∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），∴，解得：，即一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）存在，∵直线AB于x轴交于D，∴D（﹣1，0），∴OD＝1，设P（﹣1，a），如图2，当∠APO＝90°，∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，解得：a＝2±，∴P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣），综上所述，点P的坐标为（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．【变式10-3】（2018春•江阴市期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，反比例函数图象上存在点，使得四边形为平行四边形，求的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据S△BPC＝S△APC﹣S△APB，▱BPCM的面积＝2S△BPC，只要求出△APC，△APB的面积即可；【答案】解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣4，0），B（0，1）过C作CD⊥x轴于D，∵AB＝BC，∴D（4，0），C（4，2），∵点C（4，2）反比例函数y2＝（x＞0）的图象上，∴k＝8，∴反比例函数y2的解析式y2＝；（2）），∵四边形BPCM为平行四边形，∴G为BC、MP的中点，由BG＝CG，则G（2，），设M（m，），P（n，0），由MG＝PG，∴，∴m＝，n＝，即P（，0），S△APC＝AP•CD＝×（4+）×2＝，S△ABP＝×AP•OB＝×（4+）×1＝S△BPC＝S△APC﹣S△APB＝，∴▱BPCM的面积＝2S△BPC＝．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．专题07相似章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1比例线段的概念】【方法点拨】解（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注：=1\*GB3①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．=2\*GB3②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中项，此时有。【例1】（2018秋•兴庆区校级期中）下列四组线段中，不成比例线段的是（）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cm C．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm【变式1-1】（2018秋•长清区校级月考）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（）A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12 B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1 C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12 D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3【变式1-2】（2019•杨浦区一模）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2【变式1-3】（2018秋•浦东新区月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【考点2黄金分割】【方法点拨】解黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即简记为：注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形【例2】（2018秋•宝应县期末）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，则PA＝cm．（精确到0.1）【变式2-1】（2018秋•碑林区校级月考）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为．【变式2-2】（2018秋•姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．【变式2-3】（2018秋•雁塔区校级月考）一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米．【考点3比例的基本性质】【方法点拨】（1）基本性质：①；②．（2）反比性质(把比的前项、后项交换)：．（3）等比性质：如果，那么．可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．【例3】（2018秋•长清区校级月考）已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【变式3-1】（2018秋•襄汾县期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状．【变式3-2】（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．【变式3-3】（2018秋•碑林区校级月考）已知＝＝＝＝k，求k值．【考点4平行线分线段成比例】【方法点拨】平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（1）三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（2）平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.【例4】（2019•下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．【变式4-1】（2018秋•浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．【变式4-2】（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．【变式4-3】（2019秋•新华区校级期中）如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且，射线CF交AB于E点，求．【考点5作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【例5】（2018秋•市中区期末）如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是，△ABC的周长是（结果保留根号）；（3）把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A1B1C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A1B1C的图形并写出点A1的坐标．【变式5-1】（2019•兴庆区校级三模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式5-2】（2019•芜湖三模）在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式5-3】（2019春•吴江区期末）如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．【考点6相似三角形的判定】【方法点拨】解1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．【例6】（2018秋•宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BC